Dieser Lernzettel zum Thema Potenzen und Potenzgesetze ist für Klasse 9 (Alter 14-15) geschrieben. Kurz gesagt geht es darum: Ganzzahlige Exponenten, Potenzgesetze, Zehnerpotenzen. Bevor du anfängst, wiederhole am besten Quadratische Funktionen und Quadratische Gleichungen, denn dieser Lernzettel baut darauf auf.
Potenzen und Potenzgesetze Klasse 9 Lernzettel: das lernst du
Potenzen kürzen Produkte aus gleichen Faktoren ab. Mit den Potenzgesetzen rechnest du schnell und löst auch Aufgaben mit sehr großen und sehr kleinen Zahlen.
Einstieg: Der Sprung der Zahlen
Du legst ein Blatt Papier zur Hälfte, dann nochmal, und immer wieder. Nach einer Faltung sind es zwei Lagen, nach zwei Faltungen vier, nach drei acht. Bei jeder Faltung verdoppelt sich die Lagenzahl: \(2,4,8,16,\dots\) Nach zehn Faltungen wären es schon \(2^{10}=1024\) Lagen, nach 42 Faltungen würde der Stapel theoretisch bis zum Mond reichen. Solche gewaltigen Zahlen lassen sich nur mit Potenzen kurz und übersichtlich schreiben. Auch in der Natur und Technik begegnen dir Potenzen ständig: im Speicher deines Handys, in der Entfernung zu den Sternen und im Durchmesser eines Haares. In diesem Kapitel lernst du die Potenzgesetze, mit denen du solche Zahlen geschickt berechnest und vergleichst.
Was ist eine Potenz?
Definition: Potenz
Eine Potenz \(a^n\) ist ein Produkt aus \(n\) gleichen Faktoren \(a\). Dabei ist \(a\) die Basis und \(n\) der Exponent. Beispiele: \(2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32\) und \(10^3=1000\).
Merke: Negative Basis
\((-3)^2=9\), aber \(-3^2=-9\). Bei geradem Exponenten wird das Ergebnis positiv, bei ungeradem bleibt das Vorzeichen: \((-2)^3=-8\), \((-2)^4=16\).
Exponent null und negative Exponenten
Satz: Nullte und negative Potenzen
Für \(a\neq0\) gilt \(a^0=1\) und \(a^{-n}=\dfrac1{a^n}\).
Beispiele: \(2^{-3}=\frac18\), \(5^{-2}=\frac1{25}\), \(10^{-4}=0{,}0001\), \(\left(\frac12\right)^{-3}=2^3=8\).
Merke: Klein, nicht negativ
Ein negativer Exponent macht die Zahl nicht negativ, sondern klein (Kehrwert).
Die Potenzgesetze
Satz: Potenzgesetze
Für \(a,b\neq0\) und ganze Zahlen \(m,n\) gilt:
| Gesetz | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Gleiche Basis, Multiplikation | \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\) | \(3^4\cdot3^2=3^6\) |
| Gleiche Basis, Division | \(a^m:a^n=a^{m-n}\) | \(5^7:5^4=5^3=125\) |
| Potenz einer Potenz | \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\) | \((2^3)^2=2^6=64\) |
| Gleicher Exponent, Multiplikation | \(a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n\) | \(2^3\cdot5^3=10^3\) |
| Gleicher Exponent, Division | \(a^n:b^n=(a:b)^n\) | \(6^4:3^4=2^4=16\) |
Merke: Exponenten
Beim Multiplizieren gleicher Basen addierst du die Exponenten, beim Dividieren subtrahierst du sie, beim Potenzieren einer Potenz multiplizierst du sie. Für Summen gibt es keine Regel: \((a+b)^2\neq a^2+b^2\).
Hinweis
Die Gesetze folgen aus der Definition: \(a^3\cdot a^2=(a\cdot a\cdot a)\cdot(a\cdot a)=a^5\), und \(\frac{a^5}{a^2}=a^3\), weil du gleiche Faktoren kürzt. Setzt du in der Divisionsregel \(m=n\), erhältst du \(a^0=1\); mit \(m=0\) erhältst du \(a^{-n}=\frac1{a^n}\).
