Satz des Pythagoras – Mathe Klasse 9 Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (4 BE/Punkte)

   a) Gegeben sind die beiden Katheten \(a\) und \(b\), gesucht ist die Hypotenuse. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(c^2=a^2+b^2=400+441=841\) (1 P.). Wurzelziehen: \(c=\sqrt{841}=29\) cm (1 P.).
   b) Jetzt ist die Hypotenuse \(c=2{,}5\) m bekannt und eine Kathete gesucht. Man stellt um: \(a^2=c^2-b^2=6{,}25-2{,}25=4\) (1 P.), also \(a=2\) m (1 P.). Kontrolle: Die Hypotenuse muss die längste Seite sein; das trifft in beiden Teilaufgaben zu (\(29\gt21\), \(2{,}5\gt2\)). Hinweis: \(20\), \(21\), \(29\) ist ein bekanntes pythagoreisches Zahlentripel. Antwort: \(c=29\) cm und \(a=2\) m.

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   Nach der Umkehrung des Satzes des Pythagoras ist ein Dreieck genau dann rechtwinklig, wenn die Summe der Quadrate der beiden kürzeren Seiten gleich dem Quadrat der längsten Seite ist.
   a) \(9^2+40^2=81+1600=1681\) und \(41^2=1681\) (1 P.). Gleichheit: Das Dreieck ist rechtwinklig, der rechte Winkel liegt gegenüber der Seite \(41\) cm (1 P.).
   b) \(6^2+7^2=36+49=85\), aber \(10^2=100\) (1 P.). Da \(85\ne100\) gilt, ist das Dreieck nicht rechtwinklig. Weil \(85\lt100\), ist der Winkel gegenüber der längsten Seite sogar größer als \(90^\circ\): Das Dreieck ist stumpfwinklig (1 P.). Antwort: a) ja, b) nein.

3. Lösung zu Aufgabe 3 (4 BE/Punkte)

   a) In einer Raute stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander und halbieren sich. So entstehen vier kongruente rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten \(\frac{16}{2}=8\) cm und \(\frac{12}{2}=6\) cm; die Rautenseite \(a\) ist die Hypotenuse (1 P.). \(a=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\) cm (1 P.).
   b) Alle vier Seiten sind gleich lang, also \(U=4\cdot10=40\) cm (1 P.). Für die Fläche einer Raute gilt \(A=\frac{e\cdot f}{2}=\frac{16\cdot12}{2}=96\,\mathrm{cm}^2\) (1 P.). Kontrolle über die Teildreiecke: \(4\cdot\frac12\cdot8\cdot6=96\,\mathrm{cm}^2\), gleiches Ergebnis. Antwort: Seite \(10\) cm, Umfang \(40\) cm, Fläche \(96\,\mathrm{cm}^2\).

4. Lösung zu Aufgabe 4 (5 BE/Punkte)

   a) Der Giebel ist ein gleichschenkliges Dreieck. Die Höhe teilt ihn in zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten \(\frac82=4\) m und \(3\) m; der Sparren ist die Hypotenuse (1 P.). \(s=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\) m (1 P.).
   b) Jede Dachseite ist ein Rechteck aus Sparrenlänge und Hauslänge: \(5\cdot10=50\,\mathrm{m}^2\). Zwei Seiten ergeben \(100\,\mathrm{m}^2\) (2 P.). Häufiger Fehler: die Giebelbreite \(8\) m statt der Sparrenlänge verwenden; dann käme man nur auf \(80\,\mathrm{m}^2\).
   c) Kosten gleich Fläche mal Preis pro Quadratmeter: \(100\cdot14=1400\) € (1 P.). Antwort: Sparren \(5\) m, Dachfläche \(100\,\mathrm{m}^2\), Ziegelkosten \(1400\) €.

5. Lösung zu Aufgabe 5 (3 BE/Punkte)

   a) Zuerst berechnet man die Diagonale der Grundfläche: \(d_G=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\) dm. Diese Diagonale und die Höhe \(12\) dm bilden wieder ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse die Raumdiagonale ist: \(d=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13\) dm (2 P.). Zusammengefasst entspricht das der Formel \(d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{9+16+144}\).
   b) Die Raumdiagonale ist die längste Strecke, die in den Quader passt. Weil \(12{,}5\lt13\) gilt, lässt sich der Stab schräg von einer unteren Ecke zur gegenüberliegenden oberen Ecke legen (1 P.). Senkrecht allein passt er dagegen nicht, denn \(12{,}5\gt12\). Antwort: \(13\) dm; ja, der Stab passt schräg hinein.

Gesamt : 20 Punkte