Rechnen mit Dezimalzahlen – Mathe Klasse 6 Arbeitsblatt Lösungen zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1

   Wir schreiben Komma unter Komma und füllen fehlende Stellen mit Nullen auf. Dann addieren wir wie bei natürlichen Zahlen.
   a) \(3{,}47+2{,}85=6{,}32\). Überschlag \(3{,}5+3=6{,}5\); das Ergebnis liegt nahe daran.
   b) \(12{,}600+4{,}375=16{,}975\). Überschlag \(13+4=17\).
   c) \(0{,}85+0{,}90+1{,}05=2{,}80\). Überschlag \(1+1+1=3\).
   d) \(105{,}40+8{,}96=114{,}36\). Überschlag \(105+9=114\).
   Antwort: \(6{,}32\); \(16{,}975\); \(2{,}8\); \(114{,}36\). Alle Überschläge bestätigen die Größenordnung.

2. Lösung zu Aufgabe 2

   Auch beim Subtrahieren steht Komma unter Komma; fehlende Stellen ergänzen wir mit Nullen, zum Beispiel \(20=20{,}00\).
   a) \(8{,}50-3{,}27=5{,}23\). Probe: \(3{,}27+5{,}23=8{,}50\).
   b) \(20{,}00-6{,}48=13{,}52\). Probe: \(6{,}48+13{,}52=20{,}00\).
   c) \(15{,}04-9{,}80=5{,}24\). Probe: \(9{,}80+5{,}24=15{,}04\).
   d) \(100{,}00-0{,}99=99{,}01\). Probe: \(0{,}99+99{,}01=100\).
   Bei jeder Probe kommt die Ausgangszahl heraus, also sind alle Ergebnisse richtig.

3. Lösung zu Aufgabe 3

   Beim Multiplizieren mit 10, 100, 1000 rückt das Komma so viele Stellen nach rechts, wie die Stufenzahl Nullen hat; beim Dividieren nach links.
   a) \(4{,}57\cdot100\): zwei Stellen nach rechts, \(457\).
   b) \(0{,}083\cdot1000\): drei Stellen nach rechts, \(83\).
   c) \(36{,}2:10\): eine Stelle nach links, \(3{,}62\).
   d) \(5{,}6:1000\): drei Stellen nach links. Wir ergänzen Nullen vorn: \(0{,}0056\).
   Kontrolle zu d): \(0{,}0056\cdot1000=5{,}6\).

4. Lösung zu Aufgabe 4

   Methode: Ohne Komma multiplizieren, dann so viele Nachkommastellen setzen, wie beide Faktoren zusammen haben.
   a) \(24\cdot3=72\); eine Nachkommastelle: \(7{,}2\). Überschlag \(2\cdot3=6\).
   b) \(15\cdot8=120\); zwei Nachkommastellen (je eine): \(1{,}20=1{,}2\). Überschlag \(1{,}5\cdot1=1{,}5\).
   c) \(325\cdot12=3900\); drei Nachkommastellen: \(3{,}900=3{,}9\). Überschlag \(3\cdot1=3\).
   d) \(7\cdot9=63\); drei Nachkommastellen: \(0{,}063\). Überschlag: weniger als \(0{,}07\).
   Antwort: \(7{,}2\); \(1{,}2\); \(3{,}9\); \(0{,}063\).

5. Lösung zu Aufgabe 5

   Wir dividieren wie gewohnt und setzen im Ergebnis das Komma, sobald wir im Dividenden das Komma überschreiten.
   a) \(8:7=1\) Rest 1, Komma setzen, \(14:7=2\). Ergebnis \(1{,}2\). Probe: \(1{,}2\cdot7=8{,}4\).
   b) \(25:5=5\), Komma, \(5:5=1\). Ergebnis \(5{,}1\).
   c) \(3:8=0\), Komma, \(36:8=4\) Rest 4, Null anhängen, \(40:8=5\). Ergebnis \(0{,}45\).
   d) \(1:3=0\), Komma, \(10:3=3\) Rest 1, \(15:3=5\). Ergebnis \(0{,}35\). Probe: \(0{,}35\cdot3=1{,}05\).

