Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck – Mathe Klasse 9 Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Im rechtwinkligen Dreieck heißt die Seite gegenüber dem Winkel \(\alpha\) die Gegenkathete, die anliegende Kathete die Ankathete und die längste Seite die Hypotenuse. Es gilt \(\sin\alpha=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\), \(\cos\alpha=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\), \(\tan\alpha=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\).

a) Ein Dreieck hat die Seiten \(a=3\), \(b=4\), \(c=5\) (\(\alpha\) liegt gegenüber \(a\)). Gib Gegenkathete, Ankathete, Hypotenuse für \(\alpha\) und für \(\beta\) an.
b) Berechne \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\), \(\tan\alpha\) sowie \(\sin\beta\), \(\cos\beta\), \(\tan\beta\).
c) Was fällt bei \(\sin\alpha\) und \(\cos\beta\) auf?

Berechne die drei Verhältnisse für den Winkel \(\alpha\), der der kürzeren Kathete gegenüberliegt.

a) Berechne \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\), \(\tan\alpha\) (vier Nachkommastellen).
b) Bestimme mit dem Taschenrechner den Winkel \(\alpha\) für Dreieck A.
c) Welches Dreieck hat den größten Winkel \(\alpha\)?

Stelle den Taschenrechner auf DEG (Gradmaß). Berechne auf vier Nachkommastellen.

a) \(\sin30^\circ\), \(\cos60^\circ\), \(\tan45^\circ\)
b) \(\sin25^\circ\), \(\cos70^\circ\), \(\tan80^\circ\)
c) \(\sin\alpha=0{,}5\), \(\cos\alpha=0{,}8\), \(\tan\alpha=2\)

Berechne die fehlenden Seiten des rechtwinkligen Dreiecks (rechter Winkel bei \(C\)). Runde auf zwei Nachkommastellen.

a) \(\alpha=35^\circ\), \(c=12\) cm; gesucht \(a\) und \(b\)
b) \(\alpha=50^\circ\), \(b=8\) cm; gesucht \(a\) und \(c\)
c) \(\beta=28^\circ\), \(a=15\) cm; gesucht \(b\) und \(c\)

Berechne die fehlenden Winkel im rechtwinkligen Dreieck (rechter Winkel bei \(C\)).

a) \(a=7\) cm, \(b=24\) cm
b) \(a=9\) cm, \(c=15\) cm
c) \(b=5{,}5\) cm, \(c=6{,}5\) cm

Eine Rampe steigt unter dem Winkel \(15^\circ\) an und überwindet \(1{,}2\) m Höhe.

a) Wie lang ist die Rampenfläche (Hypotenuse)?
b) Wie lang ist die Rampe waagerecht?
c) Wie groß ist die Steigung in Prozent?
d) Die Rampe ist \(2\) m breit. Wie groß ist die Fläche der Rampenbahn?

Eine \(6\) m lange Leiter wird an eine Hauswand gelehnt. Als sicher gilt ein Winkel zum Boden zwischen \(65^\circ\) und \(75^\circ\).

a) Wie hoch reicht die Leiter bei \(70^\circ\)?
b) Wie weit steht der Fuß dann von der Wand?
c) Der Fuß steht \(1{,}5\) m von der Wand. Wie groß ist der Winkel? Ist das sicher?
d) Bei welchem Fußabstand erreicht man den Winkel \(65^\circ\)?

Mit einem Winkelmesser wird der Höhenwinkel zur Baumspitze gemessen: \(\alpha=38^\circ\) aus \(20\) m Entfernung. Die Augenhöhe beträgt \(1{,}6\) m.

a) Wie hoch ragt der Baum über Augenhöhe?
b) Wie hoch ist der Baum insgesamt?
c) Wie groß ist der Höhenwinkel aus \(12\) m Entfernung bei gleicher Baumhöhe (Höhe über Auge \(15{,}63\) m)?
d) Wie lang ist die Sichtlinie zur Baumspitze aus \(20\) m Entfernung?

Ein Satteldach mit der Neigung \(35^\circ\) überspannt ein Haus mit \(10\) m Breite. Das Haus ist \(12\) m lang.

a) Wie hoch ist der First über der Traufe?
b) Wie lang ist ein Sparren?
c) Wie groß ist die gesamte Dachfläche?
d) Welche Neigung hat ein Dach, das bei \(10\) m Breite \(4\) m hoch ist?

Straßenschilder geben die Steigung in Prozent an: \(12\,\%\) bedeuten \(12\) m Höhe auf \(100\) m waagerecht.

a) Welchen Winkel hat die Straße bei \(12\,\%\) und bei \(20\,\%\)?
b) Wie viele Höhenmeter überwindet man bei \(12\,\%\) auf \(500\) m waagerecht?
c) Wie lang ist die gefahrene Strecke bei \(12\,\%\) auf \(500\) m waagerecht?
d) Welcher Winkel entspricht \(100\,\%\)?