So gehst du vor: Potenzterme vereinfachen
- Löse Klammern und Potenzen von Potenzen auf.
- Behandle Zahlen und jede Variable einzeln.
- Fasse Produkte gleicher Basen zusammen (Exponenten addieren).
- Teile am Schluss (Exponenten subtrahieren).
- Schreibe negative Exponenten als Bruch.
Beispiel 1: Mit Variablen rechnen
Vereinfache \(3x^2\cdot4x^3\), \((2a^2b)^3\) und \(15x^6:5x^2\).
\(3x^2\cdot4x^3=12x^5\). \((2a^2b)^3=8a^6b^3\). \(15x^6:5x^2=3x^4\).
Beispiel 2: Negative Exponenten
Vereinfache \(x^{-2}\cdot x^5\), \(\left(a^{-1}b^2\right)^2\) und \(2^{-3}\cdot2^5\).
\(x^{-2}\cdot x^5=x^3\). \(\left(a^{-1}b^2\right)^2=a^{-2}b^4=\dfrac{b^4}{a^2}\). \(2^{-3}\cdot2^5=2^2=4\).
Beispiel 3: Gesetze kombinieren
Vereinfache \(\dfrac{(2x^2)^3\cdot x^{-4}}{4x}\).
Klammer auflösen: \((2x^2)^3=8x^6\). Zähler: \(8x^6\cdot x^{-4}=8x^2\).
Teilen: \(\dfrac{8x^2}{4x}=2x\).
Zehnerpotenzen und wissenschaftliche Schreibweise
Definition: wissenschaftliche Schreibweise
Sehr große und sehr kleine Zahlen schreibt man als \(z\cdot10^n\) mit \(1\le z<10\). Beispiele: \(4500=4{,}5\cdot10^3\), \(0{,}00032=3{,}2\cdot10^{-4}\). Zum Umrechnen schiebst du das Komma: bei großen Zahlen nach links (positiver Exponent), bei kleinen nach rechts (negativer Exponent).
Regel: Rechnen mit Zehnerpotenzen
\((3\cdot10^4)\cdot(2\cdot10^3)=6\cdot10^7\) und \((8\cdot10^6):(4\cdot10^2)=2\cdot10^4\). Ergibt sich \(z\ge10\), schiebst du weiter: \(5\cdot10^3\cdot4\cdot10^2=20\cdot10^5=2\cdot10^6\).
Vorsätze: Kilo \(=10^3\), Mega \(=10^6\), Giga \(=10^9\), Tera \(=10^{12}\); Milli \(=10^{-3}\), Mikro \(=10^{-6}\), Nano \(=10^{-9}\).
Beispiel 4: Licht von der Sonne
Die Sonne ist \(1{,}5\cdot10^{11}\) m entfernt, das Licht legt \(3\cdot10^{8}\) m pro Sekunde zurück. Wie lange braucht es?
\(t=\dfrac{1{,}5\cdot10^{11}}{3\cdot10^{8}}=0{,}5\cdot10^3=500\) s.
Das sind etwa 8,3 Minuten.
Beispiel 5: Potenzgleichungen
Löse \(2^x=64\), \(3^x=\frac1{27}\) und \(5^x=1\).
Schreibe beide Seiten als Potenz derselben Basis.
\(64=2^6\), also \(x=6\). \(\frac1{27}=3^{-3}\), also \(x=-3\). \(5^x=1\) ergibt \(x=0\).
Beispiel 6: Verdopplung
Eine Bakterienkultur verdoppelt sich jede Stunde. Wie viele Bakterien sind es nach 10 und nach 24 Stunden?
Aus einem Bakterium werden \(2^{10}=1024\) und \(2^{24}=16\,777\,216\). Mehr dazu im Kapitel Wachstum und Zerfall.
Beispiel 7: Größenordnungen
Ein Haar ist etwa \(7\cdot10^{-5}\) m dick, ein Virus \(10^{-7}\) m. Wie oft passt das Virus in die Haardicke?
\(\dfrac{7\cdot10^{-5}}{10^{-7}}=7\cdot10^{2}=700\). Es passen 700 Viren nebeneinander in ein Haar.