6. Lösung zu Aufgabe 6

   Wir verschieben das Komma in Dividend und Divisor um gleich viele Stellen nach rechts, bis der Divisor eine ganze Zahl ist. Der Wert des Quotienten ändert sich dabei nicht.
   a) \(4{,}8:0{,}4=48:4=12\).
   b) \(7{,}2:0{,}09=720:9=80\) (zwei Stellen verschoben).
   c) \(1{,}26:0{,}6=12{,}6:6=2{,}1\).
   d) \(15:0{,}25=1500:25=60\).
   Probe zu b): \(80\cdot0{,}09=7{,}2\). Antwort: 12, 80, 2,1 und 60.

7. Lösung zu Aufgabe 7

   a) Überschlag \(5\cdot3=15\). Genau: \(49\cdot31=1519\), zwei Nachkommastellen ergeben \(15{,}19\). Das liegt nahe am Überschlag, also plausibel.
   b) Überschlag \(20:4=5\). Genau: \(19{,}8:4{,}1=198:41\approx4{,}83\). Der Divisor ist etwas größer als 4 und der Dividend etwas kleiner als 20, deshalb liegt das Ergebnis etwas unter 5. Plausibel.
   c) Überschlag \(8+2=10\). Genau: \(7{,}95+2{,}08=10{,}03\). Plausibel.
   Ein Überschlag zeigt vor allem, ob das Komma an der richtigen Stelle steht.

8. Lösung zu Aufgabe 8

   Wir nutzen Vertauschungs- und Verbindungsgesetz sowie das Verteilungsgesetz.
   a) Zuerst \(0{,}2\cdot5=1\), dann \(1\cdot7{,}3=7{,}3\).
   b) Zuerst \(2{,}5\cdot4=10\), dann \(10\cdot6{,}4=64\).
   c) \(99=100-1\), also \(6{,}4\cdot100-6{,}4\cdot1=640-6{,}4=633{,}6\).
   d) Wir fassen passende Summanden zusammen: \((3{,}7+6{,}3)+(4{,}8+5{,}2)=10+10=20\).
   Der Trick: Faktoren suchen, deren Produkt 1, 10 oder 100 ergibt, und Summanden, die zusammen glatte Zahlen ergeben.

9. Lösung zu Aufgabe 9

   Reihenfolge: zuerst Klammern, dann Punktrechnung, dann Strichrechnung.
   a) Punkt vor Strich: \(1{,}5\cdot4=6\), dann \(2{,}5+6=8{,}5\).
   b) Klammer: \(8{,}4-2{,}4=6\), dann \(6:1{,}5=60:15=4\).
   c) Beide Punktrechnungen zuerst: \(3{,}6:0{,}9=36:9=4\) und \(1{,}2\cdot2=2{,}4\). Danach \(4-2{,}4=1{,}6\).
   Achtung: Wer bei a) von links nach rechts rechnet, erhält \(4\cdot4=16\) und damit ein falsches Ergebnis. Antwort: \(8{,}5\); \(4\); \(1{,}6\).

10. Lösung zu Aufgabe 10

    a) Drei Joghurts: \(3\cdot0{,}65=1{,}95\) €.
    b) Käse: \(0{,}75\cdot11{,}80=8{,}85\) €. Dreiviertel Kilogramm kosten drei Viertel des Kilopreises.
    c) Gesamt: \(2{,}49+1{,}95+1{,}99+8{,}85=15{,}28\) €. Überschlag \(2{,}5+2+2+9=15{,}5\).
    d) Wechselgeld: \(20{,}00-15{,}28=4{,}72\) €.
    Antwort: Merle bezahlt 15,28 € und bekommt 4,72 € zurück.

