Dieser Lernzettel zum Thema Pyramide, Kegel und Kugel ist für Klasse 9 (Alter 14-15) geschrieben. Kurz gesagt geht es darum: Volumen und Oberfläche, zusammengesetzte Körper. Bevor du anfängst, wiederhole am besten Potenzen und Potenzgesetze und Ähnlichkeit und Strahlensätze, denn dieser Lernzettel baut darauf auf.
Pyramide, Kegel und Kugel Klasse 9 Lernzettel: das lernst du
Du berechnest Volumen und Oberfläche von Pyramide, Kegel und Kugel. Ein Zusammenhang hilft dir: Eine Pyramide fasst genau ein Drittel des Prismas mit gleicher Grundfläche und Höhe, ein Kegel ein Drittel des Zylinders mit gleichem Radius und gleicher Höhe.
Einstieg: Warum ist eine Eistüte nicht größer?
Lena bestellt eine Eiskugel in der Waffeltüte. Die Kugel hat einen Radius von \(2{,}5\) cm, die Tüte ist \(10\) cm hoch und hat oben auch \(2{,}5\) cm Radius. Passt das geschmolzene Eis genau in die Tüte? Wer das ausrechnet, entdeckt etwas Überraschendes: Das Volumen der Kugel beträgt \(\frac43\pi\cdot2{,}5^3\approx65{,}4\,\mathrm{cm}^3\), das der Tüte \(\frac13\pi\cdot2{,}5^2\cdot10\approx65{,}4\,\mathrm{cm}^3\). Beide sind gleich. In diesem Kapitel lernst du, Rauminhalt und Oberfläche von Pyramide, Kegel und Kugel zu berechnen. Dazu brauchst du den Satz des Pythagoras, denn die schräge Höhe einer Pyramide und die Mantellinie des Kegels ergeben sich aus rechtwinkligen Dreiecken im Körper.
Die Pyramide
Definition: Pyramide
Eine Pyramide hat eine Grundfläche \(G\) (Dreieck, Quadrat, Rechteck oder Vieleck), Seitenflächen aus Dreiecken, die in der Spitze zusammenlaufen, und die Höhe \(h\) (senkrechter Abstand der Spitze von der Grundfläche). Die Seitenflächen bilden zusammen die Mantelfläche \(M\).
Satz: Pyramide
\(V=\dfrac13\cdot G\cdot h\qquad O=G+M\)
Bei einer quadratischen Pyramide mit Grundkante \(a\) ist die Seitenhöhe \(h_s=\sqrt{h^2+\left(\frac a2\right)^2}\) und \(M=4\cdot\frac12\cdot a\cdot h_s=2ah_s\).
Beispiel 1: Pyramide
Eine quadratische Pyramide hat \(a=10\) cm und \(h=12\) cm.
\(V=\frac13\cdot100\cdot12=400\) cm³.
Seitenhöhe: \(h_s=\sqrt{144+25}=13\) cm. Mantel: \(M=2\cdot10\cdot13=260\) cm².
Oberfläche: \(O=100+260=360\) cm².
Der Kegel
Definition: Kegel
Ein Kegel hat einen Kreis mit Radius \(r\) als Grundfläche, die Höhe \(h\) und die Mantellinie \(s\) mit \(s^2=r^2+h^2\). Wickelt man den Mantel ab, erhält man einen Kreisausschnitt mit Radius \(s\) und Bogenlänge \(2\pi r\), sein Mittelpunktswinkel ist \(\alpha=\frac rs\cdot360^\circ\).
Satz: Kegel
\(V=\dfrac13\pi r^2h\qquad M=\pi rs\qquad O=\pi r^2+\pi rs=\pi r(r+s)\)
Beispiel 2: Kegel
Ein Kegel hat \(r=3\) cm und \(h=4\) cm.
Mantellinie: \(s=\sqrt{9+16}=5\) cm.
\(V=\frac13\pi\cdot9\cdot4=12\pi\approx37{,}70\) cm³, \(M=15\pi\approx47{,}12\) cm², \(O=24\pi\approx75{,}40\) cm².
Die Kugel
Satz: Kugel
\(V=\dfrac43\pi r^3\qquad O=4\pi r^2\)
Die Oberfläche der Kugel ist viermal so groß wie die Fläche des größten Kreises in ihr.
Beispiel 3: Kugel
Berechne Volumen und Oberfläche einer Kugel mit \(r=6\) cm.
\(V=\frac43\pi\cdot216=288\pi\approx904{,}78\) cm³.