Potenzgesetze mit Brüchen und Klammern
Die Potenzgesetze gelten auch für Brüche als Basis und für Variablen. Bei einem Bruch wird Zähler und Nenner potenziert: \((\frac ab)^n=\frac{a^n}{b^n}\). Ein Bruch mit negativem Exponenten wird umgedreht: \((\frac ab)^{-n}=(\frac ba)^n\). Achte darauf, dass ein Exponent sich nur auf das direkt davor stehende Zeichen bezieht, bei Klammern auf die ganze Klammer. So ist \(2x^3\) etwas anderes als \((2x)^3=8x^3\).
Beispiel 8: Bruch mit negativem Exponent
Berechne \((\frac23)^{-3}\).
Du drehst den Bruch um und potenzierst: \((\frac32)^3=\frac{27}{8}=3{,}375\). Probe: \((\frac23)^3=\frac{8}{27}\) und der Kehrwert davon ist \(\frac{27}{8}\).
Potenzen und Wurzeln
Potenzen mit Bruch-Exponenten schreiben Wurzeln als Potenzen: \(a^{\frac12}=\sqrt a\) und \(a^{\frac13}=\sqrt[3]{a}\). Das passt zu den Potenzgesetzen, denn \(a^{\frac12}\cdot a^{\frac12}=a^{1}=a\), und genau das tut auch die Quadratwurzel: \(\sqrt a\cdot\sqrt a=a\). Mit dieser Schreibweise kannst du Wurzeln wie Potenzen behandeln, zum Beispiel \(\sqrt{x^6}=x^3\).
Beispiel 9: Wurzel als Potenz
Berechne \(16^{\frac12}\), \(27^{\frac13}\) und \(8^{\frac23}\).
\(16^{\frac12}=\sqrt{16}=4\); \(27^{\frac13}=\sqrt[3]{27}=3\); \(8^{\frac23}=(8^{\frac13})^2=2^2=4\).
Vorsilben und Einheiten
Zehnerpotenzen stecken in den Vorsilben der Einheiten: Kilo (\(10^3\)), Mega (\(10^6\)), Giga (\(10^9\)), Tera (\(10^{12}\)) sowie Milli (\(10^{-3}\)), Mikro (\(10^{-6}\)) und Nano (\(10^{-9}\)). Beim Umrechnen verschiebst du das Komma um die Differenz der Exponenten. Ein Nanometer ist ein Milliardstel Meter: \(1\,\mathrm{nm}=10^{-9}\) m. Die Speichergrößen in der Informatik nutzen oft Zweierpotenzen: \(1\) KiB \(=2^{10}=1024\) Byte.
Beispiel 10: Umrechnen
Wie viele Millimeter sind \(3{,}5\) km?
\(3{,}5\,\mathrm{km}=3{,}5\cdot10^3\,\mathrm{m}=3{,}5\cdot10^3\cdot10^3\,\mathrm{mm}=3{,}5\cdot10^6\) mm.
Potenzen vergleichen
Willst du zwei Potenzen vergleichen, bringst du sie auf die gleiche Basis oder den gleichen Exponenten. So ist \(4^{20}=(2^2)^{20}=2^{40}\), also kleiner als \(2^{50}\). Auch bei sehr großen Zahlen gibt dir die Anzahl der Stellen einen Hinweis: \(10^n\) hat \(n+1\) Stellen.
Rechnen mit großen und kleinen Zahlen
Beim Multiplizieren zweier Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise multiplizierst du die Faktoren und addierst die Exponenten. Beim Dividieren teilst du die Faktoren und subtrahierst die Exponenten. Beim Addieren und Subtrahieren musst du zuerst auf denselben Exponenten bringen. Liegt der neue Faktor nicht zwischen \(1\) und \(10\), verschiebst du das Komma und passt den Exponenten an.
Beispiel 11: Multiplizieren und Dividieren
Berechne \((4\cdot10^5)\cdot(6\cdot10^{-2})\) und \(\frac{9\cdot10^{3}}{3\cdot10^{-4}}\).
Erstes Produkt: \(4\cdot6=24\) und \(10^{5-2}=10^3\), also \(24\cdot10^3=2{,}4\cdot10^4\). Quotient: \(\frac93=3\) und \(10^{3-(-4)}=10^7\), also \(3\cdot10^7\).
