Flächeninhalt von Dreiecken und Parallelogrammen – Mathe Klasse 6 Arbeitsblatt Lösungen zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1

   Formeln: Rechteck \(A=a\cdot b\), \(U=2\cdot(a+b)\); Quadrat \(A=a\cdot a\), \(U=4\cdot a\).
   a) \(A=8\cdot5=40\,\mathrm{cm}^2\); \(U=2\cdot(8+5)=2\cdot13=26\) cm.
   b) \(A=7\cdot7=49\,\mathrm{m}^2\); \(U=4\cdot7=28\) m.
   c) \(A=2{,}5\cdot1{,}2=3\,\mathrm{m}^2\); \(U=2\cdot(2{,}5+1{,}2)=2\cdot3{,}7=7{,}4\) m.
   d) Aus \(A=a\cdot b\) folgt \(b=A:a=36:9=4\) cm. Probe: \(9\cdot4=36\).
   Achte darauf: Flächen haben Quadrateinheiten (\(\mathrm{cm}^2\)), Umfänge haben Längeneinheiten (cm).

2. Lösung zu Aufgabe 2

   Bei Flächeneinheiten ist die Umrechnungszahl 100: \(1\,\mathrm{m}^2=100\,\mathrm{dm}^2\), \(1\,\mathrm{dm}^2=100\,\mathrm{cm}^2\), \(1\,\mathrm{a}=100\,\mathrm{m}^2\), \(1\,\mathrm{ha}=100\,\mathrm{a}=10\,000\,\mathrm{m}^2\).
   a) In die kleinere Einheit multiplizieren: \(5\cdot100=500\,\mathrm{dm}^2\).
   b) In die größere Einheit dividieren: \(450:100=4{,}5\,\mathrm{dm}^2\).
   c) \(3\cdot10\,000=30\,000\,\mathrm{m}^2\).
   d) \(25\,000:10\,000=2{,}5\) ha.
   e) \(0{,}8\cdot100=80\,\mathrm{m}^2\).

3. Lösung zu Aufgabe 3

   Ein Parallelogramm kann man zu einem Rechteck umlegen: Man schneidet ein Dreieck ab und setzt es auf der anderen Seite an. Deshalb gilt \(A=g\cdot h\).
   a) \(A=9\cdot4=36\,\mathrm{cm}^2\).
   b) \(A=12{,}5\cdot6=75\,\mathrm{m}^2\).
   c) \(A=1{,}8\cdot0{,}75=1{,}35\,\mathrm{m}^2\).
   d) \(A=24\cdot18=432\,\mathrm{cm}^2\). Da \(100\,\mathrm{cm}^2=1\,\mathrm{dm}^2\), sind das \(4{,}32\,\mathrm{dm}^2\).
   Wichtig: \(h\) ist der senkrechte Abstand zur Grundseite, nicht die schräge Seite.

4. Lösung zu Aufgabe 4

   Zwei gleiche Dreiecke bilden zusammen ein Parallelogramm. Ein Dreieck hat deshalb die halbe Fläche: \(A=\frac12\cdot g\cdot h\).
   a) \(A=\frac12\cdot10\cdot7=\frac12\cdot70=35\,\mathrm{cm}^2\).
   b) \(A=\frac12\cdot6{,}4\cdot3=3{,}2\cdot3=9{,}6\,\mathrm{m}^2\).
   c) \(A=\frac12\cdot15\cdot8=15\cdot4=60\,\mathrm{cm}^2\).
   d) \(A=\frac12\cdot2{,}4\cdot1{,}5=1{,}2\cdot1{,}5=1{,}8\,\mathrm{m}^2\).
   Tipp: Halbiere zuerst die Zahl, die sich leicht halbieren lässt.

5. Lösung zu Aufgabe 5

   Wir stellen die Formel um und setzen ein.
   a) Aus \(A=g\cdot h\) folgt \(h=A:g=72:12=6\) cm. Probe: \(12\cdot6=72\).
   b) \(g=A:h=45:5=9\) m.
   c) Beim Dreieck ist \(g\cdot h=2\cdot A\). Also \(h=2\cdot30:10=60:10=6\) cm. Probe: \(\frac12\cdot10\cdot6=30\).
   d) \(g=2\cdot42:7=84:7=12\) m. Probe: \(\frac12\cdot12\cdot7=42\).
   Antwort: 6 cm, 9 m, 6 cm und 12 m.