Eine Seilbahn ist \(1800\) m lang (schräg gemessen) und steigt unter \(28^\circ\) an. Die Kabine fährt mit \(6\) m/s.

a) Welchen Höhenunterschied überwindet sie?
b) Welche waagerechte Entfernung liegt zwischen Tal- und Bergstation?
c) Wie lange dauert die Fahrt (in Minuten)?
d) Wie groß wäre der Höhenunterschied bei \(35^\circ\)?

Ein Flugzeug landet mit einem Gleitwinkel von \(3^\circ\). Es ist noch \(900\) m über dem Boden.

a) Wie weit ist es waagerecht von der Landebahn entfernt?
b) Wie weit ist es auf der Gleitstrecke (schräg)?
c) Bei \(250\) km/h (\(69{,}4\) m/s) entlang der Gleitstrecke: Wie schnell sinkt es (m/s)?
d) Wie lange dauert der Anflug bis zur Landung (in Minuten)?

Ein \(8\) m hoher Mast wirft einen Schatten. Der Sonnenhöhenwinkel ist \(\gamma\).

a) Wie lang ist der Schatten bei \(\gamma=40^\circ\)?
b) Wie lang ist er bei \(\gamma=25^\circ\)?
c) Bei welchem Winkel ist der Schatten genau so lang wie der Mast?
d) Der Schatten ist \(12\) m lang. Welchen Winkel hat die Sonne?

Ein Leuchtturm ist \(45\) m hoch (Augenhöhe auf dem Schiff \(0\) m, vereinfacht). Ein Schiff sieht die Turmspitze unter \(4{,}0^\circ\), \(2\) Minuten später unter \(9{,}0^\circ\).

a) Wie weit ist das Schiff zuerst vom Turm entfernt?
b) Wie weit beim zweiten Mal?
c) Wie weit ist es in der Zeit gefahren, und wie schnell (m/s und Knoten, \(1\) Kn \(=0{,}514\) m/s)?
d) Wann erreicht das Schiff die Entfernung von \(100\) m, wenn es gleich schnell weiterfährt?

Von einem Punkt in der Ebene sieht man die Spitze eines Berges unter \(25^\circ\). Nach \(100\) m geradeaus auf den Berg zu beträgt der Höhenwinkel \(32^\circ\).

a) Zeichne eine Skizze und stelle für die Bergspitze die Gleichung \(\frac{h}{\tan25^\circ}-\frac{h}{\tan32^\circ}=100\) auf.
b) Löse sie nach \(h\) auf.
c) Wie weit war der erste Punkt vom Fuß des Berges entfernt?
d) Wie groß ist der Fehler, wenn man den zweiten Winkel mit \(33^\circ\) misst?

Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Basis \(10\) cm und die Basiswinkel \(72^\circ\).

a) Berechne die Höhe auf der Basis.
b) Berechne die Schenkellänge.
c) Berechne die Fläche und den Umfang.
d) Wie groß ist der Winkel an der Spitze?

Ein regelmäßiges Fünfeck ist in einen Kreis mit dem Radius \(10\) cm einbeschrieben. Es besteht aus fünf gleichschenkligen Dreiecken mit dem Winkel \(72^\circ\) an der Spitze \(M\).

a) Wie lang ist die Seite des Fünfecks? (Das Dreieck halbiert sich in zwei rechtwinklige.)
b) Wie groß ist die Fläche eines Teildreiecks (\(A=\frac12r^2\sin72^\circ\))?
c) Wie groß ist die Fläche des Fünfecks?
d) Wie groß ist der Umfang?

Jede Stufe einer Treppe ist \(17{,}5\) cm hoch und hat einen Auftritt von \(28\) cm. Die Treppe hat \(12\) Stufen.

a) Wie groß ist der Steigungswinkel?
b) Welche Höhe überwindet die Treppe und wie lang ist sie waagerecht?
c) Wie lang ist die Lauflinie (schräg)?
d) Prüfe die Schrittmaßregel \(2h+a\approx63\) cm.

Von der Aussichtsplattform eines \(60\) m hohen Turms sieht man ein Boot auf dem See unter dem Tiefenwinkel \(20^\circ\) (Winkel zwischen der Waagerechten und der Blickrichtung nach unten). Der Turm steht direkt am Ufer, die Augenhöhe auf der Plattform wird mit \(60\) m angenommen.

a) Wie weit ist das Boot vom Turmfuß entfernt?
b) Wie lang ist die Sichtlinie von der Plattform zum Boot?
c) Das Boot nähert sich und wird unter \(35^\circ\) gesehen. Wie weit ist es jetzt entfernt?
d) Wie weit ist das Boot in der Zwischenzeit gefahren?

Für jeden spitzen Winkel gelten \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) und \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).

a) Prüfe \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\) für \(\alpha=37^\circ\) mit dem Taschenrechner.
b) Beweise \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) mit \(a^2+b^2=c^2\).
c) Es ist \(\sin\alpha=0{,}6\). Bestimme \(\cos\alpha\) und \(\tan\alpha\) ohne Taschenrechner.
d) Zeige \(\sin25^\circ=\cos65^\circ\) mit dem Taschenrechner.