\(O=4\pi\cdot36=144\pi\approx452{,}39\) cm². Ist der Durchmesser gegeben, halbiere ihn zuerst.
So gehst du vor: Gesuchte Größe zurückrechnen
- Schreibe die Formel auf und setze das Gegebene ein.
- Kürze \(\pi\) und stelle nach der gesuchten Größe um.
- Ziehe bei \(r^3\) die dritte Wurzel.
- Mache die Probe mit der Ausgangsformel.
Beispiel 4: Radius und Höhe
Eine Kugel hat \(V=36\pi\) cm³. Ein Kegel mit \(r=5\) cm hat \(V=100\) cm³. Gesucht sind \(r\) und \(h\).
Kugel: \(\frac43\pi r^3=36\pi\), also \(r^3=27\) und \(r=3\) cm.
Kegel: \(100=\frac13\pi\cdot25\cdot h\), also \(h=\frac{12}{\pi}\approx3{,}82\) cm.
Zusammengesetzte Körper
Regel: Zusammengesetzte Körper
Viele Körper bestehen aus bekannten Körpern: Silo (Zylinder mit Kegel), Eistüte (Kegel mit Halbkugel), Zelt (Prisma mit Pyramide). Du berechnest die Teile einzeln und addierst die Volumen. Bei der Oberfläche zählst du nur die Außenflächen: Flächen, an denen Körper zusammenstoßen, fallen weg.
Beispiel 5: Silo
Ein Silo besteht aus einem Zylinder (\(r=2\) m, \(h=5\) m) mit aufgesetztem Kegel (Höhe 3 m).
\(V=\pi\cdot4\cdot5+\frac13\pi\cdot4\cdot3=20\pi+4\pi=24\pi\approx75{,}40\) m³.
Beispiel 6: Halbkugel
Berechne Volumen und Oberfläche einer Halbkugel mit \(r=4\) cm.
\(V=\frac12\cdot\frac43\pi\cdot64=\frac{128}{3}\pi\approx134{,}04\) cm³.
Die Oberfläche besteht aus der halben Kugeloberfläche und der ebenen Kreisfläche: \(O=2\pi r^2+\pi r^2=3\pi r^2=48\pi\approx150{,}80\) cm².
Merke: Maße verändern
Wird der Radius einer Kugel verdoppelt, wird die Oberfläche 4-mal so groß (\(2^2\)) und das Volumen 8-mal so groß (\(2^3\)). Das ist derselbe Zusammenhang wie bei der zentrischen Streckung: Flächen wachsen mit \(k^2\), Volumen mit \(k^3\).
Der Pythagoras im Körper
Bei Pyramide und Kegel sitzen rechtwinklige Dreiecke im Körper verborgen. In der Pyramide mit quadratischer Grundfläche bilden die Höhe \(h\), die halbe Grundkante \(\frac a2\) und die Seitenhöhe \(h_s\) ein rechtwinkliges Dreieck: \(h_s^2=h^2+(\frac a2)^2\). Die Seitenkante \(k\) liegt in einem Dreieck mit der Höhe und der halben Diagonale \(\frac{a}{2}\sqrt2\): \(k^2=h^2+\frac{a^2}{2}\). Im Kegel gilt \(s^2=r^2+h^2\). Zeichne diese Dreiecke immer heraus und beschrifte sie, dann findest du die richtige Rechnung.
Beispiel 7: Seitenkante
Berechne die Seitenkante einer quadratischen Pyramide mit \(a=6\) cm und \(h=4\) cm.
Die halbe Diagonale ist \(\frac62\sqrt2=3\sqrt2\approx4{,}24\) cm. Dann gilt \(k=\sqrt{4^2+(3\sqrt2)^2}=\sqrt{16+18}=\sqrt{34}\approx5{,}83\) cm.
Der Kegelmantel als Kreisausschnitt
Rollst du einen Kreisausschnitt mit dem Radius \(s\) zusammen, entsteht ein Kegelmantel. Die Bogenlänge des Ausschnitts wird zum Umfang des Grundkreises: \(\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi s=2\pi r\). Daraus folgt der Winkel \(\alpha=360^\circ\cdot\frac rs\). Die Fläche des Ausschnitts ist der Mantel \(M=\pi rs\).
Beispiel 8: Hut aus Pappe
Ein Partyhut hat \(r=6\) cm und \(s=15\) cm. Welchen Winkel hat der Ausschnitt, wie viel Pappe braucht man?