Beispiel 12: Addieren
Berechne \(3{,}2\cdot10^4+5\cdot10^3\).
Gleicher Exponent: \(5\cdot10^3=0{,}5\cdot10^4\). Dann \((3{,}2+0{,}5)\cdot10^4=3{,}7\cdot10^4=37\,000\).
Typische Fehler vermeiden
Viele Fehler entstehen, weil Schüler Rechenarten verwechseln. Die Potenzgesetze gelten nur für Produkte und Quotienten, nicht für Summen: \(a^2+a^3\) lässt sich nicht zu \(a^5\) zusammenfassen, und \((a+b)^2\) ist nicht \(a^2+b^2\), sondern \(a^2+2ab+b^2\). Auch \(2^3\cdot2^2\) ist \(2^5=32\), nicht \(4^5\): Beim Multiplizieren gleicher Basen bleibt die Basis stehen und nur die Exponenten werden addiert.
Beispiel 13: Fehler finden
Ein Schüler rechnet \(3^2\cdot3^4=9^6\). Was ist falsch?
Er hat die Basen multipliziert und die Exponenten ebenfalls. Richtig: \(3^2\cdot3^4=3^{2+4}=3^6=729\). Probe: \(9\cdot81=729\), aber \(9^6=531\,441\).
Wusstest du?
Der Schachbrett-Legende nach wünschte sich der Erfinder des Schachspiels vom König ein Reiskorn auf dem ersten Feld, zwei auf dem zweiten, vier auf dem dritten und so weiter. Der König lachte, bis seine Berater nachrechneten: \(2^{64}-1\) Körner, mehr als je auf der Erde geerntet wurden. Die Geschichte zeigt, wie schnell Potenzen wachsen.
Merke: Das Wichtigste auf einen Blick
- Potenz: \(a^n=a\cdot a\cdots a\) mit \(n\) Faktoren; \((-3)^4=81\), aber \(-3^4=-81\).
- \(a^0=1\) (für \(a\neq0\)) und \(a^{-n}=\frac1{a^n}\): Ein negativer Exponent bildet den Kehrwert.
- Gleiche Basis: \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\), \(a^m:a^n=a^{m-n}\), \((a^m)^n=a^{mn}\).
- Gleicher Exponent: \(a^n\cdot b^n=(ab)^n\) und \(a^n:b^n=(\frac ab)^n\).
- Wissenschaftliche Schreibweise: \(a\cdot10^n\) mit \(1\le a<10\).
- Rechnen mit Zehnerpotenzen: Faktoren multiplizieren, Exponenten addieren; beim Dividieren Exponenten subtrahieren.
- Eine Potenz mit Exponent \(\frac1n\) ist eine Wurzel: \(a^{1/2}=\sqrt a\).
- Zweierpotenzen verdoppeln sich bei jedem Schritt: Wachstum, Speicher und Faltprobleme.
Achtung
\(2^3\) ist nicht \(2\cdot3\), sondern \(2\cdot2\cdot2=8\). Beim Multiplizieren gleicher Basen addierst du die Exponenten, du multiplizierst sie nicht. \(2^{-3}\) ist \(\frac18\), nicht \(-8\). \((a+b)^2\) ist nicht \(a^2+b^2\). \(3^2\cdot2^3\) darfst du nicht zu \(6^5\) zusammenfassen: Basis und Exponent sind verschieden. Verwechsle \(-3^2\) und \((-3)^2\) nicht.
Zum Einstieg: Das Muster der Zehnerpotenzen
Schreibe untereinander: \(10^3=1000\), \(10^2=100\), \(10^1=10\). Jedes Mal, wenn der Exponent um 1 kleiner wird, teilst du durch 10. Setzt du dieses Muster fort, erhältst du \(10^0=1\), \(10^{-1}=0{,}1\) und \(10^{-2}=0{,}01\). So erklärt sich ganz natürlich, warum \(a^0=1\) gilt und warum ein negativer Exponent den Kehrwert bedeutet. Probiere dasselbe Muster mit der Basis 2 aus: Du gelangst zu \(2^{-1}=\frac12\) und \(2^{-2}=\frac14\).
