Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck – Mathe Klasse 9 Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (4 BE/Punkte)

   a) Bezogen auf \(\alpha\) ist die kürzere Kathete \(5\) cm die Gegenkathete, \(12\) cm die Ankathete und \(13\) cm die Hypotenuse (1 P. für die richtige Zuordnung). Damit: \(\sin\alpha=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac5{13}\approx0{,}385\), \(\cos\alpha=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{12}{13}\approx0{,}923\), \(\tan\alpha=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac5{12}\approx0{,}417\) (2 P.).
   b) Mit der Umkehrfunktion: \(\alpha=\tan^{-1}(\frac5{12})\approx22{,}62^\circ\) (1 P.). Kontrolle mit dem Sinus: \(\sin^{-1}(0{,}385)\approx22{,}6^\circ\), derselbe Winkel. Der zweite spitze Winkel misst dann \(67{,}38^\circ\). Wer Gegenkathete und Ankathete vertauscht, erhält fälschlich diesen größeren Winkel; deshalb lohnt sich vorher eine Skizze mit markiertem \(\alpha\). Antwort: \(\alpha\approx22{,}62^\circ\).

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   Gesucht sind beide Katheten bei bekannter Hypotenuse. Die Seite \(a\) liegt \(\alpha\) gegenüber, deshalb verwendet man den Sinus: \(\sin\alpha=\frac{a}{c}\), umgestellt \(a=c\cdot\sin\alpha=15\cdot\sin40^\circ\approx15\cdot0{,}643\approx9{,}64\) cm (2 P.). Die Seite \(b\) liegt an \(\alpha\) an, also hilft der Kosinus: \(b=c\cdot\cos\alpha=15\cdot\cos40^\circ\approx15\cdot0{,}766\approx11{,}49\) cm (2 P.). Kontrolle mit Pythagoras: \(9{,}64^2+11{,}49^2\approx92{,}9+132{,}0=224{,}9\approx225=15^2\). Der Taschenrechner muss auf Grad (DEG) eingestellt sein, sonst entstehen falsche Werte. Antwort: \(a\approx9{,}64\) cm und \(b\approx11{,}49\) cm.

3. Lösung zu Aufgabe 3 (4 BE/Punkte)

   a) Gegeben sind nur die beiden Katheten, daher passt der Tangens. Für den Winkel \(\alpha\) gegenüber der Seite \(9\) cm gilt \(\tan\alpha=\frac{9}{12}=0{,}75\), also \(\alpha=\tan^{-1}(0{,}75)\approx36{,}87^\circ\) (2 P.). Die Innenwinkelsumme beträgt \(180^\circ\), der rechte Winkel zählt \(90^\circ\); deshalb \(\beta=90^\circ-36{,}87^\circ=53{,}13^\circ\) (1 P.).
   b) Die Hypotenuse folgt aus dem Satz des Pythagoras: \(c=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15\) cm (1 P.). Alternativ: \(c=\frac{9}{\sin36{,}87^\circ}\approx\frac{9}{0{,}6}=15\) cm. Antwort: \(\alpha\approx36{,}87^\circ\), \(\beta\approx53{,}13^\circ\), \(c=15\) cm.

4. Lösung zu Aufgabe 4 (5 BE/Punkte)

   a) Die Sichtlinie beginnt in Augenhöhe. Im rechtwinkligen Dreieck ist die Entfernung \(25\) m die Ankathete und der Höhenteil \(x\) über Augenhöhe die Gegenkathete: \(x=25\cdot\tan32^\circ\approx25\cdot0{,}625\approx15{,}62\) m. Dazu kommt die Augenhöhe: \(15{,}62+1{,}65=17{,}27\) m (2 P.).
   b) Aus \(15\) m Entfernung bleibt der Höhenteil \(15{,}62\) m gleich: \(\tan\alpha=\frac{15{,}62}{15}\approx1{,}041\), also \(\alpha\approx46{,}2^\circ\) (2 P.). Näher am Baum ist der Winkel größer.
   c) Die Sichtlinie ist die Hypotenuse: \(\cos32^\circ=\frac{25}{l}\), also \(l=\frac{25}{\cos32^\circ}\approx29{,}48\) m (1 P.). Antwort: Baum etwa \(17{,}3\) m hoch, Winkel etwa \(46{,}2^\circ\), Sichtlinie etwa \(29{,}5\) m.

5. Lösung zu Aufgabe 5 (3 BE/Punkte)

   a) Eine Steigung von \(8\,\%\) bedeutet: Auf \(100\) m waagerechter Strecke steigt die Straße um \(8\) m. Das Verhältnis Höhe zu waagerechter Strecke ist der Tangens des Steigungswinkels: \(\tan\alpha=\frac{8}{100}=0{,}08\) (1 P.). Mit der Umkehrfunktion folgt \(\alpha=\tan^{-1}(0{,}08)\approx4{,}57^\circ\) (1 P.). Der Winkel ist viel kleiner, als die Prozentzahl vermuten lässt; \(100\,\%\) entsprächen erst \(45^\circ\).
   b) Die waagerechte Strecke beträgt \(2{,}5\) km \(=2500\) m. Höhenunterschied: \(h=0{,}08\cdot2500=200\) m (1 P.). Antwort: Der Steigungswinkel beträgt etwa \(4{,}57^\circ\); man überwindet \(200\) Höhenmeter.

Gesamt : 20 Punkte