\(\alpha=360^\circ\cdot\frac{6}{15}=144^\circ\). Fläche \(M=\pi\cdot6\cdot15=90\pi\approx282{,}7\,\mathrm{cm}^2\).
Zusammengesetzte Körper
Viele Gegenstände sind aus mehreren Grundkörpern zusammengesetzt: ein Silo aus Zylinder und Kegel, ein Wasserturm aus Zylinder und Halbkugel, ein Haus aus Quader und Pyramide. Du berechnest die Volumina einzeln und addierst sie. Bei der Oberfläche lässt du die Flächen weg, an denen die Körper zusammenstoßen. Eine Halbkugel hat das halbe Volumen \(\frac23\pi r^3\), aber die Oberfläche \(2\pi r^2\) (ohne Schnittfläche).
Beispiel 9: Spielzeugrakete
Eine Rakete besteht aus einem Zylinder (\(r=2\) cm, \(h=10\) cm) mit aufgesetzter Kegelspitze (\(h=3\) cm). Berechne das Volumen.
Zylinder: \(\pi\cdot4\cdot10=40\pi\). Kegel: \(\frac13\pi\cdot4\cdot3=4\pi\). Gesamt \(44\pi\approx138{,}2\,\mathrm{cm}^3\).
Vergleich der Körper
Bei gleicher Grundfläche und Höhe hat der Kegel ein Drittel des Zylindervolumens, die Pyramide ein Drittel des Prismas. Die Kugel mit Radius \(r\) hat zwei Drittel des Volumens des umschließenden Zylinders (\(r\), \(h=2r\)). Mit diesen Verhältnissen kannst du Ergebnisse überschlagen und Rechenfehler finden.
Typische Fehler und Proben
Der häufigste Fehler ist die Verwechslung von Höhe und Mantellinie beziehungsweise Seitenhöhe. Für das Volumen brauchst du immer die senkrechte Höhe \(h\), für den Mantel die schräge Länge \(s\) oder \(h_s\). Ein zweiter Fehler: das Dritteln beim Volumen von Pyramide und Kegel zu vergessen. Eine Probe: Das Volumen von Pyramide oder Kegel muss kleiner sein als das des umschließenden Prismas oder Zylinders, und bei einer Kugel muss das Ergebnis kleiner als das des umschließenden Würfels mit Kantenlänge \(2r\) sein.
Beispiel 10: Probe mit dem umschließenden Körper
Ein Schüler berechnet für eine Kugel mit \(r=5\) cm das Volumen \(1570\,\mathrm{cm}^3\). Stimmt das?
Der umschließende Würfel hat die Kantenlänge \(10\) cm und das Volumen \(1000\,\mathrm{cm}^3\). Die Kugel kann nicht größer sein. Er hat \(\pi r^2\cdot2r\cdot\ldots\) falsch verrechnet. Richtig: \(\frac43\pi\cdot125\approx523{,}6\,\mathrm{cm}^3\).
Wusstest du?
Archimedes von Syrakus war so stolz auf seine Entdeckung über Kugel und Zylinder, dass er sich beides auf seinen Grabstein meißeln ließ. Die ägyptischen Baumeister der Cheops-Pyramide kannten die Pyramidenformel schon rund \(2000\) Jahre früher, wie ein altes Papyrus zeigt.
Merke: Das Wichtigste auf einen Blick
- Pyramide: \(V=\frac13Gh\); Oberfläche \(O=G+M\), Mantel aus Dreiecken mit der Seitenhöhe \(h_s\).
- Seitenhöhe der quadratischen Pyramide: \(h_s=\sqrt{h^2+(\frac a2)^2}\).
- Kegel: \(V=\frac13\pi r^2h\), \(M=\pi rs\), \(O=\pi r^2+\pi rs\) mit \(s=\sqrt{r^2+h^2}\).
- Kugel: \(V=\frac43\pi r^3\) und \(O=4\pi r^2\).
- Pyramide und Kegel haben ein Drittel des Volumens des zugehörigen Prismas bzw. Zylinders.
- Bei Streckung mit \(k\) wächst \(O\) mit \(k^2\) und \(V\) mit \(k^3\).
- Zusammengesetzte Körper: Teilkörper einzeln berechnen und addieren, verdeckte Flächen weglassen.
- Zurückrechnen: Formel umstellen, bei Kugeln die dritte Wurzel ziehen.
