Wachstum und Zerfall – Mathe Klasse 9 Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Bei linearem Wachstum kommt in gleichen Zeiträumen immer dasselbe dazu (Addition). Bei exponentiellem Wachstum wird in gleichen Zeiträumen mit demselben Faktor multipliziert.

a) Ergänze beide Zeilen der Tabelle.
b) Welche Zeile wächst linear, welche exponentiell?
c) Nach wie vielen Wochen überholen die Bakterien die Pflanze (Zahlenwerte vergleichen)?

Bei einer Zunahme um \(p\,\%\) ist der Wachstumsfaktor \(q=1+\frac p{100}\), bei einer Abnahme \(q=1-\frac p{100}\).

a) Ergänze die Faktoren.
b) Gib die prozentuale Änderung für \(q=1{,}08\), \(q=0{,}95\) und \(q=1{,}5\) an.
c) Welcher Faktor entspricht zwei Änderungen: erst \(+10\,\%\), dann \(+20\,\%\)? Ist das \(+30\,\%\)?

Du legst \(400\) € auf einem Sparbuch an. Die Bank zahlt \(3\,\%\) Zinsen pro Jahr, die Zinsen werden mitverzinst.

a) Berechne das Guthaben nach \(1\), \(2\), \(5\) und \(10\) Jahren.
b) Wie lautet der Funktionsterm \(K(t)\)?
c) Wie viel Zinsen hast du nach \(10\) Jahren insgesamt bekommen?
d) Wie viel wäre es bei einfacher Verzinsung (jedes Jahr nur \(12\) € Zinsen)?

Ein Wirkstoff wird im Körper jede Stunde um \(10\,\%\) abgebaut. Zu Beginn sind \(80\) mg im Blut.

a) Berechne die Menge nach \(1\), \(2\), \(3\) und \(6\) Stunden.
b) Gib den Funktionsterm an.
c) Wie viel Prozent der Anfangsmenge sind nach \(6\) Stunden noch da?
d) Nach wie vielen ganzen Stunden ist weniger als die Hälfte vorhanden?

Ein exponentieller Vorgang hat den Term \(N(t)=N_0\cdot q^t\) mit dem Anfangswert \(N_0\) und dem Faktor \(q\).

a) Anfangswert \(250\), Zunahme \(20\,\%\) pro Zeitschritt. Stelle den Term auf und berechne \(N(4)\).
b) Anfangswert \(1000\), Abnahme \(8\,\%\) pro Zeitschritt. Term und \(N(5)\).
c) Ein Wert steigt von \(40\) auf \(64{,}8\) in \(2\) Schritten. Bestimme \(q\).
d) Ein Wert fällt von \(500\) auf \(405\) in einem Schritt. Wie hoch ist die Abnahme?

Prüfe jede Tabelle: Sind die Differenzen gleich (linear) oder die Quotienten gleich (exponentiell)?

a) Entscheide für jede Tabelle und gib die Funktionsgleichung an.
b) Berechne in Tabelle B den Wert für \(x=6\).
c) Berechne in Tabelle D, wann der Wert null erreicht.

Ein Sparbuch hat einen Zinssatz von \(2{,}4\,\%\) pro Jahr. Du zahlst \(2500\) € ein.

a) Berechne das Guthaben nach \(5\) Jahren.
b) Wie viel Zinsen sind das?
c) Nach wie vielen Jahren hat sich das Guthaben ungefähr verdoppelt? Probiere mit dem Taschenrechner.
d) Wie hoch ist das Guthaben nach \(20\) Jahren?

Ein Handy-Akku verliert durch Alterung jedes Jahr \(8\,\%\) seiner Kapazität.

a) Wie viel Prozent der Anfangskapazität sind nach \(1\), \(3\) und \(5\) Jahren noch da?
b) Nach wie vielen Jahren sind es weniger als \(50\,\%\)?
c) Der neue Akku hat \(4500\) mAh. Wie viel mAh sind nach \(4\) Jahren übrig?
d) Wie viel Prozent hat er insgesamt nach \(4\) Jahren verloren?

Eine Stadt hat \(120\,000\) Einwohner und wächst jedes Jahr um \(1{,}5\,\%\).

a) Berechne die Einwohnerzahl nach \(5\), \(10\), \(15\) und \(20\) Jahren (auf Hunderter gerundet).
b) Wann hat die Stadt mehr als \(150\,000\) Einwohner?
c) Wie viele Einwohner kommen im \(20.\) Jahr dazu?
d) Wie hoch wäre die Einwohnerzahl bei linearem Wachstum mit \(+1800\) pro Jahr nach \(20\) Jahren?

Der Wirkstoff eines Medikaments hat eine Halbwertszeit von \(6\) Stunden. Du nimmst \(400\) mg.

a) Ergänze die Tabelle.
b) Wie viel mg sind nach \(9\) Stunden noch da? (Rechne mit \(400\cdot0{,}5^{t/6}\).)
c) Bestimme den Stundenfaktor \(q=0{,}5^{1/6}\).
d) Wann sind weniger als \(10\) mg im Blut? Probiere mit \(0{,}5^n\) für ganze Halbwertszeiten.

Das Isotop Jod-131 hat eine Halbwertszeit von \(8\) Tagen. Eine Probe enthält \(80\) g.

a) Ergänze die Tabelle.
b) Wie viel Gramm sind nach \(20\) Tagen übrig?
c) Berechne den Tagesfaktor und gib die tägliche Abnahme in Prozent an.
d) Nach wie vielen Tagen ist weniger als \(1\) g vorhanden?

