Quadratische Funktionen – Mathe Klasse 9 Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (4 BE/Punkte)

   a) Quadratische Ergänzung: Der Koeffizient von \(x\) ist \(-6\), die Hälfte \(-3\), deren Quadrat \(9\). Man ergänzt und zieht gleich wieder ab: \(f(x)=x^2-6x+9-9+5=(x-3)^2-4\) (1 P.). Aus der Scheitelform \((x-d)^2+e\) liest man \(S(3|-4)\) ab (1 P.).
   b) Nullstellen: \(f(x)=0\) bedeutet \((x-3)^2=4\). Wurzelziehen liefert zwei Fälle: \(x-3=2\) oder \(x-3=-2\), also \(x_1=1\) und \(x_2=5\) (2 P.). Kontrolle: Die Nullstellen liegen symmetrisch zur Scheitelstelle \(x=3\), und \(f(1)=1-6+5=0\). Antwort: \(S(3|-4)\); Nullstellen \(1\) und \(5\).

2. Lösung zu Aufgabe 2 (3 BE/Punkte)

   a) Punktprobe: \(P(2|-6)\) liegt auf \(y=ax^2\), also gilt \(-6=a\cdot2^2=4a\). Daraus folgt \(a=-1{,}5\) (1 P.). Das negative Vorzeichen bedeutet, dass die Parabel nach unten geöffnet ist; wegen \(|a|=1{,}5\gt1\) ist sie schmaler (gestreckt) im Vergleich zur Normalparabel (1 P.).
   b) Man setzt \(x=-4\) in \(y=-1{,}5x^2\) ein: \(y=-1{,}5\cdot16=-24\). Das stimmt mit der \(y\)-Koordinate von \(Q\) überein, also liegt \(Q\) auf der Parabel (1 P.). Zusatz: Wegen der Symmetrie zur \(y\)-Achse liegt auch \((4|-24)\) auf ihr. Antwort: \(a=-1{,}5\), \(Q\) liegt auf der Parabel.

3. Lösung zu Aufgabe 3 (5 BE/Punkte)

   a) Man klammert \(-5\) aus: \(h(t)=-5(t^2-2t)+1\). Ergänzen mit \(1\): \(-5(t^2-2t+1-1)+1=-5(t-1)^2+5+1=-5(t-1)^2+6\). Scheitel \(S(1|6)\): Nach \(1\) s erreicht der Ball seine größte Höhe von \(6\) m (2 P.).
   b) Bodenkontakt bedeutet \(h(t)=0\). Aus \(-5(t-1)^2+6=0\) folgt \((t-1)^2=1{,}2\), also \(t=1\pm\sqrt{1{,}2}\). Nur \(t=1+1{,}095\approx2{,}10\) s ist sinnvoll, die negative Zeit entfällt (2 P.).
   c) Einsetzen: \(h(0{,}5)=-5\cdot0{,}25+10\cdot0{,}5+1=-1{,}25+5+1=4{,}75\) m (1 P.). Antwort: höchster Punkt nach \(1\) s bei \(6\) m, Aufprall nach etwa \(2{,}1\) s, nach \(0{,}5\) s ist der Ball \(4{,}75\) m hoch.

4. Lösung zu Aufgabe 4 (5 BE/Punkte)

   a) Die beiden Seiten senkrecht zur Wand sind je \(x\) lang. Vom Zaun bleiben für die Seite parallel zur Wand \(24-2x\) Meter. Flächeninhalt gleich Länge mal Breite: \(A(x)=x(24-2x)=-2x^2+24x\) (2 P.). Sinnvoll ist \(0\lt x\lt12\).
   b) Die Parabel ist nach unten geöffnet (\(a=-2\)), ihr Scheitel liefert das Maximum. Ergänzen: \(A(x)=-2(x^2-12x+36)+72=-2(x-6)^2+72\) (2 P.). Also ist die Fläche für \(x=6\) m am größten; die Wandseite ist \(24-12=12\) m lang und \(A=6\cdot12=72\,\mathrm{m}^2\) (1 P.). Vergleich: Bei \(x=5\) wären es nur \(5\cdot14=70\,\mathrm{m}^2\). Antwort: Seiten \(6\) m und \(12\) m, höchstens \(72\,\mathrm{m}^2\).

5. Lösung zu Aufgabe 5 (3 BE/Punkte)

   Schnittpunkte haben auf beiden Graphen denselben \(y\)-Wert, also setzt man die Terme gleich: \(x^2=x+2\) (1 P.). Alles auf eine Seite bringen ergibt die Normalform \(x^2-x-2=0\) mit \(p=-1\) und \(q=-2\). Die pq-Formel liefert \(x=0{,}5\pm\sqrt{0{,}25+2}=0{,}5\pm1{,}5\), also \(x_1=2\) und \(x_2=-1\) (1 P.). Die zugehörigen \(y\)-Werte erhält man durch Einsetzen in eine der beiden Gleichungen: \(y=2^2=4\) und \(y=(-1)^2=1\) (1 P.). Probe mit der Geraden: \(2+2=4\) und \(-1+2=1\), beide Punkte liegen also auf beiden Graphen. Antwort: \(S_1(2|4)\) und \(S_2(-1|1)\).

Gesamt : 20 Punkte