Satz des Pythagoras – Mathe Klasse 9 Arbeitsblatt Lösungen zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1

   Gegeben sind jeweils die beiden Katheten, gesucht ist die Hypotenuse. Deshalb werden die Quadrate der Katheten addiert und danach wird die Wurzel gezogen.
   a) \(c=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\) cm. Antwort: Die Hypotenuse ist 15 cm lang.
   b) \(c=\sqrt{5{,}76+3{,}24}=\sqrt9=3\) m. Die Dezimalzahlen werden zuerst quadriert. Antwort: Die Hypotenuse ist 3 m lang.
   c) \(c=\sqrt{121+3600}=\sqrt{3721}=61\) cm. Antwort: Die Hypotenuse ist 61 cm lang, also deutlich länger als die längere Kathete.
   d) \(c=\sqrt{98}=7\sqrt2\approx9{,}90\) cm. Bei gleich langen Katheten gilt \(c=a\sqrt2\). Antwort: Die Hypotenuse ist etwa 9,90 cm lang.

2. Lösung zu Aufgabe 2

   Hier ist die Hypotenuse gegeben. Eine Kathete erhältst du, indem du vom Quadrat der Hypotenuse das Quadrat der bekannten Kathete subtrahierst.
   a) \(b=\sqrt{676-100}=\sqrt{576}=24\) cm. Antwort: Die fehlende Kathete ist 24 cm lang.
   b) \(a=\sqrt{72{,}25-16}=\sqrt{56{,}25}=7{,}5\) m. Antwort: Die fehlende Kathete ist 7,5 m lang.
   c) \(a=\sqrt{81-36}=\sqrt{45}=3\sqrt5\approx6{,}71\) cm. Die Wurzel wird teilweise gezogen: \(45=9\cdot5\). Antwort: Die Kathete ist etwa 6,71 cm lang.

3. Lösung zu Aufgabe 3

   Nach der Umkehrung des Satzes gilt: Ist die Summe der Quadrate der beiden kürzeren Seiten gleich dem Quadrat der längsten Seite, dann ist das Dreieck rechtwinklig.
   a) \(0{,}81+1{,}44=2{,}25=1{,}5^2\): rechtwinklig. Die Gleichung stimmt, der rechte Winkel liegt gegenüber der Seite 1,5 m.
   b) \(144+1225=1369=37^2\): rechtwinklig. Die Gleichung stimmt, der rechte Winkel liegt gegenüber der Seite 37 cm.
   c) \(64+225=289\neq324=18^2\): nicht rechtwinklig. Weil \(289<324\), ist der größte Winkel sogar stumpf.
   d) \(2{,}25+4=6{,}25=2{,}5^2\): rechtwinklig. Dieses Dreieck ist das Dreieck 3-4-5, nur mit dem Faktor 0,5 verkleinert.

4. Lösung zu Aufgabe 4

   a) \(c^2=49+576=625\,\mathrm{cm}^2\), also \(c=25\) cm (Katheten \(7\) und \(24\)). Die Flächen der Quadrate über den Katheten werden addiert und ergeben die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse. Antwort: Das große Quadrat hat 625 cm² Fläche, die Hypotenuse ist 25 cm lang.
   b) \(h=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt3\approx6{,}93\) cm; \(A=\frac12\cdot8\cdot6{,}93\approx27{,}71\,\mathrm{cm}^2\) (genau \(16\sqrt3\)). Die Höhe teilt das gleichseitige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke mit Hypotenuse 8 cm und Kathete 4 cm. Antwort: Die Höhe beträgt etwa 6,93 cm, die Fläche etwa 27,71 cm².
   c) Die Höhe halbiert die Grundseite: \(h^2+(\frac a2)^2=a^2\), also \(h^2=\frac34a^2\) und \(h=\frac a2\sqrt3\). Man zieht die Wurzel aus \(\frac34a^2\), dabei gilt \(\sqrt{\frac34}=\frac{\sqrt3}2\). Damit ist die Formel für jede Seitenlänge \(a\) bewiesen.

