Multiplikation und Division von Brüchen – Mathe Klasse 6 Arbeitsblatt Lösungen zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1

   a) Bei „Bruch mal natürliche Zahl“ multiplizieren wir nur den Zähler: \(\frac{2}{7}\cdot3=\frac{2\cdot3}{7}=\frac{6}{7}\). Der Nenner bleibt 7, kürzen ist nicht möglich.
   b) \(\frac{5}{8}\cdot4=\frac{20}{8}\). Wir kürzen mit 4: \(\frac{20}{8}=\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}\).
   c) Die Reihenfolge der Faktoren spielt keine Rolle: \(6\cdot\frac{5}{9}=\frac{30}{9}\). Kürzen mit 3 ergibt \(\frac{10}{3}=3\frac{1}{3}\).
   d) \(\frac{3}{10}\cdot15=\frac{45}{10}\). Kürzen mit 5 ergibt \(\frac{9}{2}=4\frac{1}{2}\).
   Antwort: Die Ergebnisse sind \(\frac67\), \(2\frac12\), \(3\frac13\) und \(4\frac12\).

2. Lösung zu Aufgabe 2

   „Von“ bedeutet „mal“. Wir teilen zuerst das Ganze durch den Nenner und nehmen das Ergebnis dann mit dem Zähler mal.
   a) Ein Viertel von 60 € ist \(60:4=15\) €. Drei Viertel sind \(3\cdot15=45\) €.
   b) Ein Fünftel von 35 kg ist \(35:5=7\) kg, zwei Fünftel sind \(2\cdot7=14\) kg.
   c) Zuerst in Minuten umrechnen: \(2\) h \(=120\) min. Ein Sechstel ist \(120:6=20\) min, fünf Sechstel sind \(5\cdot20=100\) min, also 1 h 40 min.
   d) \(3\) km \(=3000\) m. Ein Zehntel ist \(300\) m, sieben Zehntel sind \(7\cdot300=2100\) m.
   Antwort: 45 €, 14 kg, 100 min und 2100 m.

3. Lösung zu Aufgabe 3

   Regel: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Vorher über Kreuz kürzen spart Arbeit.
   a) Hier kann man nicht kürzen: \(\frac{2\cdot4}{3\cdot5}=\frac{8}{15}\).
   b) 4 und 8 haben den Teiler 4, 3 und 9 den Teiler 3. Nach dem Kürzen bleibt \(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\).
   c) 5 und 25 kürzen wir durch 5, 6 und 12 durch 6. Es bleibt \(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{10}\).
   d) 14 und 28 kürzen wir durch 14, 9 und 15 durch 3. Es bleibt \(\frac{1}{5}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{10}\).
   Kontrolle zu d): \(\frac{14\cdot9}{15\cdot28}=\frac{126}{420}=\frac{3}{10}\). Antwort: \(\frac{8}{15}\), \(\frac16\), \(\frac1{10}\), \(\frac3{10}\).

4. Lösung zu Aufgabe 4

   Gemischte Zahlen werden zuerst in unechte Brüche umgewandelt, zum Beispiel \(1\frac12=\frac{2+1}{2}=\frac32\).
   a) \(\frac32\cdot\frac73=\frac{21}{6}=\frac72=3\frac{1}{2}\) (die 3 kann man auch über Kreuz kürzen).
   b) \(2\frac14=\frac94\). \(\frac94\cdot\frac23=\frac{18}{12}=\frac32=1\frac{1}{2}\).
   c) \(3\frac13=\frac{10}{3}\) und \(1\frac15=\frac65\). \(\frac{10}{3}\cdot\frac65=\frac{60}{15}=4\).
   d) \(2\frac12=\frac52\). \(\frac52\cdot\frac52=\frac{25}{4}=6\frac{1}{4}\).
   Achtung: Man darf nicht Ganze mal Ganze rechnen, denn \(2\cdot2+\frac12\cdot\frac12=4\frac14\) wäre falsch.

