Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck – Mathe Klasse 9 Arbeitsblatt Lösungen zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1

   a) Für \(\alpha\): Gegenkathete \(a=3\), Ankathete \(b=4\), Hypotenuse \(c=5\). Für \(\beta\): Gegenkathete \(b=4\), Ankathete \(a=3\), Hypotenuse \(5\). Die Hypotenuse liegt immer gegenüber dem rechten Winkel; welche Kathete Gegen- oder Ankathete ist, hängt vom betrachteten Winkel ab.
   b) \(\sin\alpha=\frac35=0{,}6\), \(\cos\alpha=\frac45=0{,}8\), \(\tan\alpha=\frac34=0{,}75\); \(\sin\beta=0{,}8\), \(\cos\beta=0{,}6\), \(\tan\beta=\frac43\approx1{,}333\). Man setzt die Seitenlängen in die drei Definitionen ein und rechnet die Brüche als Dezimalzahlen aus.
   c) \(\sin\alpha=\cos\beta=0{,}6\): Bei \(\alpha+\beta=90^\circ\) gilt \(\sin\alpha=\cos(90^\circ-\alpha)\). Die Gegenkathete von \(\alpha\) ist die Ankathete von \(\beta\). Deshalb ist der Sinus eines Winkels gleich dem Kosinus seines Ergänzungswinkels.

2. Lösung zu Aufgabe 2

   a) A: \(\frac5{13}=0{,}3846\), \(\frac{12}{13}=0{,}9231\), \(\frac5{12}=0{,}4167\). B: \(\frac8{17}=0{,}4706\), \(\frac{15}{17}=0{,}8824\), \(\frac8{15}=0{,}5333\). C: \(\frac{20}{29}=0{,}6897\), \(\frac{21}{29}=0{,}7241\), \(\frac{20}{21}=0{,}9524\). Der Winkel \(\alpha\) liegt der kürzeren Kathete gegenüber; diese steht im Sinus und Tangens im Zähler, die längere Kathete im Kosinus.
   b) \(\alpha=\sin^{-1}(\frac5{13})\approx22{,}62^\circ\). Mit der Taste \(\sin^{-1}\) wird aus dem Verhältnis der Winkel bestimmt. Antwort: In Dreieck A ist \(\alpha\approx22{,}6^\circ\).
   c) Dreieck C: \(\tan\alpha=0{,}952\), also \(\alpha\approx43{,}6^\circ\) (A: \(22{,}6^\circ\), B: \(28{,}1^\circ\)). Je größer der Tangens, desto größer der Winkel. Antwort: Dreieck C hat den größten Winkel \(\alpha\).

3. Lösung zu Aufgabe 3

   a) \(\sin30^\circ=0{,}5000\); \(\cos60^\circ=0{,}5000\); \(\tan45^\circ=1{,}0000\). Diese Werte sollte man sich merken; sie dienen auch als Kontrolle, ob der Taschenrechner wirklich auf DEG steht.
   b) \(\sin25^\circ\approx0{,}4226\); \(\cos70^\circ\approx0{,}3420\); \(\tan80^\circ\approx5{,}671\). Der Tangens kann größer als 1 werden, Sinus und Kosinus spitzer Winkel aber nie.
   c) \(\alpha=30{,}0^\circ\); \(\alpha\approx36{,}87^\circ\); \(\alpha\approx63{,}43^\circ\). Hier ist das Verhältnis gegeben und der Winkel gesucht, deshalb benutzt man die Umkehrtasten \(\sin^{-1}\), \(\cos^{-1}\) und \(\tan^{-1}\).

4. Lösung zu Aufgabe 4

   a) \(a=12\cdot\sin35^\circ\approx6{,}88\) cm; \(b=12\cdot\cos35^\circ\approx9{,}83\) cm. Die Hypotenuse ist gegeben: Die Gegenkathete berechnet man mit dem Sinus, die Ankathete mit dem Kosinus. Antwort: \(a\approx6{,}88\) cm, \(b\approx9{,}83\) cm.
   b) \(a=8\cdot\tan50^\circ\approx9{,}53\) cm; \(c=\frac8{\cos50^\circ}\approx12{,}45\) cm. Hier ist die Ankathete gegeben: Der Tangens liefert die Gegenkathete, der Kosinus die Hypotenuse. Antwort: \(a\approx9{,}53\) cm, \(c\approx12{,}45\) cm.
   c) \(b=15\cdot\tan28^\circ\approx7{,}98\) cm; \(c=\frac{15}{\cos28^\circ}\approx16{,}99\) cm. Man prüft mit Pythagoras: \(15^2+7{,}98^2\approx16{,}99^2\). Die Ergebnisse passen also zusammen.