6. Lösung zu Aufgabe 6

   Jede Seite eines Dreiecks kann Grundseite sein, und für jede gilt \(g\cdot h=2\cdot A=48\).
   a) Höhe zur Seite 8 cm: \(h=48:8=6\) cm.
   b) Höhe zur Seite 6 cm: \(h=48:6=8\) cm.
   c) Höhe zur Seite 12 cm: \(h=48:12=4\) cm.
   d) Die größte Höhe (8 cm) gehört zur kürzesten Seite (6 cm). Da das Produkt \(g\cdot h\) immer 48 ist, wird die Höhe umso kleiner, je länger die Grundseite ist. Die Fläche des Dreiecks bleibt natürlich bei jeder Wahl gleich.

7. Lösung zu Aufgabe 7

   a) Wir zerlegen die Figur in zwei Rechtecke. Oberes Rechteck: \(5\cdot3{,}5=17{,}5\,\mathrm{cm}^2\). Unteres Rechteck: \(10\cdot4{,}5=45\,\mathrm{cm}^2\).
   b) Gesamtfläche: \(17{,}5+45=62{,}5\,\mathrm{cm}^2\).
   c) Ergänzungsmethode: Das umschließende Rechteck ist 10 cm breit und \(3{,}5+4{,}5=8\) cm hoch, also \(80\,\mathrm{cm}^2\). Die fehlende Ecke ist \(5\) cm mal \(3{,}5\) cm, also \(17{,}5\,\mathrm{cm}^2\). Fläche: \(80-17{,}5=62{,}5\,\mathrm{cm}^2\).
   Beide Wege liefern dasselbe Ergebnis, das ist eine gute Kontrolle.

8. Lösung zu Aufgabe 8

   a) Dreiecksfläche: \(A=\frac12\cdot4{,}5\cdot3=\frac12\cdot13{,}5=6{,}75\,\mathrm{m}^2\).
   b) Erde: \(6{,}75\cdot15=101{,}25\) l.
   c) \(101{,}25:40\approx2{,}53\). Zwei Säcke (80 l) reichen nicht, also muss er 3 Säcke kaufen. Hier wird immer aufgerundet.
   d) Der Zaun läuft um das Beet, gebraucht wird der Umfang: \(4{,}5+3{,}8+4{,}2=12{,}5\) m. Das ist mehr als 11 m, es fehlen \(1{,}5\) m.
   Antwort: Das Beet hat \(6{,}75\,\mathrm{m}^2\), er braucht 3 Säcke Erde, und der Zaun reicht nicht.

9. Lösung zu Aufgabe 9

   a) Rechteck: \(7\cdot3=21\,\mathrm{m}^2\). Dreieck: \(\frac12\cdot7\cdot2{,}4=8{,}4\,\mathrm{m}^2\).
   b) Das Fenster hat \(1{,}2\cdot1=1{,}2\,\mathrm{m}^2\). Zu streichen: \(21+8{,}4-1{,}2=28{,}2\,\mathrm{m}^2\).
   c) Zweimaliges Streichen: \(2\cdot28{,}2=56{,}4\,\mathrm{m}^2\). Ein Eimer reicht für \(60\,\mathrm{m}^2\), also reicht ein Eimer.
   d) Man braucht \(\frac{56{,}4}{60}=0{,}94\) Eimer. Anteilig kostet das \(0{,}94\cdot48=45{,}12\) €. Tatsächlich bezahlt man aber den ganzen Eimer für 48 €.

10. Lösung zu Aufgabe 10

    a) Parallelogramm: \(A=g\cdot h=180\cdot120=21\,600\,\mathrm{m}^2\).
    b) \(1\,\mathrm{ha}=10\,000\,\mathrm{m}^2\), also \(21\,600:10\,000=2{,}16\) ha.
    c) Ernte: \(2{,}16\cdot8000=17\,280\) kg, also gut 17 Tonnen Weizen.
    d) Ein Dreieck mit gleicher Grundseite und Höhe hat genau die halbe Fläche: \(10\,800\,\mathrm{m}^2=1{,}08\) ha. Der Ertrag ist dann auch halb so groß: \(8640\) kg.
    Antwort: \(2{,}16\) ha und \(17\,280\) kg Weizen; das dreieckige Feld bringt \(8640\) kg.

11. Lösung zu Aufgabe 11

    a) Wand: \(2{,}4\cdot3=7{,}2\,\mathrm{m}^2\). Tür: \(0{,}9\cdot2=1{,}8\,\mathrm{m}^2\). Fenster: \(1{,}2\cdot1{,}2=1{,}44\,\mathrm{m}^2\). Zu fliesen: \(7{,}2-1{,}8-1{,}44=3{,}96\,\mathrm{m}^2\).
    b) Fliese in Metern: \(0{,}3\cdot0{,}2=0{,}06\,\mathrm{m}^2\).
    c) \(3{,}96:0{,}06=66\) Fliesen. Mit 10 % Reserve: \(66\cdot1{,}1=72{,}6\). Man kann keine halbe Fliese kaufen, also 73 Fliesen.
    d) \(73:20=3{,}65\). Drei Kartons (60 Fliesen) reichen nicht, man braucht 4 Kartons.
    Antwort: \(3{,}96\,\mathrm{m}^2\), 73 Fliesen, 4 Kartons.

