Satz des Pythagoras Klasse 9 Arbeitsblatt mit Lösungen zum Herunterladen als PDF

Dieses Arbeitsblatt mit Lösungen zum Thema Satz des Pythagoras (Klasse 9) enthält 20 Aufgaben, von einfachen Übungen bis zu Sachaufgaben. Die Lösungen stehen auf einer eigenen Seite, damit du zuerst selbst rechnest.

Aufgabe 1 – Hypotenuse berechnen
Berechne die Hypotenuse mit \(c=\sqrt{a^2+b^2}\). Runde auf zwei Nachkommastellen, wenn das Ergebnis nicht ganzzahlig ist.
a) \(a=9\) cm, \(b=12\) cm
b) \(a=2{,}4\) m, \(b=1{,}8\) m
c) \(a=11\) cm, \(b=60\) cm
d) \(a=b=7\) cm
Aufgabe 2 – Kathete berechnen
Berechne die fehlende Kathete mit \(a=\sqrt{c^2-b^2}\).
a) \(c=26\) cm, \(a=10\) cm
b) \(c=8{,}5\) m, \(b=4\) m
c) \(c=9\) cm, \(b=6\) cm
Aufgabe 3 – Rechtwinklig oder nicht?
Prüfe mit der Umkehrung des Satzes von Pythagoras: Die längste Seite ist \(c\).
a) \(0{,}9\) m, \(1{,}2\) m, \(1{,}5\) m
b) \(12\) cm, \(35\) cm, \(37\) cm
c) \(8\) cm, \(15\) cm, \(18\) cm
d) \(1{,}5\) m, \(2\) m, \(2{,}5\) m
Aufgabe 4 – Quadrate und gleichseitiges Dreieck
Über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sind Quadrate errichtet. Die Flächen der beiden kleinen Quadrate sind \(49\,\mathrm{cm}^2\) und \(576\,\mathrm{cm}^2\).
a) Berechne die Fläche des großen Quadrats und die Hypotenuse.
b) Berechne die Höhe und die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seite \(8\) cm.
c) Leite \(h=\frac a2\sqrt3\) allgemein her.
Aufgabe 5 – Rechteck und Raute
Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander und halbieren sich.
a) Ein Rechteck hat die Diagonale \(17\) cm und eine Seite von \(8\) cm. Berechne die andere Seite, Umfang und Fläche.
b) Eine Raute hat die Diagonalen \(e=24\) cm und \(f=10\) cm. Berechne die Seitenlänge.
c) Berechne Umfang und Fläche der Raute (\(A=\frac{e\cdot f}2\)).
Aufgabe 6 – Das Trapez
Ein gleichschenkliges Trapez hat die Grundseiten \(14\) cm und \(6\) cm und die Schenkel \(5\) cm.
a) Wie groß ist der Überstand der längeren Grundseite auf jeder Seite?
b) Berechne die Höhe des Trapezes.
c) Berechne die Fläche (\(A=\frac{a+c}2\cdot h\)) und den Umfang.
Aufgabe 7 – Das Satteldach
Ein Haus ist \(9{,}6\) m breit und \(14\) m lang. Das Satteldach hat eine Firsthöhe von \(3{,}6\) m über der Traufe. Pro \(\mathrm{m}^2\) Dach braucht man \(10\) Ziegel.
Größe Maß
Hausbreite 9,6 m
Hauslänge 14 m
Firsthöhe 3,6 m
a) Berechne die Länge eines Sparrens (Dachschräge).
b) Berechne die gesamte Dachfläche.
c) Wie viele Ziegel braucht man?
d) Ein \(0{,}5\) m Dachüberstand verlängert jeden Sparren entlang der Schräge. Wie groß ist dann die Dachfläche (bei gleicher Neigung)?
Aufgabe 8 – Die Rollstuhlrampe
Eine Rampe überwindet \(0{,}60\) m Höhenunterschied. Sie darf höchstens \(6\,\%\) Steigung haben (Höhe geteilt durch waagerechte Länge).
a) Wie lang muss die Rampe waagerecht mindestens sein?
b) Wie lang ist die geneigte Rampenfläche?
c) Die Rampe ist \(1{,}2\) m breit. Berechne die Fläche des Belags.
d) Das Belagmaterial kostet \(48\) € pro \(\mathrm{m}^2\). Berechne die Kosten.
Aufgabe 9 – Das Schiff und der Umweg
Ein Schiff fährt \(12\) km nach Norden und dann \(5\) km nach Osten. Es fährt \(20\) km/h.
a) Wie weit ist es jetzt von seinem Startpunkt entfernt (Luftlinie)?
b) Wie viel kürzer wäre die direkte Strecke?
c) Wie lange fährt es für den Umweg, wie lange für die direkte Strecke (in Minuten)?
d) Wie lang ist die direkte Strecke, wenn es stattdessen \(9\) km nach Norden und \(40\) km nach Osten gefahren wäre?
Aufgabe 10 – Wie weit sieht man vom Turm?
Der Erdradius beträgt \(R=6371\) km. Vom Turm der Höhe \(h\) reicht der Blick bis zum Horizont. Die Sichtlinie berührt die Erde und steht senkrecht auf dem Radius. Es gilt \((R+h)^2=R^2+d^2\).
a) Berechne die Sichtweite \(d\) von einem \(300\) m hohen Turm (\(h=0{,}3\) km).
b) Löse die Gleichung nach \(d\) auf: \(d=\sqrt{2Rh+h^2}\).
c) Vergleiche mit der Näherung \(d\approx\sqrt{2Rh}\).
d) Wie hoch muss ein Turm sein, damit \(d=50\) km beträgt?
Aufgabe 11 – Sehnen im Kreis
Ein Kreis hat den Radius \(13\) cm. Der Abstand einer Sehne vom Mittelpunkt, der Radius und die halbe Sehne bilden ein rechtwinkliges Dreieck.