5. Lösung zu Aufgabe 5

   a) \(\tan\alpha=\frac7{24}\), \(\alpha\approx16{,}26^\circ\), \(\beta=90^\circ-\alpha\approx73{,}74^\circ\). Beide Katheten sind bekannt, deshalb wählt man den Tangens. Der zweite Winkel folgt aus der Winkelsumme.
   b) \(\sin\alpha=\frac9{15}=0{,}6\), \(\alpha\approx36{,}87^\circ\), \(\beta\approx53{,}13^\circ\). Gegenkathete und Hypotenuse sind bekannt, deshalb wählt man den Sinus. Es ist das Dreieck 9-12-15.
   c) \(\cos\alpha=\frac{5{,}5}{6{,}5}\), \(\alpha\approx32{,}20^\circ\), \(\beta\approx57{,}80^\circ\). Ankathete und Hypotenuse sind bekannt, deshalb wählt man den Kosinus; danach ergänzt man auf \(90^\circ\).

6. Lösung zu Aufgabe 6

   a) \(\sin15^\circ=\frac{1{,}2}{c}\), \(c=\frac{1{,}2}{\sin15^\circ}\approx4{,}64\) m. Die Höhe ist die Gegenkathete des Winkels \(15^\circ\), die Rampenfläche die Hypotenuse. Antwort: Die Rampenfläche ist etwa 4,64 m lang.
   b) \(b=\frac{1{,}2}{\tan15^\circ}\approx4{,}48\) m. Die waagerechte Länge ist die Ankathete, sie wird mit dem Tangens berechnet. Antwort: etwa 4,48 m.
   c) \(\tan15^\circ\cdot100\approx26{,}8\,\%\). Die Steigung ist Höhe durch waagerechte Länge, also genau der Tangens des Winkels. Antwort: etwa 26,8 %.
   d) \(4{,}64\cdot2\approx9{,}28\,\mathrm{m}^2\). Die Belagfläche ist ein Rechteck aus Rampenlänge und Breite. Antwort: etwa 9,28 m².

7. Lösung zu Aufgabe 7

   a) \(h=6\cdot\sin70^\circ\approx5{,}64\) m. Die Leiter ist die Hypotenuse, die Höhe die Gegenkathete des Winkels am Boden. Antwort: Die Leiter reicht etwa 5,64 m hoch.
   b) \(x=6\cdot\cos70^\circ\approx2{,}05\) m. Der Abstand zur Wand ist die Ankathete. Antwort: Der Fuß steht etwa 2,05 m von der Wand entfernt.
   c) \(\cos\alpha=\frac{1{,}5}6=0{,}25\), \(\alpha\approx75{,}5^\circ\). Aus Ankathete und Hypotenuse folgt der Winkel mit \(\cos^{-1}\). Der Winkel liegt knapp über der Grenze von \(75^\circ\): Die Leiter steht etwas zu steil und ist nicht mehr sicher. Man sollte den Fuß ein wenig weiter von der Wand wegstellen.
   d) \(x=6\cdot\cos65^\circ\approx2{,}54\) m. Beim flachsten erlaubten Winkel ist der Abstand am größten. Antwort: höchstens etwa 2,54 m.

8. Lösung zu Aufgabe 8

   a) \(20\cdot\tan38^\circ\approx15{,}63\) m. Die Entfernung ist die Ankathete, die Höhe über Augenhöhe die Gegenkathete; also gilt \(x=20\cdot\tan38^\circ\).
   b) \(15{,}63+1{,}6\approx17{,}23\) m. Zur gemessenen Höhe muss die Augenhöhe addiert werden. Antwort: Der Baum ist etwa 17,2 m hoch.
   c) \(\tan\alpha=\frac{15{,}63}{12}\), \(\alpha\approx52{,}5^\circ\). Aus der kleineren Entfernung erscheint die Spitze steiler. Antwort: Der Höhenwinkel beträgt etwa \(52{,}5^\circ\).
   d) \(\frac{20}{\cos38^\circ}\approx25{,}38\) m. Die Sichtlinie ist die Hypotenuse, man berechnet sie mit dem Kosinus. Antwort: etwa 25,4 m.