5. Lösung zu Aufgabe 5

   a) Den Kehrbruch erhält man, indem man Zähler und Nenner vertauscht.
   \(\frac35\) hat den Kehrbruch \(\frac53\); Produkt \(\frac35\cdot\frac53=\frac{15}{15}=1\).
   \(\frac72\) hat den Kehrbruch \(\frac27\); Produkt \(\frac{14}{14}=1\).
   \(4=\frac41\) hat den Kehrbruch \(\frac14\); Produkt \(\frac44=1\).
   \(1\frac13\) muss erst umgewandelt werden: \(1\frac13=\frac43\), Kehrbruch \(\frac34\), Produkt \(\frac{12}{12}=1\).
   b) Das Produkt aus einer Zahl und ihrem Kehrbruch ist immer genau \(1\). Der Grund: Im Zähler und im Nenner stehen dieselben Faktoren, nur in anderer Reihenfolge, also kürzt sich alles weg.

6. Lösung zu Aufgabe 6

   Wer einen Bruch durch eine natürliche Zahl teilt, verteilt ihn auf noch mehr Teile. Deshalb wird der Nenner mit der Zahl multipliziert.
   a) \(\frac34:3=\frac{3}{4\cdot3}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\). Kontrolle: \(3\cdot\frac14=\frac34\).
   b) \(\frac67:2=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}\). Hier könnte man auch den Zähler direkt teilen: \(6:2=3\).
   c) \(\frac56:10=\frac{5}{60}=\frac{1}{12}\).
   d) Zuerst umwandeln: \(2\frac14=\frac94\). Dann \(\frac94:3=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\).
   Antwort: \(\frac14\), \(\frac37\), \(\frac1{12}\) und \(\frac34\).

7. Lösung zu Aufgabe 7

   Merksatz: Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrbruch multipliziert.
   a) \(\frac34:\frac12=\frac34\cdot\frac21=\frac64=1\frac{1}{2}\). Sinn: Ein halbes passt anderthalbmal in drei Viertel.
   b) \(\frac56:\frac{5}{12}=\frac56\cdot\frac{12}{5}=\frac{60}{30}=2\). Über Kreuz kürzt man 5 mit 5 und 12 mit 6.
   c) \(\frac23:\frac49=\frac23\cdot\frac94=\frac{18}{12}=1\frac{1}{2}\).
   d) \(4:\frac25=4\cdot\frac52=\frac{20}{2}=10\). Zwei Fünftel passen zehnmal in 4.
   Antwort: \(1\frac12\), \(2\), \(1\frac12\), \(10\).

8. Lösung zu Aufgabe 8

   Zuerst werden alle gemischten Zahlen in unechte Brüche umgewandelt, dann wird mit dem Kehrbruch multipliziert.
   a) \(2\frac12=\frac52\), \(1\frac14=\frac54\). \(\frac52\cdot\frac45=\frac{20}{10}=2\).
   b) \(3\frac34=\frac{15}{4}\). \(\frac{15}{4}\cdot\frac85=\frac{120}{20}=6\).
   c) \(1\frac13=\frac43\). Durch 2 teilen heißt Nenner mal 2: \(\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\).
   d) \(1\frac23=\frac53\). \(5\cdot\frac35=\frac{15}{5}=3\).
   Kontrolle zu d): \(3\cdot1\frac23=3+2=5\). Die Ergebnisse lauten 2, 6, \(\frac23\) und 3.

9. Lösung zu Aufgabe 9

   Es gelten die bekannten Regeln: Klammern zuerst, dann Punkt- vor Strichrechnung.
   a) Zuerst das Produkt: \(\frac34\cdot\frac23=\frac{6}{12}=\frac12\). Dann addieren: \(\frac12+\frac12=1\).
   b) Zuerst die Klammer auf den Hauptnenner 6 bringen: \(\frac46+\frac16=\frac56\). Danach dividieren: \(\frac56\cdot\frac{12}{5}=\frac{12}{6}=2\).
   c) Zuerst die Division: \(\frac35\cdot\frac{10}{9}=\frac{30}{45}=\frac23\). Danach subtrahieren: \(2-\frac23=\frac63-\frac23=\frac43=1\frac{1}{3}\).
   Antwort: a) 1, b) 2, c) \(1\frac13\).

10. Lösung zu Aufgabe 10

    Für 6 statt 4 Personen braucht man das \(\frac64=\frac32\)-fache jeder Zutat.
    a) Milch: \(\frac34\cdot\frac32=\frac98=1\frac18\) l.
    b) Mehl: \(\frac58\cdot\frac32=\frac{15}{16}\) kg, also knapp ein Kilogramm.
    c) Butter: \(\frac13\cdot\frac32=\frac36=\frac12\) Päckchen.
    d) Zwei Rezepte enthalten \(2\cdot\frac58=\frac{10}{8}=\frac54\) kg Mehl. Wir fragen: Wie oft passt \(\frac1{16}\) kg hinein? \(\frac54:\frac1{16}=\frac54\cdot16=20\).
    Antwort: \(1\frac18\) l Milch, \(\frac{15}{16}\) kg Mehl, \(\frac12\) Päckchen Butter; Lena backt 20 Portionen.