5. Lösung zu Aufgabe 5

   a) \(b=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15\) cm; \(U=2\cdot(8+15)=46\) cm; \(A=8\cdot15=120\,\mathrm{cm}^2\). Die Diagonale ist die Hypotenuse, die Rechteckseiten sind die Katheten. Antwort: Die zweite Seite ist 15 cm lang, der Umfang beträgt 46 cm und die Fläche 120 cm².
   b) \(a=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13\) cm. Da sich die Diagonalen senkrecht halbieren, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 12 cm und 5 cm. Antwort: Jede Seite der Raute ist 13 cm lang.
   c) \(U=4\cdot13=52\) cm; \(A=\frac{24\cdot10}2=120\,\mathrm{cm}^2\). Alle vier Seiten der Raute sind gleich lang. Antwort: Der Umfang beträgt 52 cm und die Fläche 120 cm².

6. Lösung zu Aufgabe 6

   a) \(\frac{14-6}{2}=4\) cm. Die längere Grundseite ist um 8 cm länger; dieser Unterschied verteilt sich gleichmäßig auf beide Seiten. Antwort: Der Überstand beträgt auf jeder Seite 4 cm.
   b) \(h=\sqrt{25-16}=\sqrt9=3\) cm. Schenkel (Hypotenuse), Überstand und Höhe bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Antwort: Das Trapez ist 3 cm hoch.
   c) \(A=\frac{14+6}2\cdot3=30\,\mathrm{cm}^2\); \(U=14+6+5+5=30\) cm. Für die Fläche nimmt man den Mittelwert der Grundseiten mal die Höhe. Antwort: Die Fläche beträgt 30 cm² und der Umfang 30 cm.

7. Lösung zu Aufgabe 7

   a) \(s=\sqrt{4{,}8^2+3{,}6^2}=\sqrt{36{,}00}=6{,}0\) m. Die halbe Hausbreite (4,8 m) und die Firsthöhe sind die Katheten, der Sparren ist die Hypotenuse. Antwort: Ein Sparren ist 6 m lang.
   b) \(A=2\cdot6\cdot14=168\,\mathrm{m}^2\). Das Dach besteht aus zwei Rechtecken, jedes 6 m breit und 14 m lang. Antwort: Die Dachfläche beträgt 168 m².
   c) \(168\cdot10=1680\) Ziegel. Antwort: Man braucht 1680 Ziegel (ohne Reserve für Bruch).
   d) Sparren \(6{,}5\) m; \(A=2\cdot6{,}5\cdot14=182\,\mathrm{m}^2\). Die Neigung bleibt gleich, also wird nur die Sparrenlänge um 0,5 m länger. Antwort: Die Dachfläche wächst auf 182 m².

8. Lösung zu Aufgabe 8

   a) \(0{,}06=\frac{0{,}6}{x}\), also \(x=10\) m. Die Steigung ist Höhe geteilt durch waagerechte Länge; man löst nach \(x\) auf: \(x=0{,}6:0{,}06\). Antwort: Die Rampe muss mindestens 10 m lang sein.
   b) \(\sqrt{100+0{,}36}=\sqrt{100{,}36}\approx10{,}018\) m. Die geneigte Fläche ist die Hypotenuse mit den Katheten 10 m und 0,6 m. Antwort: Sie ist etwa 10,02 m lang, kaum länger als die waagerechte Strecke.
   c) \(10{,}018\cdot1{,}2\approx12{,}02\,\mathrm{m}^2\). Der Belag ist ein Rechteck aus Rampenlänge und Breite. Antwort: Er hat etwa 12,02 m² Fläche.
   d) \(12{,}02\cdot48\approx577\) €. Antwort: Der Belag kostet ungefähr 577 €.

