Pyramide, Kegel und Kugel – Mathe Klasse 9 Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Das Volumen einer Pyramide ist \(V=\frac13\cdot G\cdot h\) mit der Grundfläche \(G\) und der Höhe \(h\). Berechne.

a) Berechne alle vier Volumina.
b) Wie ändert sich das Volumen in a), wenn die Höhe verdoppelt wird?
c) Wie viele gleiche Pyramiden wie in a) passen volumengleich in einen Würfel mit der Kantenlänge \(6\) cm?

Das Volumen eines Kegels ist \(V=\frac13\pi r^2h\). Runde auf zwei Nachkommastellen.

a) \(r=3\) cm, \(h=7\) cm
b) \(r=5\) cm, \(h=12\) cm
c) Durchmesser \(8\) cm, \(h=9\) cm
d) Wie verhält sich das Volumen zu einem Zylinder mit gleichem \(r\) und \(h\)?

Für die Kugel gilt \(V=\frac43\pi r^3\) und \(O=4\pi r^2\).

a) Berechne Volumen und Oberfläche (zwei Nachkommastellen).
b) Was passiert mit \(V\) und \(O\), wenn der Radius verdoppelt wird?

Im Kegel gilt \(s^2=r^2+h^2\). Mantel \(M=\pi rs\), Oberfläche \(O=\pi r^2+\pi rs\).

a) Berechne \(s\) für \(r=6\) cm und \(h=8\) cm.
b) Berechne Mantelfläche und Oberfläche.
c) Berechne \(h\) für \(r=5\) cm und \(s=13\) cm.
d) Wie groß ist \(M\), wenn \(s\) doppelt so lang ist (bei gleichem \(r\))?

Eine quadratische Pyramide hat die Grundkante \(a=8\) cm und die Höhe \(h=3\) cm. Die Seitenhöhe \(h_s\) ist die Höhe einer Seitenfläche.

a) Berechne \(h_s\) mit dem Satz des Pythagoras (halbe Grundkante und Höhe).
b) Berechne die Mantelfläche (vier Dreiecke).
c) Berechne die Oberfläche.
d) Berechne das Volumen.

Wenn das Volumen gegeben ist, stellst du die Formel um.

a) Berechne die gesuchten Größen.
b) Ein Kegel hat \(V=100\pi\,\mathrm{cm}^3\) und \(h=12\) cm. Berechne \(r\).

Eine Waffeltüte ist ein Kegel mit dem Radius \(2{,}5\) cm und der Höhe \(10\) cm. Darauf liegt eine Eiskugel mit dem Radius \(2{,}5\) cm. Eine Kugel kostet \(1{,}20\) €.

a) Berechne das Volumen der Tüte.
b) Berechne das Volumen der Eiskugel.
c) Warum läuft das Eis nicht über, wenn es schmilzt und in die Tüte fließt?
d) Wie viel kostet \(1\) Liter Eis (\(1\) Liter \(=1000\,\mathrm{cm}^3\))?

Ein Pyramidenzelt hat eine quadratische Grundfläche mit der Kantenlänge \(3\) m und ist \(2{,}4\) m hoch. Die Zeltplane kostet \(14\) € pro \(\mathrm{m}^2\), das Zelt hat keinen Boden.

a) Berechne das Volumen des Zeltes (Luftraum).
b) Berechne die Seitenhöhe einer Dreiecksfläche.
c) Wie groß ist die Planenfläche?
d) Was kostet die Plane?

Ein Fußball hat einen Umfang von \(69\) cm. Er ist eine Kugel.

a) Berechne den Radius mit \(u=2\pi r\).
b) Berechne die Oberfläche (Leder).
c) Berechne das Volumen in Litern.
d) Ein Ball besteht aus \(32\) Flächen (\(12\) Fünfecke und \(20\) Sechsecke). Wie groß ist durchschnittlich eine Fläche?

Ein Silo besteht aus einem Zylinder (\(r=2\) m, \(h=6\) m) mit einem aufgesetzten Kegeldach (Höhe \(1{,}5\) m). Weizen hat eine Dichte von etwa \(750\) kg pro \(\mathrm{m}^3\).

a) Berechne das Volumen des Zylinders und des Kegels.
b) Wie viele Tonnen Weizen fasst das Silo (komplett gefüllt)?
c) Berechne die Mantellinie des Dachs und die Blechfläche für Zylindermantel und Dach.
d) Ein Mähdrescher liefert \(8\) t pro Fahrt. Wie viele Fahrten bis zum vollen Silo?

Die Erde ist näherungsweise eine Kugel mit dem Radius \(6371\) km, der Mond mit \(1737\) km. Etwa \(71\,\%\) der Erdoberfläche sind mit Wasser bedeckt.

a) Berechne die Oberfläche der Erde (in Millionen \(\mathrm{km}^2\)).
b) Wie groß ist die Wasserfläche?
c) Wie viele Monde passen volumenmäßig in die Erde?
d) Wie groß ist die Oberfläche des Mondes im Vergleich zu der der Erde?

