Binomische Formeln – Mathe Klasse 8 Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (4 BE/Punkte)

   a) Erste binomische Formel mit \(a=x\), \(b=7\): \((x+7)^2=x^2+2\cdot x\cdot7+7^2=x^2+14x+49\) (1,5 P.).

   b) Zweite Formel mit \(a=3a\), \(b=5\): \((3a)^2-2\cdot3a\cdot5+5^2=9a^2-30a+25\) (1,5 P.).

   c) Dritte Formel mit \(a=2x\), \(b=3y\): \((2x)^2-(3y)^2=4x^2-9y^2\) (1 P.).

   Punktabzug, wenn das Mittelglied fehlt oder der Faktor vor der Variablen nicht mitquadriert wird.

   Probe zu b) mit \(a=1\): \((3-5)^2=4\) und \(9-30+25=4\). Bei c) fällt das Mittelglied weg, weil sich \(+6xy\) und \(-6xy\) aufheben.

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   a) \(64=8^2\) und \(16x=2\cdot x\cdot8\), das Mittelglied ist negativ: \(x^2-16x+64=(x-8)^2\) (1 P.).

   b) Differenz zweier Quadrate: \(49=7^2\), \(9z^2=(3z)^2\). Also \((7+3z)(7-3z)\) (1 P.).

   c) Zuerst den gemeinsamen Faktor 3 ausklammern: \(3(x^2-9)\). Dann die dritte Formel: \(3(x+3)(x-3)\) (2 P.; 1 P., wenn nur ausgeklammert wurde).

   Probe zu c): \(3(x+3)(x-3)=3(x^2-9)=3x^2-27\). Bewertung zu b): Die Faktoren dürfen auch in der Reihenfolge \((7-3z)(7+3z)\) stehen. Bei a) ist \((8-x)^2\) ebenfalls richtig.

3. Lösung zu Aufgabe 3 (3 BE/Punkte)

   a) \(62=60+2\), erste binomische Formel: \(60^2+2\cdot60\cdot2+2^2=3600+240+4=3844\) (1,5 P.).

   b) Beide Faktoren liegen 1 von der Mitte 50 entfernt, dritte Formel: \((50-1)(50+1)=50^2-1^2=2500-1=2499\) (1,5 P.).

   Die Zerlegung muss aufgeschrieben sein, ein bloßes Ergebnis ohne Rechenweg gibt nur die Hälfte der Punkte.

   Kontrolle zu a): \(62^2\) muss auf 4 enden, weil \(2^2=4\). Bei b) liegt das Ergebnis knapp unter \(50^2=2500\), das passt. Beide Zerlegungen sparen Rechenarbeit.

4. Lösung zu Aufgabe 4 (5 BE/Punkte)

   a) \((x+5)(x-5)=x^2-25\) (1 P.).
   b) \(900-25=875\,\mathrm{m}^2\) (1 P.).
   c) Einsparung \(25\,\mathrm{m}^2\), das sind \(25\cdot48=1200\,€\) (2 P.).
   d) Der Unterschied ist \(x^2-(x^2-25)=25\); das \(x^2\) fällt weg (1 P.).

   Antwort: Die Stadt braucht \(875\,\mathrm{m}^2\) Pflaster und spart gegenüber dem alten Platz \(25\,\mathrm{m}^2\), also \(1200\,€\). Die Einsparung ist unabhängig von der Größe des Platzes.

   Probe für \(x=30\): \(35\cdot25=875\). Bei d) gilt allgemein: Die Ersparnis ist immer \(5^2\).

5. Lösung zu Aufgabe 5 (4 BE/Punkte)

   a) \(x^2+10x+25-(x^2-6x+9)=16x+16=48\), also \(16x=32\) und \(x=2\) (2 P.). Probe: \(49-1=48\).
   b) \(a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=4ab\) (2 P.).

   Bei a) muss nach dem Ausmultiplizieren die zweite Klammer mit Minus aufgelöst werden: alle Vorzeichen drehen sich. Das quadratische Glied fällt weg, sodass eine lineare Gleichung entsteht.

   Probe zu a): \((2+5)^2-(2-3)^2=49-1=48\). Bei b) heben sich \(a^2\) und \(b^2\) auf, während sich die beiden Mittelglieder \(2ab\) addieren, weil das zweite durch das Minus vor der Klammer sein Vorzeichen wechselt.

Gesamt : 20 Punkte