9. Lösung zu Aufgabe 9

   a) \(h=5\cdot\tan35^\circ\approx3{,}50\) m. Die halbe Hausbreite (5 m) ist die Ankathete des Neigungswinkels. Antwort: Der First liegt etwa 3,50 m über der Traufe.
   b) \(s=\frac5{\cos35^\circ}\approx6{,}10\) m. Der Sparren ist die Hypotenuse. Antwort: Ein Sparren ist etwa 6,10 m lang.
   c) \(2\cdot6{,}10\cdot12\approx146{,}4\,\mathrm{m}^2\). Zwei rechteckige Dachflächen, jede 6,10 m breit und 12 m lang. Antwort: etwa 146,4 m².
   d) \(\tan\alpha=\frac45\), \(\alpha\approx38{,}7^\circ\). Mit 4 m Firsthöhe und 5 m halber Breite liefert der Tangens die neue Neigung von etwa \(38{,}7^\circ\).

10. Lösung zu Aufgabe 10

    a) \(\alpha=\tan^{-1}(0{,}12)\approx6{,}84^\circ\); \(\tan^{-1}(0{,}2)\approx11{,}31^\circ\). Die Prozentangabe ist der Tangens des Steigungswinkels: 12 % bedeutet \(\tan\alpha=0{,}12\). Die Winkel sind also viel kleiner, als die Prozentzahlen vermuten lassen.
    b) \(0{,}12\cdot500=60\) m. Höhe gleich Steigung mal waagerechte Strecke. Antwort: Man überwindet 60 Höhenmeter.
    c) \(\sqrt{500^2+60^2}\approx503{,}6\) m. Die gefahrene Strecke ist die Hypotenuse aus 500 m und 60 m. Antwort: etwa 503,6 m.
    d) \(\tan^{-1}(1)=45^\circ\). 100 % bedeutet: Höhe gleich waagerechte Länge, die Katheten sind gleich lang. Antwort: Der Winkel beträgt \(45^\circ\).

11. Lösung zu Aufgabe 11

    a) \(1800\cdot\sin28^\circ\approx845{,}0\) m. Die Seillänge ist die Hypotenuse, der Höhenunterschied die Gegenkathete. Antwort: etwa 845 m.
    b) \(1800\cdot\cos28^\circ\approx1589{,}3\) m. Die waagerechte Entfernung ist die Ankathete. Antwort: etwa 1589 m.
    c) \(\frac{1800}{6}=300\) s \(=5\) min. Fahrzeit gleich Strecke durch Geschwindigkeit. Antwort: Die Fahrt dauert 300 s, also 5 Minuten.
    d) \(1800\cdot\sin35^\circ\approx1032{,}4\) m. Bei gleicher Seillänge und größerem Winkel wächst der Höhenunterschied auf etwa 1032 m.

12. Lösung zu Aufgabe 12

    a) \(x=\frac{900}{\tan3^\circ}\approx17\,173\) m \(\approx17{,}2\) km. Die Höhe 900 m ist die Gegenkathete, die waagerechte Entfernung die Ankathete; also teilt man durch \(\tan3^\circ\). Antwort: etwa 17,2 km.
    b) \(s=\frac{900}{\sin3^\circ}\approx17\,197\) m. Die Gleitstrecke ist die Hypotenuse und nur wenig länger als die waagerechte Entfernung, weil der Winkel so klein ist.
    c) \(v_s=69{,}4\cdot\sin3^\circ\approx3{,}63\) m/s. Die Sinkgeschwindigkeit ist der senkrechte Anteil der Geschwindigkeit. Antwort: etwa 3,6 m pro Sekunde.
    d) \(\frac{17\,198}{69{,}4}\approx248\) s \(\approx4{,}1\) min. Zeit gleich Gleitstrecke durch Geschwindigkeit. Antwort: Bis zum Aufsetzen dauert es etwa 4 Minuten.