9. Lösung zu Aufgabe 9

   a) \(\sqrt{144+25}=13\) km. Norden und Osten stehen senkrecht aufeinander, also sind 12 km und 5 km die Katheten. Antwort: Das Schiff ist 13 km vom Start entfernt.
   b) \(17-13=4\) km kürzer. Der Umweg ist \(12+5=17\) km lang. Antwort: Die direkte Strecke ist 4 km kürzer.
   c) Umweg: \(\frac{17}{20}\cdot60=51\) min; direkt: \(\frac{13}{20}\cdot60=39\) min. Zeit ist Strecke geteilt durch Geschwindigkeit, umgerechnet in Minuten. Antwort: Der Umweg dauert 51 Minuten, die direkte Fahrt 39 Minuten.
   d) \(\sqrt{81+1600}=\sqrt{1681}=41\) km. Antwort: Die direkte Strecke wäre 41 km lang.

10. Lösung zu Aufgabe 10

    a) \(d=\sqrt{2\cdot6371\cdot0{,}3+0{,}09}=\sqrt{3822{,}69}\approx61{,}8\) km. Man setzt \(R=6371\) km und \(h=0{,}3\) km in die umgestellte Formel ein. Antwort: Vom Turm sieht man etwa 61,8 km weit.
    b) \((R+h)^2=R^2+2Rh+h^2\), also \(d^2=2Rh+h^2\). Nach der binomischen Formel wird \(R^2\) auf beiden Seiten subtrahiert; dann zieht man die Wurzel und erhält \(d=\sqrt{2Rh+h^2}\).
    c) \(\sqrt{2\cdot6371\cdot0{,}3}\approx61{,}83\) km. Der Unterschied ist winzig, weil \(h^2\) sehr klein ist. Die Näherung weicht nur um wenige Meter ab und genügt für die Praxis.
    d) \(h\approx\frac{d^2}{2R}=\frac{2500}{12742}\approx0{,}196\) km \(\approx196\) m. Man stellt die Näherung nach \(h\) um: \(h=d^2:(2R)\). Antwort: Der Turm müsste etwa 196 m hoch sein.

11. Lösung zu Aufgabe 11

    a) \(d=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5\) cm. Die halbe Sehne ist 12 cm, der Radius 13 cm ist die Hypotenuse. Antwort: Die Sehne ist 5 cm vom Mittelpunkt entfernt.
    b) \(\sqrt{169-144}=5\), Sehne \(2\cdot5=10\) cm. Nun ist der Abstand 12 cm eine Kathete, die halbe Sehne ist 5 cm. Antwort: Die Sehne ist 10 cm lang.
    c) Der Durchmesser: \(26\) cm (Abstand \(0\)). Je näher die Sehne am Mittelpunkt liegt, desto länger ist sie. Antwort: Die längste Sehne ist der Durchmesser mit 26 cm.
    d) \(2\cdot\sqrt{169-25}=2\cdot12=24\) cm: die Sehne aus a). Antwort: Die Sehne ist 24 cm lang; Abstand 5 cm und Länge 24 cm passen also genau zu Teil a).

12. Lösung zu Aufgabe 12

    a) \(\sqrt{144+25}=13\) m. Mast (12 m) und Abstand am Boden (5 m) sind die Katheten. Antwort: Ein Seil ist ohne Befestigung 13 m lang.
    b) \(3\cdot(13+0{,}4)=40{,}2\) m. Zu jedem Seil kommen 0,40 m hinzu, danach wird mit 3 multipliziert. Antwort: Man braucht insgesamt 40,2 m Seil.
    c) \(40{,}2\cdot2{,}40=96{,}48\) €. Antwort: Das Seil kostet 96,48 €.
    d) \(\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=9\) m. Jetzt ist das Seil die Hypotenuse und der Abstand die gesuchte Kathete. Antwort: Die Anker müssten 9 m vom Mastfuß entfernt stehen.

13. Lösung zu Aufgabe 13

    a) \(\sqrt{33^2+20^2}=\sqrt{1489}\approx38{,}59\) cm. Länge und Breite des Bodens sind die Katheten. Antwort: Die Bodendiagonale ist etwa 38,59 cm lang.
    b) \(\sqrt{1489+144}=\sqrt{1633}\approx40{,}41\) cm. Bodendiagonale und Höhe bilden ein neues rechtwinkliges Dreieck. Antwort: Die Raumdiagonale ist etwa 40,41 cm lang.
    c) \(38<40{,}41\): ja. \(41>40{,}41\): nein. Der längste Stab, der hineinpasst, liegt auf der Raumdiagonale. Antwort: Der 38-cm-Stab passt, der 41-cm-Stab nicht.
    d) Die Raumdiagonale: \(\approx40{,}41\) cm. Die Ecken des Kartons liegen auf der Kugel, die Raumdiagonale ist ihr Durchmesser. Antwort: Die Kugel hat etwa 40,41 cm Durchmesser.

