Bruchterme und Bruchgleichungen – Mathe Klasse 8 Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Bestimme jeweils die Definitionsmenge \(\mathbb{D}\) in der Grundmenge \(\mathbb{Q}\). Setze dazu den Nenner gleich null.

a) \(\dfrac{5}{x}\)
b) \(\dfrac{3}{x-4}\)
c) \(\dfrac{x+1}{2x-6}\)
d) \(\dfrac{7}{x^2-25}\)

Faktorisiere Zähler und Nenner und kürze. Gib die Definitionsmenge des ursprünglichen Terms an.

a) \(\dfrac{6x}{9x^2}\)
b) \(\dfrac{4x+8}{x+2}\)
c) \(\dfrac{x^2-9}{x+3}\)
d) \(\dfrac{x^2-6x+9}{x-3}\)

Erweitere die Brüche so, dass beide denselben Nenner haben, und schreibe den Hauptnenner auf.

a) \(\dfrac{3}{x}\) und \(\dfrac{2}{x+1}\)
b) \(\dfrac{1}{x-1}\) und \(\dfrac{4}{x+2}\)
c) \(\dfrac{5}{2x}\) und \(\dfrac{1}{3x}\)

Multipliziere und kürze so weit wie möglich. Kürze am besten vor dem Ausmultiplizieren.

a) \(\dfrac{3x}{4}\cdot\dfrac{8}{x^2}\)
b) \(\dfrac{2}{x}\cdot\dfrac{x^2}{6}\)
c) \(\dfrac{x-2}{5}\cdot\dfrac{10}{x^2-4}\)

Dividiere, indem du mit dem Kehrbruch multiplizierst. Gib an, welche Zahlen ausgeschlossen sind.

a) \(\dfrac{4}{x}:\dfrac{8}{x^2}\)
b) \(\dfrac{x+1}{3}:\dfrac{x+1}{6}\)
c) \(\dfrac{x^2-1}{x}:\dfrac{x+1}{x^2}\)

Fasse zu einem einzigen Bruch zusammen und vereinfache.

a) \(\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x}\)
b) \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2x}\)
c) \(\dfrac{3}{x+1}+\dfrac{2}{x-1}\)
d) \(\dfrac{5}{x-2}-\dfrac{3}{x+2}\)

Bestimme zuerst die Definitionsmenge, multipliziere mit dem Hauptnenner und löse. Mache die Probe.

a) \(\dfrac{3}{x}=6\)
b) \(\dfrac{4}{x+1}=2\)
c) \(\dfrac{5}{x}=\dfrac{10}{x+3}\)
d) \(\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{3}{x+2}\)

Anna streicht ein Zimmer allein in \(4\) Stunden, ihr Bruder Ben braucht allein \(6\) Stunden.

a) Welchen Bruchteil des Zimmers schafft jeder in einer Stunde?
b) Welchen Bruchteil schaffen beide zusammen in einer Stunde?
c) Wie lange brauchen sie gemeinsam? Gib das Ergebnis in Stunden und Minuten an.
d) Wie lange brauchen sie, wenn Ben sich mit einem Freund (ebenfalls \(6\) Stunden allein) Hilfe holt und Anna fehlt?

Die Klasse 8b will ihrer Lehrerin zum Abschied ein Geschenk für \(120\,€\) kaufen. Jede Schülerin und jeder Schüler zahlt den gleichen Betrag. Bei \(x\) Zahlenden ist der Beitrag \(\dfrac{120}{x}\) Euro.

a) Berechne den Beitrag bei \(24\) Zahlenden.
b) Wie viele müssen zahlen, wenn jeder genau \(4\,€\) geben soll?
c) Wie viele Zahlende braucht man, damit jeder höchstens \(3\,€\) zahlt?
d) Warum darf \(x\) nicht \(0\) sein, und wie verändert sich der Beitrag, wenn \(x\) größer wird?

Familie Kaya fährt \(120\) km zu den Großeltern. Hin fahren sie im Schnitt \(60\) km/h, zurück wegen Stau nur \(40\) km/h.

a) Berechne die Fahrzeit für Hin- und Rückfahrt.
b) Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit der ganzen Fahrt.
c) Warum ist sie nicht \(50\) km/h? Erkläre mit einem Satz.
d) Allgemein: Gib die Durchschnittsgeschwindigkeit bei Strecke \(s\) und Geschwindigkeiten \(a\) und \(b\) als Bruchterm an und vereinfache.

Der Tarif „Smart“ kostet \(5\,€\) Grundgebühr plus \(0{,}04\,€\) pro Minute. Bei \(x\) Gesprächsminuten ist der Durchschnittspreis pro Minute \(\dfrac{5+0{,}04x}{x}\) Euro.

a) Berechne den Durchschnittspreis pro Minute für \(100\) und für \(500\) Minuten.
b) Bei wie vielen Minuten beträgt der Durchschnittspreis genau \(0{,}06\,€\)?
c) Warum liegt der Durchschnittspreis immer über \(0{,}04\,€\)?
d) Wie lautet die Definitionsmenge dieses Terms im Sachzusammenhang?