13. Lösung zu Aufgabe 13

    a) \(\frac{8}{\tan40^\circ}\approx9{,}53\) m. Die Masthöhe ist die Gegenkathete des Sonnenwinkels, der Schatten die Ankathete. Antwort: etwa 9,53 m.
    b) \(\frac8{\tan25^\circ}\approx17{,}16\) m. Bei tiefer stehender Sonne wird der Schatten länger. Antwort: etwa 17,16 m.
    c) \(\tan\gamma=1\), also \(\gamma=45^\circ\). Gleich lange Katheten bedeuten \(\tan\gamma=1\). Antwort: bei \(45^\circ\).
    d) \(\tan\gamma=\frac8{12}\), \(\gamma\approx33{,}7^\circ\). Aus Masthöhe und Schattenlänge bestimmt man den Winkel mit \(\tan^{-1}\). Antwort: etwa \(33{,}7^\circ\).

14. Lösung zu Aufgabe 14

    a) \(\frac{45}{\tan4^\circ}\approx643{,}5\) m. Die Turmhöhe ist die Gegenkathete, die Entfernung die Ankathete. Antwort: Zu Beginn ist das Schiff etwa 644 m entfernt.
    b) \(\frac{45}{\tan9^\circ}\approx284{,}1\) m. Antwort: Zwei Minuten später ist es nur noch etwa 284 m entfernt.
    c) \(643{,}5-284{,}1\approx359\) m in \(120\) s: \(\approx3{,}00\) m/s \(\approx5{,}8\) Knoten. Die zurückgelegte Strecke ist die Differenz der beiden Entfernungen, die Zeit beträgt 120 s.
    d) Noch \(184{,}1\) m bei \(2{,}99\) m/s: \(\approx61\) s. Man teilt die Reststrecke durch die Geschwindigkeit. Antwort: Nach etwa einer weiteren Minute erreicht das Schiff den Turm.

15. Lösung zu Aufgabe 15

    a) Entfernung zum Fuß: erster Punkt \(\frac{h}{\tan25^\circ}\), zweiter \(\frac h{\tan32^\circ}\). Die Differenz ist \(100\) m. In beiden rechtwinkligen Dreiecken ist die Berghöhe \(h\) die Gegenkathete; die Ankatheten unterscheiden sich um die 100 m.
    b) \(h(\frac1{\tan25^\circ}-\frac1{\tan32^\circ})=100\), \(h\cdot(2{,}1445-1{,}6003)=100\), \(h\approx183{,}8\) m. Man klammert \(h\) aus und teilt durch die Klammer. Antwort: Der Berg ist etwa 184 m hoch.
    c) \(\frac{183{,}8}{\tan25^\circ}\approx394{,}1\) m. Antwort: Der erste Messpunkt ist etwa 394 m vom Fuß des Berges entfernt.
    d) \(h_{33}=\frac{100}{2{,}1445-1{,}5399}\approx165{,}4\) m, also etwa \(18\) m weniger: Schon \(1^\circ\) Messfehler verfälscht das Ergebnis stark. Diese Aufgabe zeigt, warum Vermessungsingenieure sehr genaue Winkelmessgeräte benötigen.

16. Lösung zu Aufgabe 16

    a) \(h=5\cdot\tan72^\circ\approx15{,}39\) cm. Die Höhe teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke mit der Ankathete 5 cm. Antwort: Die Höhe ist etwa 15,39 cm.
    b) \(s=\frac5{\cos72^\circ}\approx16{,}18\) cm. Der Schenkel ist die Hypotenuse des Teildreiecks. Antwort: Jeder Schenkel ist etwa 16,18 cm lang.
    c) \(A=\frac12\cdot10\cdot15{,}39\approx76{,}9\,\mathrm{cm}^2\); \(U=10+2\cdot16{,}18\approx42{,}36\) cm. Fläche: halbe Basis mal Höhe; Umfang: Basis plus zwei Schenkel.
    d) \(180^\circ-2\cdot72^\circ=36^\circ\). Die Winkelsumme im Dreieck beträgt \(180^\circ\). Antwort: Der Winkel an der Spitze beträgt \(36^\circ\).

