Satz des Pythagoras – Mathe Klasse 8 Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (4 BE/Punkte)

   a) \(c=\sqrt{81+1600}=\sqrt{1681}=41\) cm (2 P.).
   b) \(a=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15\) cm (2 P.).

   Bei a) sind beide Seiten Katheten, man addiert die Quadrate. Bei b) ist die Hypotenuse gegeben, man subtrahiert. Proben: \(9^2+40^2=41^2\) und \(8^2+15^2=17^2\).

   Bewertung: Wer bei b) die Quadrate addiert statt subtrahiert, erhält \(\sqrt{353}\approx18{,}8\) cm, also eine Kathete, die länger als die Hypotenuse wäre; dafür gibt es keinen Punkt. Probe zu a): \(41^2=1681\).

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   a) \(400+441=841=29^2\): ja (2 P.).
   b) \(49+64=113\neq144\): nein (2 P.).

   Die längste Seite muss als \(c\) eingesetzt werden. Nur wenn \(a^2+b^2=c^2\) gilt, ist das Dreieck rechtwinklig. Bei b) ist \(113<144\), der größte Winkel ist also stumpf.

   Bewertung: Wer bei a) die Seite 20 als Hypotenuse wählt, erhält eine falsche Aussage; die längste Seite muss immer rechts stehen. Das Tripel bei a) heißt (20|21|29).

3. Lösung zu Aufgabe 3 (4 BE/Punkte)

   a) \(h=\sqrt{42{,}25-6{,}25}=\sqrt{36}=6\) m (3 P.).
   b) Nein, \(6\) m \(<6{,}2\) m (1 P.).

   Die Leiter ist die Hypotenuse, der Abstand zur Wand eine Kathete. Antwort: Die Leiter reicht genau 6 m hoch und damit 20 cm zu wenig, um das Fenster zu erreichen.

   Bewertung zu b): Ein bloßes „Nein“ ohne Vergleich der Höhen gibt keinen Punkt. Der Fuß müsste näher an die Wand.

4. Lösung zu Aufgabe 4 (5 BE/Punkte)

   a) \(2a^2=100\), \(a=\sqrt{50}\approx7{,}07\) m (2 P.).
   b) \(A=a^2=50\,\mathrm{m}^2\) (1 P.).
   c) \(50\cdot35=1750\,€\) (1 P.).
   d) \(4a\approx28{,}28\) m (1 P.).

   Die Diagonale eines Quadrats ist die Hypotenuse eines gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks, deshalb gilt \(a^2+a^2=d^2\). Die Fläche ist direkt \(a^2=50\,\mathrm{m}^2\), man muss die Wurzel dafür nicht ziehen.

   Probe zu a): \(7{,}07^2+7{,}07^2\approx100=10^2\). Bewertung zu d): Wer statt der Seitenlänge die Diagonale verwendet, erhält 40 m Randleiste und keinen Punkt.

5. Lösung zu Aufgabe 5 (3 BE/Punkte)

   \(\sqrt{(4+2)^2+(9-1)^2}=\sqrt{36+64}=10\) (3 P.).

   Die Koordinatendifferenzen 6 und 8 sind die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Es handelt sich um das Tripel \((6|8|10)\), das Doppelte von \((3|4|5)\).

   Die Punkte bilden mit dem Hilfspunkt \((4|1)\) ein rechtwinkliges Dreieck: Die waagerechte Kathete ist \(4-(-2)=6\), die senkrechte \(9-1=8\). Bewertung: Wer die Differenz \(4-2\) statt \(4+2\) bildet, erhält \(\sqrt{68}\) und nur einen Punkt. Probe: 36 plus 64 ergibt 100, die Wurzel daraus ist der Abstand 10.

Gesamt : 20 Punkte