Ein Kirchturm hat ein Pyramidendach über einem quadratischen Grundriss (\(a=4\) m) mit der Höhe \(6\) m. Das Dach wird mit Kupferblech gedeckt (\(85\) € pro \(\mathrm{m}^2\)).

a) Berechne die Seitenhöhe.
b) Berechne die Dachfläche.
c) Wie hoch sind die Materialkosten?
d) Wie groß ist der Rauminhalt unter dem Dach?

Ein kegelförmiges Glas hat den Radius \(4\) cm und die Höhe \(9\) cm (Spitze unten). Es wird mit Wasser gefüllt.

a) Berechne das Volumen bei voller Füllung in ml (\(1\,\mathrm{cm}^3=1\) ml).
b) Bestimme Radius und Volumen bei Füllhöhe \(6\) cm.
c) Zeige, dass das Volumenverhältnis \((\frac69)^3\) beträgt.
d) Bis zu welcher Höhe muss man füllen, damit genau \(100\) ml im Glas sind?

In einen Würfel mit der Kantenlänge \(10\) cm passt genau eine Kugel (sie berührt alle Seitenflächen).

a) Berechne Volumen und Oberfläche des Würfels.
b) Berechne Volumen und Oberfläche der Kugel.
c) Wie viel Prozent des Würfelvolumens füllt die Kugel?
d) Wie viel Prozent der Würfeloberfläche ist die Kugeloberfläche? Was fällt auf?

Auf einer Baustelle schüttet ein Bagger einen kegelförmigen Sandhaufen auf. Er hat \(4\) m Durchmesser und ist \(1{,}5\) m hoch. Sand wiegt etwa \(1{,}6\) t pro \(\mathrm{m}^3\). Ein Lastwagen transportiert höchstens \(8\) t.

a) Berechne das Volumen des Haufens.
b) Berechne die Masse.
c) Wie viele Lastwagen-Fahrten sind nötig, um den Haufen abzufahren?
d) Der Haufen wird mit einer Plane abgedeckt. Berechne die Mantelfläche. Was kostet die Plane bei \(3{,}20\) € pro \(\mathrm{m}^2\)?

Ein Wasserbehälter besteht aus einem Zylinder (\(r=3\) m, \(h=4\) m) und einer aufgesetzten Halbkugel mit demselben Radius. Eine Pumpe füllt \(20\) Liter pro Sekunde.

a) Berechne das Gesamtvolumen in Kubikmetern und Litern.
b) Wie lange dauert das Füllen (in Stunden)?
c) Berechne die Außenfläche (Zylindermantel und Halbkugel) für den Anstrich.
d) Ein Liter Farbe reicht für \(6\,\mathrm{m}^2\). Wie viele Liter werden gebraucht?

Die Cheops-Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit der Kantenlänge \(230\) m und ist ursprünglich \(139\) m hoch. Der Stein hat eine Dichte von etwa \(2{,}5\) t pro \(\mathrm{m}^3\).

a) Berechne das Volumen.
b) Wie viele Tonnen Stein sind verbaut?
c) Berechne die Seitenhöhe und die Mantelfläche.
d) Der Bau dauerte etwa \(20\) Jahre. Wie viele \(1\)-\(\mathrm{m}^3\)-Blöcke mussten pro Tag verbaut werden (\(365\) Tage pro Jahr)?

Archimedes entdeckte: Passen ein Kegel, eine Kugel und ein Zylinder in dieselbe Höhe \(2r\) mit demselben Radius \(r\), so verhalten sich die Volumina wie \(1:2:3\). Prüfe das mit \(r=4\) cm.

a) Berechne die drei Volumina.
b) Zeige das Verhältnis \(1:2:3\) allgemein mit \(r\).
c) Ein Zylinderglas (\(r=5\) cm) ist \(10\) cm hoch mit Wasser gefüllt. Eine Kugel mit \(r=3\) cm wird eingetaucht. Um wie viel Zentimeter steigt das Wasser?

Ein Papiertrichter entsteht aus einem Kreisausschnitt (Sektor) mit dem Radius \(s=10\) cm. Er wird zu einem Kegel mit dem Grundkreisradius \(r=4\) cm gerollt.

a) Berechne die Höhe des Kegels.
b) Welchen Mittelpunktswinkel hat der Kreisausschnitt? (Bogenlänge \(=2\pi r\))
c) Wie groß ist die Papierfläche und das Volumen des Trichters?
d) Aus einem Bogen von \(0{,}6\,\mathrm{m}^2\) sollen möglichst viele Trichter geschnitten werden. Wie viele gehen höchstens hinein (ohne Verschnitt)?

Eine Kugel mit dem Radius \(5\) cm und ein Würfel haben das gleiche Volumen.

a) Berechne die Kantenlänge des Würfels.
b) Vergleiche die Oberflächen. Welcher Körper hat die kleinere Oberfläche?
c) Der Radius der Kugel wird verdoppelt. Um welchen Faktor wächst das Volumen? Wie muss der Radius wachsen, damit das Volumen sich verdoppelt?
d) Warum sind Seifenblasen und Wassertropfen rund?