a) Eine Sehne ist \(24\) cm lang. Wie weit ist sie vom Mittelpunkt entfernt?
b) Eine Sehne ist \(12\) cm vom Mittelpunkt entfernt. Wie lang ist sie?
c) Wie lang ist die längste Sehne?
d) Wie lang ist die Sehne, die \(5\) cm vom Mittelpunkt entfernt ist? Vergleiche mit a).
Aufgabe 12 – Die Abspannseile
Ein \(12\) m hoher Mast wird mit drei gleich langen Seilen abgespannt. Sie sind am Mastende befestigt und \(5\) m vom Fuß am Boden verankert. Für die Befestigungen kommen pro Seil \(0{,}40\) m dazu. Seil kostet \(2{,}40\) € pro Meter.
a) Berechne die Länge eines Seils ohne Befestigung.
b) Berechne die Gesamtlänge aller drei Seile mit Befestigung.
c) Was kostet das Seil?
d) Wie weit müssten die Anker stehen, damit das Seil \(15\) m lang ist?
Aufgabe 13 – Der Schuhkarton
Ein Schuhkarton misst \(33\) cm \(\times\) \(20\) cm \(\times\) \(12\) cm. Du möchtest Stäbe unterbringen.
Länge Breite Höhe
33 cm 20 cm 12 cm
a) Berechne die Diagonale des Bodens.
b) Berechne die Raumdiagonale.
c) Passt ein \(38\) cm langer Stab hinein? Ein \(41\) cm langer?
d) Welchen Durchmesser (\(2R\)) hat die kleinste Kugel, die den Karton umschließt?
Aufgabe 14 – Die Pyramide
Eine quadratische Pyramide hat die Grundkante \(6\) cm und die Höhe \(4\) cm.
a) Berechne die Seitenhöhe \(h_s\) (Höhe einer Seitenfläche).
b) Berechne die Länge der Seitenkante.
c) Berechne die Mantelfläche.
d) Wie hoch müsste die Pyramide sein, damit die Seitenhöhe \(6\) cm beträgt?
Aufgabe 15 – Das Kletternetz
Auf dem Spielplatz steht ein \(4\) m hoher Mast in der Mitte eines quadratischen Feldes mit der Seitenlänge \(6\) m. Von der Mastspitze gehen Seile zu den vier Ecken und ein Netz spannt sich über die vier dreieckigen Flächen zu den Seitenmitten.
Größe Maß
Masthöhe 4 m
Feldseite 6 m
Netzpreis 8 € pro m²
a) Wie lang ist ein Eckseil (Mastspitze zur Ecke)?
b) Wie lang ist das Seil zu einer Seitenmitte?
c) Wie groß ist das Netz?
d) Was kostet das Netz?
Aufgabe 16 – Wanderung im Koordinatensystem
Auf einer Karte (\(1\) Einheit \(=1\) km) liegen die Hütte \(H(2|3)\), der Gipfel \(G(8|11)\) und der See \(S(14|3)\).
a) Berechne \(HG\), \(GS\) und \(HS\).
b) Ist das Dreieck \(HGS\) rechtwinklig? Prüfe mit der Umkehrung.
c) Berechne den Umfang und mit der Höhe über \(HS\) die Fläche.
d) Wie viel Kilometer spart man, wenn man direkt von \(H\) nach \(S\) geht statt über den Gipfel?
Aufgabe 17 – Die rutschende Leiter
Eine \(5\) m lange Leiter lehnt an einer senkrechten Hauswand. Ihr Fuß steht \(3\) m von der Wand entfernt.
a) Wie hoch reicht die Leiter?
b) Der Fuß rutscht \(1\) m von der Wand weg. Wie hoch reicht sie jetzt, und wie weit ist die Spitze gesunken?
c) Der Fuß rutscht um insgesamt \(2\) m. Was passiert?
d) Welcher Abstand des Fußes ergibt \(4{,}5\) m Höhe?
Aufgabe 18 – Würfel und Diagonalen
Ein Würfel hat die Kantenlänge \(a=6\) cm.
a) Berechne die Flächendiagonale und die Raumdiagonale.
b) Berechne die Fläche des Dreiecks, das von drei Flächendiagonalen gebildet wird (gleichseitig).
c) Passt ein \(10\) cm langer Stab in den Würfel?
d) Wie lang ist die Raumdiagonale allgemein für die Kante \(a\)?
Aufgabe 19 – Höhensatz und Kathetensatz
In einem rechtwinkligen Dreieck teilt die Höhe \(h_c\) die Hypotenuse \(c=25\) cm in die Abschnitte \(p=9\) cm (an der Kathete \(a\)) und \(q=16\) cm. Es gilt der Kathetensatz \(a^2=c\cdot p\), \(b^2=c\cdot q\) und der Höhensatz \(h_c^2=p\cdot q\).
a) Berechne \(a\) und \(b\).
b) Berechne \(h_c\).
c) Prüfe mit dem Satz des Pythagoras, dass \(a^2+b^2=c^2\) gilt.
d) Berechne die Fläche auf zwei Arten: mit den Katheten und mit \(c\) und \(h_c\).
Aufgabe 20 – Knobelaufgabe: Die Wurzelschnecke
Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten \(1\) und \(1\). An die Hypotenuse hängst du ein neues rechtwinkliges Dreieck mit der Kathete \(1\) an, und so weiter. So entsteht eine Spirale.
Dreieck Hypotenuse
1 \(\sqrt2\)
2 ?
3 ?
4 ?
a) Berechne die Hypotenusen der ersten acht Dreiecke exakt und gerundet.
b) Beim wievielten Dreieck erreichst du zum ersten Mal eine ganze Zahl (und welche)?
c) Berechne die Gesamtfläche der ersten acht Dreiecke (\(A_n=\frac12\sqrt n\)).
d) Wie konstruierst du \(\sqrt5\) direkt mit Katheten \(1\) und \(2\)?