Beispiel 14
Ein Virus ist etwa \(1{,}2\cdot10^{-7}\) m groß, ein Sandkorn etwa \(6\cdot10^{-4}\) m. Wie viele Viren passen nebeneinander auf die Breite eines Sandkorns?
Wir teilen die Größe des Sandkorns durch die Größe des Virus. Dazu dividieren wir die Vorfaktoren und subtrahieren die Exponenten: \(\frac{6}{1{,}2}=5\) und \(-4-(-7)=3\). Das Ergebnis ist \(5\cdot10^3=5000\). Antwort: Etwa 5000 Viren passen nebeneinander auf die Breite eines Sandkorns.
Häufige Fehler
Die Potenzgesetze gelten nur für Produkte und Quotienten, nicht für Summen: \(2^3+2^4\) ist nicht \(2^7\). Ebenso ist \((a+b)^2\) nicht \(a^2+b^2\). Ein negativer Exponent macht eine Zahl nicht negativ: \(2^{-3}\) ist der positive Bruch \(\frac18\). Und beim Potenzieren eines Produkts muss jeder Faktor potenziert werden, also \((3x)^2=9x^2\) und nicht \(3x^2\).
So gehst du vor: Rechnen in wissenschaftlicher Schreibweise
- Schreibe alle Zahlen in der Form \(a\cdot10^n\) mit \(1\le a<10\).
- Multipliziere oder dividiere zuerst die Vorfaktoren.
- Addiere bzw. subtrahiere danach die Exponenten der Zehnerpotenzen.
- Liegt der neue Vorfaktor nicht zwischen 1 und 10, verschiebe das Komma und passe den Exponenten an.
- Prüfe mit einer Überschlagsrechnung, ob die Größenordnung sinnvoll ist.
Schon gewusst?
Die Vorsilben der Maßeinheiten sind Zehnerpotenzen: kilo steht für \(10^3\), mega für \(10^6\), giga für \(10^9\), milli für \(10^{-3}\) und nano für \(10^{-9}\). Ein Nanometer ist also ein Milliardstel Meter. Die Zahl \(10^{100}\) heißt übrigens Googol, und nach ihr wurde eine bekannte Suchmaschine benannt.
Ottos Tipp
Vereinfache zuerst mit den Potenzgesetzen und rechne erst dann aus. Oft kürzt sich vieles. Prüfe stichprobenweise mit kleinen Zahlen, etwa \(a=2\). Kenne die Zehnerpotenzen von \(10^{-6}\) bis \(10^{9}\) und die Vorsätze Milli, Mikro, Kilo, Mega und Giga.
So nutzt du den Lernzettel Potenzen und Potenzgesetze (Klasse 9)
Lies zuerst das Wichtigste oben, damit du weißt, worum es geht. Danach arbeitest du jede Definition und jedes Beispiel durch und deckst die Lösung zuerst ab. Anschließend übst du mit dem Arbeitsblatt zu Potenzen und Potenzgesetze und vergleichst mit den Lösungen. Sobald du dich sicher fühlst, testest du dich mit dem Online-Test oder dem Quiz. Schließlich schreibst du die Klassenarbeit zu Potenzen und Potenzgesetze und korrigierst sie mit den Lösungen zur Klassenarbeit.
Außerdem eignet sich das Kopfrechnen zum Aufwärmen, damit das Wissen frisch bleibt. Außerdem gehören alle Seiten dieses Kapitels zusammen, sodass du jederzeit wechseln kannst. Zum Beispiel lesen viele Schüler montags den Lernzettel, üben mittwochs und testen sich freitags. Kurz gesagt enthält dieser Lernzettel zu Potenzen und Potenzgesetze (Klasse 9) alles, was du für das Thema brauchst.
Zusammenfassend gilt: Regelmäßiges Üben hilft mehr als eine lange Sitzung. Zum Beispiel reichen oft zehn Minuten am Tag. Außerdem sind Fehler nützlich, denn sie zeigen, was du wiederholen solltest. Sobald ein Verfahren leicht wirkt, versuchst du danach eine schwerere Aufgabe. Dadurch wächst dein Selbstvertrauen Schritt für Schritt.
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