11. Lösung zu Aufgabe 11

    a) Wie oft passt \(\frac18\) in \(\frac34\)? \(\frac34:\frac18=\frac34\cdot8=6\). Es werden 6 Kinder satt.
    b) Jetzt sind es \(6+3=9\) Kinder. Sie brauchen \(9\cdot\frac18=\frac98\) Pizza. Vorhanden sind \(\frac34=\frac68\). Es fehlen \(\frac98-\frac68=\frac38\) Pizza.
    c) \(\frac34\) wird auf 6 Kinder verteilt: \(\frac34:6=\frac{3}{24}=\frac18\). Jedes Kind bekommt \(\frac18\) der Pizza.
    d) \(\frac56:\frac1{12}=\frac56\cdot12=\frac{60}{6}=10\).
    Antwort: 6 Kinder, es fehlen \(\frac38\) Pizza, jedes Kind erhält \(\frac18\), der zweite Karton ergibt 10 Stücke.

12. Lösung zu Aufgabe 12

    a) Fläche = Länge mal Breite: \(\frac72\cdot\frac94=\frac{63}{8}=7\frac78\,\mathrm{m}^2\).
    b) Zwei Drittel davon: \(\frac23\cdot\frac{63}{8}=\frac{126}{24}=\frac{21}{4}=5\frac14\,\mathrm{m}^2\) Salat.
    c) Pro Quadratmeter \(\frac34\) kg Dünger: \(\frac34\cdot\frac{63}{8}=\frac{189}{32}=5\frac{29}{32}\) kg, also knapp 6 kg.
    d) Neue Fläche: \(\frac72\cdot3=\frac{21}{2}=10\frac12\,\mathrm{m}^2\). Zum Vergleich: \(\frac{84}{8}-\frac{63}{8}=\frac{21}{8}=2\frac58\,\mathrm{m}^2\) mehr als vorher.
    Antwort: Das Beet hat \(7\frac78\,\mathrm{m}^2\), davon \(5\frac14\,\mathrm{m}^2\) Salat; man braucht \(5\frac{29}{32}\) kg Dünger; das größere Beet hat \(10\frac12\,\mathrm{m}^2\).

13. Lösung zu Aufgabe 13

    a) Wie oft passt \(\frac34\) m in 12 m? \(12:\frac34=12\cdot\frac43=\frac{48}{3}=16\). Sie erhält 16 Stücke.
    b) \(7\frac12=\frac{15}{2}\). \(\frac{15}{2}:\frac58=\frac{15}{2}\cdot\frac85=\frac{120}{10}=12\). Es entstehen genau 12 Stücke, es bleibt nichts übrig. Kontrolle: \(12\cdot\frac58=\frac{60}{8}=7\frac12\) m.
    c) 16 Stücke zu je 1,20 €: \(16\cdot1{,}20=19{,}20\) €.
    Antwort: 16 Stücke; 12 Stücke ohne Rest; alle Stücke kosten zusammen 19,20 €.

14. Lösung zu Aufgabe 14

    a) Das Fass ist zu zwei Dritteln gefüllt: \(\frac23\cdot90=90:3\cdot2=60\) l.
    b) Davon werden drei Fünftel benutzt: \(\frac35\cdot60=60:5\cdot3=36\) l.
    c) Im Fass bleiben \(60-36=24\) l.
    d) Bezogen auf das volle Fass sind das \(\frac{24}{90}\). Kürzen mit 6 ergibt \(\frac{4}{15}\). Kontrolle mit Brüchen: Es bleiben \(\frac25\) der Füllung, und \(\frac25\cdot\frac23=\frac{4}{15}\).
    Antwort: 60 l im Fass, 36 l zum Gießen, 24 l bleiben, das ist \(\frac4{15}\) des vollen Fasses.

