Quadratwurzeln und reelle Zahlen – Mathe Klasse 9 Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (4 BE/Punkte)

   a) Gesucht ist die nichtnegative Zahl, deren Quadrat \(196\) ergibt. Wegen \(14^2=196\) gilt \(\sqrt{196}=14\) (1 P.).
   b) Bei einem Bruch zieht man die Wurzel aus Zähler und Nenner getrennt: \(\sqrt{\frac{25}{49}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{49}}=\frac57\) (1 P.).
   c) Man schreibt \(0{,}09=\frac{9}{100}\); daraus folgt \(\sqrt{0{,}09}=\frac{3}{10}=0{,}3\) (1 P.). Typischer Fehler: \(0{,}03\) angeben; doch \(0{,}03^2=0{,}0009\).
   d) Die Wurzel eines Produkts ist das Produkt der Wurzeln: \(\sqrt{3^2\cdot4^2}=\sqrt{3^2}\cdot\sqrt{4^2}=3\cdot4=12\) (1 P.). Kontrolle: \(3^2\cdot4^2=144\) und \(\sqrt{144}=12\). Antwort: \(14\); \(\frac57\); \(0{,}3\); \(12\).

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   a) Man sucht im Radikanden die größte Quadratzahl als Faktor: \(50=25\cdot2\). Mit dem Wurzelgesetz \(\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b\) wird \(\sqrt{50}=\sqrt{25}\cdot\sqrt2=5\sqrt2\) (1 P.). Als Dezimalzahl ist das etwa \(5\cdot1{,}414\approx7{,}07\) (1 P.). Kontrolle: \(7{,}07^2\approx49{,}98\), also fast \(50\).
   b) Dasselbe Gesetz rückwärts angewendet fasst die beiden Wurzeln zusammen: \(\sqrt{12}\cdot\sqrt3=\sqrt{12\cdot3}=\sqrt{36}=6\) (2 P.). Obwohl beide Faktoren irrational sind, ist das Produkt eine natürliche Zahl. Alternativ: \(\sqrt{12}=2\sqrt3\), dann \(2\sqrt3\cdot\sqrt3=2\cdot3=6\). Antwort: \(5\sqrt2\approx7{,}07\) und \(6\).

3. Lösung zu Aufgabe 3 (4 BE/Punkte)

   a) Der Term hat die Form \((a+b)(a-b)\) mit \(a=\sqrt7\) und \(b=2\). Nach der dritten binomischen Formel gilt \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) (1 P.). Also \((\sqrt7)^2-2^2=7-4=3\) (1 P.). Die gemischten Glieder \(2\sqrt7\) und \(-2\sqrt7\) heben sich auf, deshalb verschwindet die Wurzel.
   b) Den Nenner rational machen heißt, die Wurzel aus dem Nenner zu entfernen. Man erweitert mit \(\sqrt2\): \(\frac{6}{\sqrt2}=\frac{6\sqrt2}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\frac{6\sqrt2}{2}\) (1 P.). Kürzen durch \(2\) ergibt \(3\sqrt2\approx4{,}24\) (1 P.). Kontrolle mit dem Taschenrechner: \(6:1{,}414\approx4{,}24\). Antwort: \(3\) und \(3\sqrt2\).

4. Lösung zu Aufgabe 4 (5 BE/Punkte)

   a) Einsetzen von \(h=20\) m und \(g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}\): \(t=\sqrt{\frac{2\cdot20}{9{,}81}}=\sqrt{4{,}077}\approx2{,}02\) s (2 P.).
   b) Geschwindigkeit: \(v=g\cdot t=9{,}81\cdot2{,}02\approx19{,}8\) m/s (1 P.). Für km/h multipliziert man mit \(3{,}6\), weil \(1\) m/s gleich \(3{,}6\) km/h ist: \(19{,}8\cdot3{,}6\approx71\) km/h (1 P.).
   c) Die Fallformel wird nach \(h\) umgestellt: Quadrieren ergibt \(t^2=\frac{2h}{g}\), also \(h=\frac12gt^2\). Mit \(t=3\) s: \(h=\frac12\cdot9{,}81\cdot9\approx44{,}1\) m (1 P.). Bemerkung: Die \(1{,}5\)-fache Fallzeit verlangt mehr als die doppelte Höhe, weil \(t\) quadriert eingeht. Antwort: etwa \(2{,}02\) s, \(19{,}8\) m/s bzw. \(71\) km/h, rund \(44{,}1\) m.

5. Lösung zu Aufgabe 5 (3 BE/Punkte)

   a) Rational ist eine Zahl, die sich als Bruch ganzer Zahlen schreiben lässt; ihre Dezimaldarstellung bricht ab oder ist periodisch. \(\sqrt{16}=4=\frac41\) und \(\frac37=0{,}\overline{428571}\) sind rational. \(\sqrt{30}\) ist irrational, weil \(30\) keine Quadratzahl ist. Die Zahl \(0{,}2020020002\dots\) hat immer längere Nullblöcke, also keine Periode; sie ist ebenfalls irrational (1 P.).
   b) Einschachteln: Ganzzahlig gilt \(5^2=25\lt30\lt36=6^2\). Nun eine Nachkommastelle: \(5{,}4^2=29{,}16\) ist noch kleiner als \(30\), \(5{,}5^2=30{,}25\) bereits größer (1 P.). Folglich \(5{,}4\lt\sqrt{30}\lt5{,}5\) (1 P.). Antwort: rational \(\sqrt{16}\) und \(\frac37\); irrational die anderen beiden; \(\sqrt{30}\) liegt zwischen \(5{,}4\) und \(5{,}5\).

Gesamt : 20 Punkte