Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck – Mathe Klasse 9 Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Beispiel 1: Das 3-4-5-Dreieck

Im Dreieck mit \(a=3\), \(b=4\), \(c=5\) ist \(\alpha\) der Winkel bei \(A\) (gegenüber \(a\)). Berechne die drei Verhältnisse und \(\alpha\).

\(\sin\alpha=\frac35=0{,}6\), \(\cos\alpha=\frac45=0{,}8\), \(\tan\alpha=\frac34=0{,}75\).

Mit \(\sin^{-1}(0{,}6)\) erhältst du \(\alpha\approx36{,}87^\circ\).

Beispiel 2: Seiten aus Hypotenuse

Es ist \(c=10\) cm und \(\alpha=30^\circ\). Berechne \(a\) und \(b\).

Gegenkathete: \(a=c\cdot\sin\alpha=10\cdot0{,}5=5\) cm.

Ankathete: \(b=c\cdot\cos\alpha=10\cdot0{,}866\approx8{,}66\) cm.

Beispiel 3: Seiten aus Kathete

Es ist \(b=8\) cm und \(\alpha=40^\circ\). Berechne \(a\) und \(c\).

\(a=b\cdot\tan\alpha=8\cdot\tan40^\circ\approx6{,}71\) cm.

\(c=\dfrac{b}{\cos\alpha}=\dfrac8{\cos40^\circ}\approx10{,}44\) cm.

Beispiel 4: Winkel berechnen

Es ist \(a=5\) und \(b=12\). Berechne \(\alpha\) und \(\beta\).

\(\tan\alpha=\frac5{12}\), also \(\alpha=\tan^{-1}\left(\frac5{12}\right)\approx22{,}62^\circ\).

\(\beta=90^\circ-\alpha\approx67{,}38^\circ\).

Beispiel 5: Höhe über den Höhenwinkel

Du stehst 50 m vom Turm entfernt und siehst die Spitze unter \(32^\circ\). Wie hoch ist der Turm bei einer Augenhöhe von 1,6 m?

\(h=50\cdot\tan32^\circ\approx31{,}24\) m.

Mit der Augenhöhe: \(\approx32{,}84\) m.

Beispiel 6: Steigung in Prozent

Eine Straße hat 12 % Steigung. Wie groß ist der Neigungswinkel?

12 % bedeutet 12 m Höhenunterschied auf 100 m waagerecht. \(\alpha=\tan^{-1}(0{,}12)\approx6{,}84^\circ\).

Beispiel 7: Dach

Ein Haus ist 10 m breit, das Dach hat \(35^\circ\) Neigung. Wie hoch ist das Dach, wie lang ist ein Sparren?

Dachhöhe: \(h=5\cdot\tan35^\circ\approx3{,}50\) m.

Sparrenlänge: \(\dfrac5{\cos35^\circ}\approx6{,}10\) m.

Beispiel 8: Gleichschenkliges Dreieck

Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Basis 10 und die Schenkel 13. Berechne die Winkel.

Die Höhe zerlegt es in zwei rechtwinklige Dreiecke: \(\cos\alpha=\frac5{13}\), also \(\alpha\approx67{,}38^\circ\).

Spitzenwinkel: \(180^\circ-2\alpha\approx45{,}24^\circ\).

Beispiel 9: Rampe prüfen

Eine Rollstuhlrampe soll höchstens 6 % Steigung haben. Der Höhenunterschied beträgt 0,9 m.

Waagerecht braucht man mindestens \(\frac{0{,}9}{0{,}06}=15\) m.

Neigungswinkel: \(\tan^{-1}(0{,}06)\approx3{,}43^\circ\). Länge der Rampe: \(\sqrt{15^2+0{,}9^2}\approx15{,}03\) m.

Beispiel 10: Exakter Wert

In einem rechtwinkligen Dreieck mit \(\alpha=30^\circ\) ist die Hypotenuse \(14\) cm lang. Wie lang ist die Gegenkathete?

\(a=14\cdot\sin30^\circ=14\cdot\frac12=7\) cm. Die Gegenkathete ist die Hälfte der Hypotenuse.

Beispiel 11: Von sin zu cos und tan

Es ist \(\sin\alpha=\frac{5}{13}\). Bestimme \(\cos\alpha\) und \(\tan\alpha\).

\(\cos^2\alpha=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}\), also \(\cos\alpha=\frac{12}{13}\). Dann \(\tan\alpha=\frac{5/13}{12/13}=\frac5{12}\).

Beispiel 12: Tiefenwinkel

Von einem \(60\) m hohen Turm sieht man ein Boot unter dem Tiefenwinkel \(20^\circ\). Wie weit ist es vom Turmfuß entfernt?

Der Tiefenwinkel ist gleich dem Winkel im Dreieck am Boot. \(x=\frac{60}{\tan20^\circ}\approx164{,}8\) m.

Beispiel 13

Ein Drachen hängt an einer 50 m langen, straff gespannten Schnur. Die Schnur bildet mit dem Boden einen Winkel von \(55^\circ\). Wie hoch fliegt der Drachen, wenn die Hand 1 m über dem Boden ist?

Die Schnur ist die Hypotenuse, die gesuchte Höhe über der Hand ist die Gegenkathete des Winkels. Deshalb verwenden wir den Sinus: \(h=50\cdot\sin55^\circ\approx40{,}96\) m. Dazu addieren wir die Höhe der Hand und erhalten etwa 42 m. Antwort: Der Drachen fliegt ungefähr 42 m über dem Boden.