Auf einer Brotscheibe (\(100\,\mathrm{cm}^2\)) wächst Schimmel. Am Anfang bedeckt er \(2\,\mathrm{cm}^2\), die Fläche verdoppelt sich jeden Tag.

a) Ergänze die Tabelle.
b) An welchem Tag ist die Scheibe vollständig bedeckt (mehr als \(100\,\mathrm{cm}^2\))?
c) Welche Fläche hat der Schimmel am Tag \(4\), und wie viel Prozent der Scheibe sind das?
d) Am Tag \(5\) sind \(64\,\mathrm{cm}^2\) bedeckt. Wie viel ist es einen Tag davor, wie viel einen Tag danach?

Ein Video wird am ersten Tag \(500\)-mal angeschaut, danach wächst die Zahl der täglichen Aufrufe um \(40\,\%\) pro Tag. Ein zweites Video startet ebenfalls mit \(500\) und gewinnt jeden Tag \(900\) Aufrufe hinzu.

a) Ergänze die Tabelle auf ganze Zahlen.
b) Welches Video hat am Tag \(6\) mehr Aufrufe?
c) Ab welchem Tag überholt das exponentielle Video dauerhaft das lineare? (Probiere die Tage \(8\) bis \(10\).)
d) Gib beide Funktionsterme an (\(n\) Tage nach dem ersten Tag).

Die Fläche einer Seerose auf einem Teich verdoppelt sich alle \(3\) Tage. Nach \(30\) Tagen ist der Teich vollständig bedeckt.

a) An welchem Tag war der Teich zur Hälfte bedeckt?
b) Wie viel Prozent der Fläche waren es nach \(24\) Tagen?
c) Wann waren \(12{,}5\,\%\) bedeckt?
d) Warum merkt man die Gefahr bei exponentiellem Wachstum erst spät?

Ein Neuwagen kostet \(28\,000\) €. Im ersten Jahr verliert er \(15\,\%\) an Wert, danach jedes Jahr \(10\,\%\) vom Wert des Vorjahres.

a) Berechne den Wert nach \(1\) bis \(4\) Jahren.
b) Wie viel Prozent des Neupreises sind nach \(4\) Jahren noch da?
c) Nach wie vielen Jahren sinkt der Wert unter \(10\,000\) €?
d) Nach \(4\) Jahren verkauft Herr Ali das Auto für \(18\,000\) €. Ist das über oder unter dem Modellwert?

Stadt A hat \(50\,000\) Einwohner und wächst um \(1200\) pro Jahr. Stadt B hat \(40\,000\) Einwohner und wächst um \(2{,}5\,\%\) pro Jahr.

a) Stelle die Funktionsterme \(A(t)\) und \(B(t)\) auf.
b) Berechne beide Einwohnerzahlen nach \(10\), \(20\) und \(30\) Jahren.
c) Ab welchem Jahr hat B mehr Einwohner als A?
d) Beschreibe in einem Satz den Unterschied der beiden Entwicklungen.

Koffein hat eine Halbwertszeit von etwa \(5\) Stunden. Eine Tasse Kaffee enthält \(80\) mg Koffein, die sofort aufgenommen werden. Ben trinkt um 8 Uhr und um 13 Uhr je eine Tasse.

a) Wie viel Koffein von der ersten Tasse ist um 13 Uhr noch da?
b) Wie viel Koffein ist unmittelbar nach der zweiten Tasse im Blut?
c) Wie viel ist um 18 Uhr noch da (beide Tassen)?
d) Wie viel Koffein ist um 23 Uhr noch vorhanden? Ben möchte einschlafen.

Bei einer Infektionswelle verdoppeln sich die Fälle alle \(4\) Tage. Am Anfang gibt es \(8\) Fälle.

a) Wie viele Fälle gibt es nach \(8\), \(16\) und \(28\) Tagen?
b) Bestimme den Tagesfaktor \(q=2^{1/4}\) und die tägliche Zunahme in Prozent.
c) Nach wie vielen Tagen gibt es mehr als \(1000\) Fälle?
d) Durch Maßnahmen halbiert sich die Zahl der Fälle alle \(6\) Tage. Von \(1024\) Fällen aus: Nach wie vielen Tagen sind es weniger als \(10\)?

Zwei Banken bieten für \(5000\) € an. Bank A: \(2\,\%\) Zinsen pro Jahr mit Zinseszins. Bank B: jedes Jahr \(100\) € Zinsen, die nicht mitverzinst werden.

a) Ergänze die Tabelle.
b) Nach wie vielen Jahren ist Bank A besser? Begründe.
c) Wie viel Jahre braucht A, um \(10\,000\) € zu erreichen (Probieren)?
d) Welche Zinsrate müsste B bei einfacher Verzinsung zahlen, um nach \(20\) Jahren so viel wie A zu haben?

Die Zeit, in der sich ein Wert bei konstantem Wachstumsfaktor \(q\) verdoppelt, nennt man Verdopplungszeit. Es gilt \(q^n=2\), also \(n=\frac{\ln2}{\ln q}\). Als Faustregel gilt \(n\approx\frac{72}{p}\) bei \(p\,\%\) Wachstum.

a) Bestimme mit Probieren die Verdopplungszeit für \(q=1{,}07\) (zwei ganze Jahre genügen: \(1{,}07^{10}\), \(1{,}07^{11}\)).
b) Berechne mit der Formel die Verdopplungszeit für \(3\,\%\), \(5\,\%\) und \(7\,\%\) Wachstum.
c) Vergleiche mit der Faustregel \(\frac{72}p\).
d) Berechne die Halbwertszeit für \(q=0{,}9\) (also \(10\,\%\) Abnahme pro Zeitschritt).