Größe	Maß
Hausbreite	9,6 m
Hauslänge	14 m
Firsthöhe	3,6 m

Länge	Breite	Höhe
33 cm	20 cm	12 cm

Größe	Maß
Masthöhe	4 m
Feldseite	6 m
Netzpreis	8 € pro m²

Dreieck	Hypotenuse
1	\(\sqrt2\)
2	?
3	?
4	?

So nutzt du das Arbeitsblatt Satz des Pythagoras (Klasse 9) mit Lösungen

Lies zuerst den Lernzettel zu Satz des Pythagoras, damit die Verfahren frisch sind. Danach löst du die Aufgaben der Reihe nach, denn sie werden nach und nach schwerer. Schreibe deinen Rechenweg auf und vergleiche ihn anschließend mit den Lösungen. Falls eine Aufgabe nicht klappt, schaust du dir das passende Beispiel noch einmal an. Schließlich probierst du die Klassenarbeit oder das Quiz.

Außerdem kannst du das Arbeitsblatt als PDF herunterladen und ausdrucken. Außerdem gehören alle Seiten dieses Kapitels zusammen, sodass du jederzeit wechseln kannst. Zum Beispiel lesen viele Schüler montags den Lernzettel, üben mittwochs und testen sich freitags. Kurz gesagt bereitet dich dieses Arbeitsblatt mit Lösungen zu Satz des Pythagoras (Klasse 9) gut auf die Klassenarbeit vor.