Achtung
Vergiss den Faktor \(\frac13\) bei Pyramide und Kegel nicht. Verwende im Volumen die Körperhöhe \(h\), nicht die Seitenhöhe \(h_s\) oder die Mantellinie \(s\). Verwechsle bei der Kugel Durchmesser und Radius nicht. Berechne \(s\) mit Pythagoras, addiere nicht einfach \(r\) und \(h\). Runde erst am Ende.
Zum Einstieg: Der Umschüttversuch
Bastle aus Karton eine hohle Pyramide und ein hohles Prisma mit derselben quadratischen Grundfläche und derselben Höhe. Fülle die Pyramide mit Sand oder Reis und schütte den Inhalt in das Prisma. Du wirst feststellen, dass du genau dreimal schütten musst, bis das Prisma voll ist. Dasselbe gilt für Kegel und Zylinder. Daher stammt der Faktor \(\frac13\) in den Volumenformeln von Pyramide und Kegel. Dieser Versuch ist zwar kein Beweis, macht die Formel aber sehr anschaulich.
Beispiel 11
Eine Kerze besteht aus einem Zylinder mit 3 cm Radius und 10 cm Höhe und einer aufgesetzten Halbkugel mit demselben Radius. Wie viel Wachs braucht man?
Wir zerlegen die Kerze in zwei einfache Körper. Das Volumen des Zylinders ist \(\pi\cdot3^2\cdot10=90\pi\). Die Halbkugel hat die Hälfte eines Kugelvolumens, also \(\frac12\cdot\frac43\pi\cdot3^3=18\pi\). Zusammen sind es \(108\pi\approx339{,}3\,\mathrm{cm}^3\). Antwort: Man braucht ungefähr 340 cm³ Wachs.
So gehst du bei zusammengesetzten Körpern vor
- Zerlege den Körper in bekannte Teilkörper wie Zylinder, Kegel, Pyramide oder Halbkugel.
- Notiere für jeden Teilkörper die Maße, die du brauchst, und berechne fehlende Längen mit dem Satz des Pythagoras.
- Berechne die Volumina einzeln und addiere sie (bei Hohlräumen subtrahierst du).
- Bei der Oberfläche zählst du nur die Flächen, die außen sichtbar sind.
Häufige Fehler
Verwechsle nicht die Höhe \(h\) mit der Seitenhöhe \(h_s\) bzw. der Mantellinie \(s\). Bei Angaben mit Durchmesser musst du zuerst halbieren. Und achte auf die Einheiten: 1 Liter entspricht 1000 cm³ bzw. 1 dm³.
Schon gewusst?
Archimedes war so stolz auf seine Entdeckung, dass Kugel und Zylinder gleicher Höhe im Volumenverhältnis 2 zu 3 stehen, dass er sich eine Kugel in einem Zylinder auf seinen Grabstein wünschte. Die Cheops-Pyramide war fast 4000 Jahre lang das höchste Bauwerk der Welt. Und Seifenblasen sind rund, weil die Kugel bei gegebenem Volumen die kleinste Oberfläche hat. Auch Planeten und große Monde sind annähernd kugelförmig, weil ihre eigene Schwerkraft alle Teile möglichst nah zum Mittelpunkt zieht.
Ottos Tipp
Skizziere den Körper und zeichne das rechtwinklige Dreieck, das die Höhe, den Radius (oder die halbe Kante) und die Mantellinie (oder Seitenhöhe) enthält. Dort steckt immer Pythagoras. Schreibe die Formel erst allgemein hin und setze dann ein. So bekommst du auch Teilpunkte.
So nutzt du den Lernzettel Pyramide, Kegel und Kugel (Klasse 9)
Lies zuerst das Wichtigste oben, damit du weißt, worum es geht. Danach arbeitest du jede Definition und jedes Beispiel durch und deckst die Lösung zuerst ab. Anschließend übst du mit dem Arbeitsblatt zu Pyramide, Kegel und Kugel und vergleichst mit den Lösungen. Sobald du dich sicher fühlst, testest du dich mit dem Online-Test oder dem Quiz. Schließlich schreibst du die Klassenarbeit zu Pyramide, Kegel und Kugel und korrigierst sie mit den Lösungen zur Klassenarbeit.
Außerdem eignet sich das Kopfrechnen zum Aufwärmen, damit das Wissen frisch bleibt. Außerdem gehören alle Seiten dieses Kapitels zusammen, sodass du jederzeit wechseln kannst. Zum Beispiel lesen viele Schüler montags den Lernzettel, üben mittwochs und testen sich freitags. Kurz gesagt enthält dieser Lernzettel zu Pyramide, Kegel und Kugel (Klasse 9) alles, was du für das Thema brauchst.
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