14. Lösung zu Aufgabe 14

    a) \(h_s=\sqrt{4^2+3^2}=5\) cm. Höhe und halbe Grundkante (3 cm) bilden mit \(h_s\) ein rechtwinkliges Dreieck. Antwort: Die Seitenhöhe beträgt 5 cm.
    b) Halbe Diagonale \(3\sqrt2\): \(\sqrt{16+18}=\sqrt{34}\approx5{,}83\) cm. Für die Seitenkante braucht man die halbe Diagonale der Grundfläche: \(\frac{6\sqrt2}2=3\sqrt2\). Antwort: Die Seitenkante ist etwa 5,83 cm lang.
    c) \(M=4\cdot\frac12\cdot6\cdot5=60\,\mathrm{cm}^2\). Der Mantel besteht aus vier gleichen Dreiecken mit Grundseite 6 cm und Höhe 5 cm. Antwort: Die Mantelfläche beträgt 60 cm².
    d) \(h=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}\approx5{,}20\) cm. Jetzt ist \(h_s=6\) cm die Hypotenuse. Antwort: Die Pyramide müsste etwa 5,20 cm hoch sein.

15. Lösung zu Aufgabe 15

    a) Halbe Diagonale \(3\sqrt2\approx4{,}24\); \(\sqrt{16+18}=\sqrt{34}\approx5{,}83\) m; vier Seile: \(\approx23{,}3\) m. Mast und halbe Diagonale des Feldes sind die Katheten. Antwort: Ein Eckseil ist etwa 5,83 m lang, alle vier zusammen etwa 23,3 m.
    b) \(\sqrt{16+9}=5\) m. Hier ist die Kathete am Boden die halbe Feldseite (3 m). Antwort: Das Seil zur Seitenmitte ist 5 m lang.
    c) \(4\cdot\frac12\cdot6\cdot5=60\,\mathrm{m}^2\). Das Netz besteht aus vier Dreiecken mit Grundseite 6 m und Höhe 5 m. Antwort: Das Netz ist 60 m² groß.
    d) \(60\cdot8=480\) €. Antwort: Das Netz kostet 480 €.

16. Lösung zu Aufgabe 16

    a) \(HG=\sqrt{36+64}=10\); \(GS=\sqrt{36+64}=10\); \(HS=12\). Man bildet die Differenzen der Koordinaten und setzt sie in die Abstandsformel ein. Antwort: \(HG=GS=10\) km, \(HS=12\) km.
    b) \(10^2+10^2=200\neq144=12^2\): nicht rechtwinklig, aber gleichschenklig. Die längste Seite ist \(HS\). Da die Gleichung nicht erfüllt ist, gibt es keinen rechten Winkel.
    c) \(U=10+10+12=32\) km; Höhe \(h=\sqrt{100-36}=8\) km, \(A=\frac12\cdot12\cdot8=48\,\mathrm{km}^2\). Weil das Dreieck gleichschenklig ist, trifft die Höhe von \(G\) die Seite \(HS\) in der Mitte. Antwort: Umfang 32 km, Fläche 48 km².
    d) \(20-12=8\) km. Über den Gipfel geht man \(10+10=20\) km. Antwort: Der direkte Weg spart 8 km.