11. Lösung zu Aufgabe 11

    a) \(42{,}6\cdot1{,}749=74{,}5074\). Auf Cent gerundet kostet die Tankfüllung \(74{,}51\) €.
    b) 780 km sind \(7{,}8\)-mal 100 km. Verbrauch pro 100 km: \(42{,}6:7{,}8\approx5{,}46\) l.
    c) \(74{,}51:7{,}8\approx9{,}55\) € pro 100 km.
    d) 25 km sind ein Viertel von 100 km: \(9{,}55:4\approx2{,}39\) €.
    Antwort: Die Tankfüllung kostet 74,51 €, das Auto braucht etwa 5,46 l auf 100 km, und mit dem Rad spart man auf 25 km etwa 2,39 €.

12. Lösung zu Aufgabe 12

    Die gefahrene Strecke ist die Differenz zweier Tachostände.
    a) \(1251{,}9-1234{,}6=17{,}3\) km.
    b) \(1260{,}35-1251{,}90=8{,}45\) km.
    c) \(1289{,}80-1260{,}35=29{,}45\) km.
    d) Insgesamt: \(1289{,}8-1234{,}6=55{,}2\) km. Kontrolle: \(17{,}3+8{,}45+29{,}45=55{,}2\). Durchschnitt: \(55{,}2:4=13{,}8\) km pro Tag.
    Antwort: Ben fährt insgesamt 55,2 km, im Schnitt 13,8 km pro Tag.

13. Lösung zu Aufgabe 13

    a) Gesamtzeit: \(41{,}38+39{,}95+43{,}10+40{,}72=165{,}15\) s.
    b) Durchschnitt: \(165{,}15:4=41{,}2875\), gerundet \(41{,}29\) s.
    c) Schnellste Zeit \(39{,}95\) s, langsamste \(43{,}10\) s. Unterschied: \(43{,}10-39{,}95=3{,}15\) s.
    d) Die 6b braucht 164,5 s, die 6a 165,15 s. Die kleinere Zeit gewinnt: Die 6b siegt mit \(165{,}15-164{,}50=0{,}65\) s Vorsprung.
    Antwort: Die 6a schwimmt 165,15 s, die 6b gewinnt knapp.

14. Lösung zu Aufgabe 14

    a) Vier Karten: \(4\cdot6{,}50=26{,}00\) €.
    b) Popcorn und Getränk kosten pro Person \(3{,}20+2{,}80=6{,}00\) €, für vier Personen \(24{,}00\) €. Gesamt: \(26+24=50{,}00\) €.
    c) Gleichmäßig verteilt: \(50:4=12{,}50\) € pro Person.
    d) Der Rabatt gilt nur für die Karten: 10 % von 26 € sind \(2{,}60\) €. Die Rechnung sinkt auf \(47{,}40\) €.
    Antwort: Jeder zahlt 12,50 €; mit Gruppenrabatt sparen die Freunde zusammen 2,60 €.

15. Lösung zu Aufgabe 15

    a) Preis = Menge mal Kilopreis. Erdbeeren \(0{,}5\cdot4{,}80=2{,}40\) €. Kirschen \(1{,}25\cdot6{,}90=8{,}625\) €, gerundet \(8{,}63\) €. Pflaumen \(2\cdot2{,}40=4{,}80\) €.
    b) \(2{,}40+8{,}625+4{,}80=15{,}825\), gerundet \(15{,}83\) €.
    c) Wechselgeld: \(20{,}00-15{,}83=4{,}17\) €.
    d) \(6{,}90-2{,}40=4{,}50\) €. Ein Kilogramm Kirschen kostet 4,50 € mehr als ein Kilogramm Pflaumen.
    Antwort: Lena zahlt 15,83 € und erhält 4,17 € zurück.