17. Lösung zu Aufgabe 17

    a) \(\frac a2=10\cdot\sin36^\circ\), \(a=20\cdot\sin36^\circ\approx11{,}76\) cm. Die Höhe halbiert den Mittelpunktswinkel auf \(36^\circ\) und die Seite auf \(\frac a2\); der Radius ist die Hypotenuse. Antwort: Die Seite ist etwa 11,76 cm lang.
    b) \(A=\frac12\cdot100\cdot\sin72^\circ\approx47{,}55\,\mathrm{cm}^2\). Für ein Dreieck mit zwei Seiten \(r\) und dem eingeschlossenen Winkel gilt \(A=\frac12r^2\sin72^\circ\). Antwort: etwa 47,55 cm².
    c) \(5\cdot47{,}55\approx237{,}8\,\mathrm{cm}^2\). Das Fünfeck besteht aus fünf solchen Dreiecken. Antwort: etwa 237,8 cm².
    d) \(U=5\cdot11{,}76\approx58{,}8\) cm. Antwort: Der Umfang beträgt etwa 58,8 cm, etwas weniger als der Kreisumfang \(2\pi\cdot10\approx62{,}8\) cm.

18. Lösung zu Aufgabe 18

    a) \(\tan\alpha=\frac{17{,}5}{28}=0{,}625\), \(\alpha\approx32{,}0^\circ\). Stufenhöhe ist die Gegenkathete, Auftritt die Ankathete. Antwort: Der Steigungswinkel beträgt etwa \(32^\circ\).
    b) Höhe \(12\cdot17{,}5=210\) cm \(=2{,}10\) m; waagerecht \(12\cdot28=336\) cm \(=3{,}36\) m. Man multipliziert jeweils mit der Anzahl der Stufen.
    c) \(\sqrt{210^2+336^2}\approx396\) cm \(\approx3{,}96\) m. Die Länge der Treppe entlang der Schräge ist die Hypotenuse. Antwort: etwa 3,96 m.
    d) \(2\cdot17{,}5+28=63{,}0\) cm: genau \(63\) cm, passend. Die Schrittmaßregel \(2h+a\approx63\) cm ist genau erfüllt, die Treppe ist also bequem begehbar.

19. Lösung zu Aufgabe 19

    a) \(\tan20^\circ=\frac{60}{x}\), \(x=\frac{60}{\tan20^\circ}\approx164{,}8\) m. Der Tiefenwinkel ist genauso groß wie der Höhenwinkel vom Boot aus (Wechselwinkel). Die Turmhöhe ist die Gegenkathete. Antwort: Das Boot ist etwa 165 m vom Ufer entfernt.
    b) \(\frac{60}{\sin20^\circ}\approx175{,}4\) m. Die Sichtlinie ist die Hypotenuse. Antwort: etwa 175 m.
    c) \(\frac{60}{\tan35^\circ}\approx85{,}7\) m. Beim größeren Tiefenwinkel ist das Boot näher am Turm. Antwort: etwa 86 m.
    d) \(164{,}8-85{,}7\approx79{,}2\) m. Antwort: Das Boot ist in der Zwischenzeit etwa 79 m auf den Turm zugefahren.

20. Lösung zu Aufgabe 20

    a) \(\sin37^\circ\approx0{,}6018\), \(\cos37^\circ\approx0{,}7986\); \(0{,}3622+0{,}6378=1{,}0000\). Man quadriert beide Werte und addiert; bis auf Rundung ergibt sich genau 1.
    b) \(\sin\alpha=\frac ac\), \(\cos\alpha=\frac bc\): \(\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}=1\). Im letzten Schritt wird der Satz des Pythagoras \(a^2+b^2=c^2\) benutzt. Damit gilt die Beziehung für jeden spitzen Winkel.
    c) \(\cos^2\alpha=1-0{,}36=0{,}64\), \(\cos\alpha=0{,}8\), \(\tan\alpha=\frac{0{,}6}{0{,}8}=0{,}75\). Aus \(\sin\alpha=0{,}6\) folgt mit der ersten Beziehung der Kosinus, mit der zweiten der Tangens. Man nimmt die positive Wurzel, weil der Winkel spitz ist.
    d) \(\sin25^\circ=0{,}4226\), \(\cos65^\circ=0{,}4226\): gleich. Die Winkel \(25^\circ\) und \(65^\circ\) ergänzen sich zu \(90^\circ\), daher gilt \(\sin25^\circ=\cos65^\circ\).