17. Lösung zu Aufgabe 17

    a) \(h=\sqrt{25-9}=4\) m. Die Leiter ist die Hypotenuse, Abstand und Höhe sind die Katheten. Antwort: Die Leiter reicht 4 m hoch.
    b) Abstand \(4\) m: \(h=\sqrt{25-16}=3\) m. Die Spitze ist um \(1\) m gesunken. Antwort: Die Leiter reicht nur noch 3 m hoch, die Spitze ist also 1 m nach unten gerutscht.
    c) Abstand \(5\) m: \(h=\sqrt{25-25}=0\): die Leiter liegt am Boden. Der Abstand ist jetzt so groß wie die Leiterlänge, es gibt kein Dreieck mehr.
    d) \(x=\sqrt{25-20{,}25}=\sqrt{4{,}75}\approx2{,}18\) m. Hier ist die Höhe 4,5 m bekannt, gesucht ist die Kathete am Boden. Antwort: Der Fuß muss etwa 2,18 m von der Wand entfernt stehen.

18. Lösung zu Aufgabe 18

    a) \(d=6\sqrt2\approx8{,}49\) cm; \(e=6\sqrt3\approx10{,}39\) cm. Die Flächendiagonale ist \(a\sqrt2\), die Raumdiagonale \(a\sqrt3\). Antwort: etwa 8,49 cm und etwa 10,39 cm.
    b) Seite \(6\sqrt2\): \(A=\frac{\sqrt3}{4}\cdot72=18\sqrt3\approx31{,}18\,\mathrm{cm}^2\). Für ein gleichseitiges Dreieck mit Seite \(s\) gilt \(A=\frac{\sqrt3}4s^2\) und hier \(s^2=72\). Antwort: Die Fläche beträgt etwa 31,18 cm².
    c) \(10<10{,}39\): ja, schräg. Antwort: Der Stab passt, aber nur schräg entlang der Raumdiagonale, denn er ist länger als jede Kante und jede Flächendiagonale.
    d) \(e=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=a\sqrt3\). Man wendet den Satz des Pythagoras zweimal an. Die Raumdiagonale ist immer das \(\sqrt3\)-fache der Kante.

19. Lösung zu Aufgabe 19

    a) \(a^2=25\cdot9=225\), \(a=15\) cm; \(b^2=25\cdot16=400\), \(b=20\) cm. Man setzt in den Kathetensatz ein und zieht die Wurzel. Antwort: \(a=15\) cm und \(b=20\) cm.
    b) \(h_c^2=9\cdot16=144\), \(h_c=12\) cm. Antwort: Die Höhe auf der Hypotenuse ist 12 cm lang.
    c) \(225+400=625=25^2\). Die Gleichung stimmt, damit sind die Ergebnisse aus a) bestätigt.
    d) \(A=\frac12\cdot15\cdot20=150\,\mathrm{cm}^2\); \(\frac12\cdot25\cdot12=150\,\mathrm{cm}^2\). Gleich. Beide Wege liefern 150 cm²; das ist eine gute Kontrolle der Rechnung.

20. Lösung zu Aufgabe 20

    a) \(\sqrt2\approx1{,}41\), \(\sqrt3\approx1{,}73\), \(\sqrt4=2\), \(\sqrt5\approx2{,}24\), \(\sqrt6\approx2{,}45\), \(\sqrt7\approx2{,}65\), \(\sqrt8\approx2{,}83\), \(\sqrt9=3\). Beim \(n\)-ten Dreieck ist die Hypotenuse \(\sqrt{n+1}\), denn \((\sqrt n)^2+1^2=n+1\).
    b) Beim dritten Dreieck: Hypotenuse \(\sqrt4=2\). Dann wieder beim achten (\(\sqrt9=3\)). Ganze Zahlen entstehen nur, wenn \(n+1\) eine Quadratzahl ist.
    c) \(\frac12(1+1{,}414+1{,}732+2+2{,}236+2{,}449+2{,}646+2{,}828)\approx\frac12\cdot16{,}305\approx8{,}15\,\mathrm{FE}\). Man addiert die acht Flächen \(\frac12\sqrt n\) für \(n=1\) bis \(8\). Antwort: Die Gesamtfläche beträgt etwa 8,15 Flächeneinheiten.
    d) Katheten \(1\) und \(2\): \(c=\sqrt{1+4}=\sqrt5\). Man zeichnet einen rechten Winkel mit den Schenkeln 1 und 2; die Verbindungsstrecke ist dann genau \(\sqrt5\) lang.