16. Lösung zu Aufgabe 16

    a) Nudeln \(7{,}5\cdot1{,}39=10{,}425\approx10{,}43\) €; Soße \(12\cdot1{,}15=13{,}80\) €; Äpfel \(10{,}5\cdot2{,}20=23{,}10\) €; Saft \(18\cdot1{,}05=18{,}90\) €.
    b) Summe: \(10{,}43+13{,}80+23{,}10+18{,}90=66{,}23\) €.
    c) \(66{,}23:25=2{,}6492\), also \(2{,}65\) € pro Kind.
    d) Nach dem Zuschuss bleiben \(66{,}23-60=6{,}23\) €. Pro Kind \(6{,}23:25=0{,}2492\), also etwa \(0{,}25\) €.
    Antwort: Die Verpflegung kostet 66,23 €, ohne Zuschuss 2,65 € pro Kind, mit Zuschuss nur etwa 25 Cent.

17. Lösung zu Aufgabe 17

    a) Verbrauch = neuer Zählerstand minus alter: \(449{,}3-412{,}7=36{,}6\) m³.
    b) Kosten: \(36{,}6\cdot3{,}85=140{,}91\) €.
    c) Pro Monat: \(140{,}91:12\approx11{,}74\) €.
    d) \(36{,}6\) m³ sind \(36\,600\) l. Pro Tag: \(36\,600:365\approx100{,}3\), also rund 100 l.
    Antwort: Die Familie verbraucht 36,6 m³ im Jahr, zahlt dafür 140,91 € (etwa 11,74 € im Monat) und braucht täglich etwa 100 Liter.

18. Lösung zu Aufgabe 18

    a) Fläche: \(5{,}4\cdot3{,}8=20{,}52\,\mathrm{m}^2\).
    b) Teppich: \(20{,}52\cdot18{,}90=387{,}828\), gerundet \(387{,}83\) €.
    c) Umfang: \(2\cdot(5{,}4+3{,}8)=2\cdot9{,}2=18{,}4\) m. An der Tür braucht man keine Leiste: \(18{,}4-0{,}9=17{,}5\) m. Preis: \(17{,}5\cdot2{,}35=41{,}125\), gerundet \(41{,}13\) €.
    d) Gesamt: \(387{,}83+41{,}13=428{,}96\) €.
    Antwort: Der Boden hat \(20{,}52\,\mathrm{m}^2\); Teppich und Leisten kosten zusammen 428,96 €.

19. Lösung zu Aufgabe 19

    Mit einem Überschlag finden wir die richtige Größenordnung und setzen das Komma passend.
    a) \(2{,}5\cdot0{,}4\) ist etwa \(2{,}5\cdot\frac12\), also ungefähr 1. Richtig ist \(1{,}00=1\).
    b) \(12{,}6:0{,}3=126:3=42\). Überschlag \(12:0{,}3=40\). Hier ist 42 bereits richtig, es fehlt kein Komma.
    c) \(0{,}75\cdot0{,}8\) ist kleiner als 1, etwa \(0{,}6\). Richtig ist \(0{,}60=0{,}6\).
    d) \(4\cdot2=8\). Richtig ist \(8{,}91\).
    Kontrolle mit Nachkommastellen: Bei d) haben die Faktoren zusammen drei Nachkommastellen, \(405\cdot22=8910\), also \(8{,}910\).

20. Lösung zu Aufgabe 20

    a) \(1{,}1^2=1{,}1\cdot1{,}1=1{,}21\). \(1{,}01^2=1{,}0201\). \(1{,}001^2=1{,}002001\).
    b) Muster: Nach dem Komma steht zuerst eine 2 und ganz am Ende eine 1. Dazwischen und davor stehen Nullen. Je mehr Nullen die Ausgangszahl hat, desto mehr Nullen stehen vor der 2 und zwischen 2 und 1. Grund: \((1+x)^2=1+2x+x^2\); \(2x\) liefert die 2, \(x^2\) die 1 am Ende.
    c) Vermutung: \(1{,}0001^2=1{,}00020001\). Die Rechnung mit dem Taschenrechner bestätigt das.