Wachstum und Zerfall – Mathe Klasse 9 Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (4 BE/Punkte)

   a) Bei einer Zunahme um \(p\,\%\) ist der Wachstumsfaktor \(q=1+\frac{p}{100}\). Hier: \(q=1+0{,}04=1{,}04\) (1 P.).
   b) Jedes Jahr wird das Guthaben mit \(1{,}04\) multipliziert, weil die Zinsen mitverzinst werden (Zinseszins). Nach drei Jahren: \(K_3=200\cdot1{,}04^3=200\cdot1{,}124864\approx224{,}97\) € (2 P.). Zum Vergleich: Ohne Zinseszins wären es nur \(200+3\cdot8=224\) €.
   c) Allgemein ist der Bestand Anfangswert mal Faktor hoch Anzahl der Jahre: \(K(t)=200\cdot1{,}04^t\), \(t\) in Jahren (1 P.). Probe: \(K(0)=200\) €, der Anfangswert stimmt. Antwort: \(q=1{,}04\); nach drei Jahren etwa \(224{,}97\) €; \(K(t)=200\cdot1{,}04^t\).

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   a) Die Halbwertszeit ist die Zeit, nach der nur noch die Hälfte vorhanden ist. \(12\) h entsprechen \(\frac{12}{4}=3\) Halbwertszeiten. Dreimal halbieren: \(600\to300\to150\to75\), also \(600\cdot0{,}5^3=75\) mg (2 P.).
   b) \(6\) h sind \(\frac64=1{,}5\) Halbwertszeiten, deshalb ist der Exponent keine ganze Zahl: \(m(6)=600\cdot0{,}5^{1{,}5}\approx600\cdot0{,}3536\approx212{,}1\) mg (2 P.). Plausibilitätskontrolle: Der Wert muss zwischen \(300\) mg (nach \(4\) h) und \(150\) mg (nach \(8\) h) liegen; das trifft zu. Falsch wäre lineares Mitteln (\(225\) mg), weil Zerfall exponentiell verläuft. Antwort: \(75\) mg bzw. etwa \(212\) mg.

3. Lösung zu Aufgabe 3 (4 BE/Punkte)

   a) Man vergleicht aufeinanderfolgende Werte. Tabelle A: \(12:4=36:12=108:36=3\); die Quotienten sind konstant, also wächst A exponentiell. Tabelle B: \(12-4=20-12=28-20=8\); die Differenzen sind konstant, also wächst B linear (2 P.).
   b) Für A gilt \(y=a\cdot b^x\) mit Startwert \(a=4\) (bei \(x=0\)) und Faktor \(b=3\): \(y=4\cdot3^x\). Für B gilt \(y=mx+n\) mit Steigung \(m=8\) und Achsenabschnitt \(n=4\): \(y=8x+4\) (2 P.). Probe für \(x=3\): \(4\cdot27=108\) und \(8\cdot3+4=28\), beide Werte stimmen mit der Tabelle überein. Antwort: A exponentiell, B linear.

4. Lösung zu Aufgabe 4 (5 BE/Punkte)

   a) Ein Wachstum um \(20\,\%\) pro Stunde ergibt den Faktor \(1{,}2\). Nach fünf Stunden: \(N(5)=300\cdot1{,}2^5=300\cdot2{,}48832\approx746\) Bakterien (2 P.).
   b) Gesucht ist die kleinste ganze Zahl \(t\) mit \(300\cdot1{,}2^t\gt1000\), also \(1{,}2^t\gt3{,}33\). Probieren: \(1{,}2^6\approx2{,}986\) reicht nicht (\(\approx896\) Bakterien), \(1{,}2^7\approx3{,}583\) reicht (\(\approx1075\) Bakterien). Also nach \(7\) Stunden (2 P.).
   c) Der Gesamtfaktor nach fünf Stunden ist \(1{,}2^5\approx2{,}488\). Zunahme in Prozent: \((2{,}488-1)\cdot100\,\%\approx148{,}8\,\%\) (1 P.). Nicht \(5\cdot20\,\%=100\,\%\), weil jeweils vom neuen Bestand gerechnet wird. Antwort: \(746\) Bakterien, nach \(7\) h, etwa \(148{,}8\,\%\) mehr.

5. Lösung zu Aufgabe 5 (3 BE/Punkte)

   a) Ein Wertverlust von \(20\,\%\) pro Jahr bedeutet, dass jedes Jahr \(80\,\%\) des Vorjahreswerts übrig bleiben, also der Faktor \(0{,}8\). Schrittweise: \(900\to720\to576\to460{,}80\) €. Kurz: \(W(3)=900\cdot0{,}8^3=900\cdot0{,}512=460{,}80\) € (2 P.).
   b) Der Anteil am Neupreis ist der Gesamtfaktor \(0{,}8^3=0{,}512\), also \(51{,}2\,\%\) (1 P.). Kontrolle: \(460{,}80:900=0{,}512\). Häufiger Fehler: \(3\cdot20\,\%=60\,\%\) Verlust annehmen und \(40\,\%\) angeben; tatsächlich beträgt der Verlust nur \(48{,}8\,\%\), weil sich jede Abnahme auf den bereits gesunkenen Wert bezieht. Antwort: Nach drei Jahren ist der Laptop \(460{,}80\) € wert, das sind \(51{,}2\,\%\) des Neupreises.

Gesamt : 20 Punkte