Mia radelt \(6\) km zur Schule. Bei einer Geschwindigkeit von \(v\) km/h braucht sie \(\dfrac6v\) Stunden.

a) Wie lange braucht sie bei \(v=12\) km/h? Gib das Ergebnis in Minuten an.
b) Mit welcher Geschwindigkeit müsste sie fahren, um in \(20\) Minuten anzukommen?
c) Mit einem E-Bike wäre sie \(4\) km/h schneller. Fasse die Zeitersparnis \(\dfrac6v-\dfrac6{v+4}\) zu einem Bruch zusammen.
d) Berechne die Zeitersparnis für \(v=12\) und gib sie in Minuten an.

Drei Schüler kürzen Terme und bekommen verschiedene Ergebnisse:
Tim: \(\dfrac{x+3}{3}=x+1\)
Lea: \(\dfrac{6x+9}{3}=2x+3\)
Mia: \(\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2\)

a) Prüfe Tims Rechnung mit dem Einsetzen von \(x=6\).
b) Begründe, warum Lea recht hat.
c) Warum stimmt Mias Ergebnis nur für \(x\neq2\)?
d) Formuliere die Regel, welche Teile man kürzen darf.

Faktorisiere die Nenner, bestimme den Hauptnenner und fasse zusammen.

a) \(\dfrac{1}{x^2-9}+\dfrac{1}{x+3}\)
b) \(\dfrac{2}{x^2-4}-\dfrac{1}{x-2}\)
c) \(\dfrac{x}{x^2-1}+\dfrac{1}{x-1}\)

Löse. Bestimme zuerst \(\mathbb{D}\) und multipliziere mit dem Hauptnenner.

a) \(\dfrac{2}{x}+\dfrac13=1\)
b) \(\dfrac3x-\dfrac12=\dfrac1x\)
c) \(\dfrac{x}{x-3}=\dfrac{3}{x-3}\)
d) \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2x}=3\)

Im Freibad „Sonnenbad“ wird das Becken (\(600\,\mathrm{m}^3\)) mit zwei Zuläufen gefüllt. Zulauf A schafft es allein in \(10\) Stunden, Zulauf B in \(15\) Stunden. Ein Abfluss C würde das volle Becken in \(30\) Stunden leeren.

a) Ergänze die Tabelle.
b) Wie lange dauert das Füllen, wenn nur A und B laufen?
c) Wie lange dauert es, wenn der Abfluss C versehentlich offen bleibt?
d) Wie viele \(\mathrm{m}^3\) fließen dann pro Stunde netto ins Becken?
e) Warum muss die Rechnung mit Bruchteilen pro Stunde erfolgen, nicht mit den Zeiten?

Die Klasse 8a backt Kuchen für das Schulfest. Für Zutaten und Material fallen \(40\,€\) fest an, jeder Kuchen kostet zusätzlich \(0{,}50\,€\). Bei \(x\) Kuchen sind die Stückkosten \(\dfrac{40+0{,}5x}{x}\) Euro.

a) Ergänze die Tabelle.
b) Ab wie vielen Kuchen sind die Stückkosten höchstens \(1{,}00\,€\)?
c) Ab wie vielen Kuchen liegen sie unter \(0{,}80\,€\)?
d) Die Kuchen werden für \(1{,}20\,€\) das Stück verkauft. Ab wie vielen verkauften Kuchen macht die Klasse Gewinn?
e) Gib an, welchem Wert sich die Stückkosten bei sehr vielen Kuchen nähern, und begründe.

Bei einer Parallelschaltung zweier Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) gilt für den Gesamtwiderstand \(R\) die Gleichung \(\dfrac1R=\dfrac1{R_1}+\dfrac1{R_2}\) (alle Werte in Ohm). Für eine Lichterkette der Klasse 8c werden Bauteile zusammengeschaltet.

a) Berechne den Gesamtwiderstand in Fall A.
b) Bestimme \(R_2\) in Fall B mit Hilfe einer Bruchgleichung.
c) Berechne \(R\) in Fall C und formuliere eine Regel für zwei gleiche Widerstände.
d) Löse die Formel allgemein nach \(R\) auf: \(R=\dfrac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}\).

Ein Bruch hat im Nenner die Zahl \(x\). Der Zähler ist um \(2\) kleiner als der Nenner. Addiert man zum Zähler und zum Nenner jeweils \(1\), erhält man den Wert \(\dfrac45\).

a) Stelle die Gleichung \(\dfrac{x-2+1}{x+1}=\dfrac45\) auf und bestimme \(\mathbb{D}\).
b) Löse die Gleichung.
c) Wie heißt der ursprüngliche Bruch? Mache die Probe.
d) Zeige allgemein: \(\dfrac1x-\dfrac1{x+1}=\dfrac1{x(x+1)}\), und berechne den Wert für \(x=9\).

Ein Schüler „beweist“ \(1=2\):
Sei \(a=b\). Dann \(a^2=ab\), also \(a^2-b^2=ab-b^2\). Faktorisiert: \((a+b)(a-b)=b(a-b)\). Kürzt man \((a-b)\), folgt \(a+b=b\), also \(2b=b\) und \(2=1\).

a) Welche Schritte sind richtig?
b) Wo steckt der Fehler? Begründe mit der Definitionsmenge.
c) Setze \(a=b=3\) ein und zeige, dass beim Kürzen durch null geteilt wird.
d) Formuliere eine Regel, die solche Fehler verhindert.