15. Lösung zu Aufgabe 15

    a) Vormittag: \(\frac25\cdot15=15:5\cdot2=6\) km.
    b) Danach bleiben \(15-6=9\) km.
    c) Am Nachmittag gehen sie ein Drittel des Rests: \(\frac13\cdot9=3\) km.
    d) Insgesamt sind sie \(6+3=9\) km gelaufen, es bleiben \(15-9=6\) km. Als Bruchteil: \(\frac{6}{15}=\frac25\). Kontrolle: Nach dem Vormittag bleiben \(\frac35\), davon bleiben nach dem Nachmittag \(\frac23\), und \(\frac23\cdot\frac35=\frac25\).
    Antwort: 6 km, 9 km, 3 km; für den nächsten Tag bleiben \(\frac25\) der Strecke.

16. Lösung zu Aufgabe 16

    a) Romane: \(\frac38\cdot480=480:8\cdot3=60\cdot3=180\) Bücher.
    b) Sachbücher: \(\frac14\cdot480=120\) Bücher.
    c) Fantasy ist ein Bruchteil der Romane, also rechnen wir mit 180: \(\frac25\cdot180=36\cdot2=72\) Bücher.
    d) „Zwei Fünftel von drei Achteln“: \(\frac25\cdot\frac38=\frac{6}{40}=\frac{3}{20}\). Kontrolle: \(\frac{72}{480}=\frac{3}{20}\), denn beide Zahlen lassen sich durch 24 teilen.
    Antwort: 180 Romane, 120 Sachbücher, 72 Fantasy-Bücher; das sind \(\frac{3}{20}\) aller Bücher.

17. Lösung zu Aufgabe 17

    a) Wie oft passt \(\frac15\) l in 12 l? \(12:\frac15=12\cdot5=60\) Becher.
    b) Ein Drittel ist kostenlos: \(\frac13\cdot12=4\) l. Verkauft werden \(12-4=8\) l.
    c) \(8:\frac15=40\) Becher werden verkauft. Einnahmen: \(40\cdot0{,}80=32{,}00\) €.
    d) Gewinn = Einnahmen minus Kosten: \(32-18=14\) €.
    Antwort: 60 Becher insgesamt, 4 l gratis und 8 l verkauft, 40 verkaufte Becher bringen 32 €, der Gewinn beträgt 14 €.

18. Lösung zu Aufgabe 18

    a) Erster Tag: \(\frac25\cdot60=24\) km.
    b) Es bleiben \(60-24=36\) km. Am zweiten Tag fahren sie \(\frac34\cdot36=27\) km.
    c) Es fehlen noch \(36-27=9\) km.
    d) Bei 12 km pro Stunde brauchen sie für 24 km genau \(24:12=2\) h. Mit einer Pause von \(\frac14\) h dauert der Tag \(2\frac14\) h, also 2 h 15 min.
    Antwort: 24 km am ersten Tag, 27 km am zweiten Tag, 9 km fehlen; Fahrzeit 2 h, mit Pause \(2\frac14\) h.

19. Lösung zu Aufgabe 19

    a) Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: \(\frac54\cdot\frac32=\frac{15}{8}\), und \(\frac{15}{8}\) ist größer als \(\frac54=\frac{10}{8}\). Richtig ist die Aussage nur, wenn beide Brüche kleiner als 1 sind, etwa \(\frac12\cdot\frac13=\frac16\).
    b) Die Aussage ist falsch. Teilt man durch einen Bruch kleiner als 1, wird das Ergebnis größer: \(4:\frac12=8\), denn ein Halbes passt achtmal in 4.
    c) Die Aussage ist richtig. \(\frac34\) und \(\frac43\) sind Kehrbrüche, ihr Produkt ist \(\frac{12}{12}=1\).
    Fazit: Ob ein Ergebnis größer oder kleiner wird, hängt davon ab, ob der Bruch kleiner oder größer als 1 ist.

20. Lösung zu Aufgabe 20

    a) Wir rechnen rückwärts: Wenn \(\frac34\) der Zahl 18 sind, ist ein Viertel \(18:3=6\) und die ganze Zahl \(4\cdot6=24\). Probe: \(\frac34\cdot24=18\).
    b) Umkehraufgabe: \(x=\frac12:\frac23=\frac12\cdot\frac32=\frac34\). Probe: \(\frac23\cdot\frac34=\frac{6}{12}=\frac12\).
    c) Gesucht ist \(10:\frac56=10\cdot\frac65=12\). Probe: \(\frac56\cdot12=10\).
    d) Der Bruchteil ist \(\frac{36}{48}\). Kürzen mit 12 ergibt \(\frac34\).
    Antwort: 24, \(\frac34\), 12 und \(\frac34\).