Bruchterme und Bruchgleichungen – Mathe Klasse 8 Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (3 BE/Punkte)

   a) \(x+4=0\) für \(x=-4\): \(\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{-4\}\) (1 P.).
   b) \(\dfrac{(x+4)(x-4)}{x+4}=x-4\) für \(x\neq-4\) (2 P.).

   Kürzen ist erst möglich, nachdem der Zähler mit der dritten binomischen Formel faktorisiert wurde. Die Bedingung \(x\neq-4\) gilt auch für den gekürzten Term, obwohl man dort \(-4\) einsetzen könnte. Antwort: \(x-4\) für \(x\neq-4\).

   Probe mit \(x=0\): \(\frac{-16}{4}=-4\) und \(0-4=-4\). Bewertung: Wer \(x^2\) und \(x\) kürzt, erhält keinen Punkt für b).

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   a) \(\dfrac{2(x+1)+3x}{x(x+1)}=\dfrac{5x+2}{x(x+1)}\) (2 P.).
   b) \(\dfrac{3x}{6}=\dfrac x2\) für \(x\neq1\) (1 P.).
   c) \(\dfrac4x\cdot\dfrac{x^2}2=2x\) für \(x\neq0\) (1 P.).

   Bei a) wird jeder Bruch mit dem fehlenden Faktor erweitert, ausgeschlossen sind \(x=0\) und \(x=-1\). Bei b) und c) kürzt man vor dem Ausmultiplizieren. Bei c) wird mit dem Kehrbruch \(\frac{x^2}{2}\) multipliziert.

   Probe zu a) mit \(x=1\): \(2+\frac32=3{,}5\) und \(\frac{7}{2}=3{,}5\). Hauptnenner bei a) ist \(x(x+1)\).

3. Lösung zu Aufgabe 3 (6 BE/Punkte)

   a) \(x\neq0;-1\). \(4x=2(x+1)\), also \(2x=2\) und \(x=1\) (3 P.). Probe: \(2=2\).
   b) \(x\neq0\). \(\frac5x=1\), also \(x=5\) (3 P.). Probe: \(1-\frac23=\frac13\).

   Bei a) multipliziert man über Kreuz mit dem Hauptnenner \(x(x+1)\). Bei b) addiert man zuerst \(\frac23\) auf beiden Seiten und erhält \(\frac5x=1\). Beide Lösungen liegen in der Definitionsmenge. Antwort: \(\mathbb{L}=\{1\}\) und \(\mathbb{L}=\{5\}\).

   Probe zu a): \(\frac42=2\) und \(\frac21=2\). Beide Lösungen sind zugelassen.

4. Lösung zu Aufgabe 4 (4 BE/Punkte)

   a) Berger \(\frac16\), Geselle \(\frac1{12}\) pro Tag (1 P.).
   b) \(\frac16+\frac1{12}=\frac14\), also \(4\) Tage (2 P.).
   c) Berger schafft \(\frac23\) der Arbeit, der Geselle \(\frac13\): \(1\,600\,€\) und \(800\,€\) (1 P.).

   Antwort: Gemeinsam brauchen die beiden 4 Tage. Berger leistet doppelt so viel wie der Geselle, deshalb erhält er zwei Drittel des Betrags, also 1600 €, der Geselle 800 €.

   Probe: \(\frac23\cdot2400=1600\) und \(\frac13\cdot2400=800\).

5. Lösung zu Aufgabe 5 (3 BE/Punkte)

   a) Links \(\frac{15}{5}=3\), rechts \(11\) (1 P.).
   b) Der Term lässt sich nicht kürzen; erlaubt ist nur \(\frac{x+5}{5}=\frac x5+1\) (2 P.).

   Finn hat den Summanden \(x\) mit dem Nenner gekürzt. Das ist verboten, weil \(x\) kein Faktor des ganzen Zählers ist. Erlaubt ist nur das Aufteilen des Bruchs in zwei Brüche mit demselben Nenner.

   Probe für b) mit \(x=10\): \(2+1=3\).

Gesamt : 20 Punkte