12. Lösung zu Aufgabe 12

    a) Großsegel: \(\frac12\cdot2{,}8\cdot7{,}5=1{,}4\cdot7{,}5=10{,}5\,\mathrm{m}^2\). Vorsegel: \(\frac12\cdot2\cdot6=6\,\mathrm{m}^2\).
    b) Gesamt: \(10{,}5+6=16{,}5\,\mathrm{m}^2\).
    c) Kosten: \(16{,}5\cdot22=363\) €.
    d) Unterschied \(10{,}5-6=4{,}5\,\mathrm{m}^2\). Vergleichswert ist das Vorsegel: \(\frac{4{,}5}{6}=0{,}75=75\,\%\).
    Antwort: Die Segelfläche beträgt \(16{,}5\,\mathrm{m}^2\), das Tuch kostet 363 €, und das Großsegel ist um 75 % größer als das Vorsegel.

13. Lösung zu Aufgabe 13

    a) Ein Wimpel: \(\frac12\cdot24\cdot30=12\cdot30=360\,\mathrm{cm}^2\).
    b) 20 Wimpel: \(20\cdot360=7200\,\mathrm{cm}^2\). Da \(1\,\mathrm{m}^2=10\,000\,\mathrm{cm}^2\), sind das \(0{,}72\,\mathrm{m}^2\).
    c) Bei 1 m Breite ist die Fläche gleich der Länge mal 1 m, also braucht man mindestens \(0{,}72\) m Stoff. In der Praxis braucht man wegen Verschnitt etwas mehr.
    d) 20 Wimpel nebeneinander sind \(20\cdot24=480\) cm. Dazwischen gibt es 19 Lücken zu 5 cm, also 95 cm. Länge: \(480+95=575\) cm \(=5{,}75\) m.

14. Lösung zu Aufgabe 14

    a) Maßstab 1 : 2000 heißt: 1 cm auf dem Plan sind 2000 cm \(=20\) m in Wirklichkeit. Länge \(6\cdot20=120\) m, Breite \(4\cdot20=80\) m.
    b) Fläche: \(120\cdot80=9600\,\mathrm{m}^2\), das sind \(0{,}96\) ha.
    c) Grundseite \(5\cdot20=100\) m, Höhe \(3\cdot20=60\) m. Fläche: \(\frac12\cdot100\cdot60=3000\,\mathrm{m}^2\).
    d) \(9600:7140\approx1{,}34\). Der Park ist etwas größer als ein Fußballfeld; ganz passen nur eins hinein.
    Achtung: Man muss erst die Längen umrechnen und dann die Fläche berechnen, nicht die Planfläche mit 2000 malnehmen.

15. Lösung zu Aufgabe 15

    a) Spielfeld: \(105\cdot68=7140\,\mathrm{m}^2\).
    b) Strafraum: \(40{,}3\cdot16{,}5=664{,}95\,\mathrm{m}^2\), gerundet \(665\,\mathrm{m}^2\).
    c) Zwei Strafräume: \(2\cdot664{,}95=1329{,}9\,\mathrm{m}^2\). Anteil: \(\frac{1329{,}9}{7140}\approx0{,}186=18{,}6\,\%\).
    d) Dünger: \(7140\cdot30=214\,200\) g. Da 1000 g = 1 kg sind, braucht man \(214{,}2\) kg.
    Antwort: Das Feld hat \(7140\,\mathrm{m}^2\), die Strafräume machen knapp 19 % aus, und man braucht rund 214 kg Dünger.

16. Lösung zu Aufgabe 16

    a) Eine Dachseite: \(A=g\cdot h=18\cdot5=90\,\mathrm{m}^2\).
    b) Beide Seiten: \(180\,\mathrm{m}^2\). Erlaubt sind 80 %: \(0{,}8\cdot180=144\,\mathrm{m}^2\).
    c) Ein Modul hat \(1{,}7\cdot1=1{,}7\,\mathrm{m}^2\). \(144:1{,}7\approx84{,}7\). Ein angefangenes Modul darf nicht montiert werden, also höchstens 84 Module.
    d) Leistung: \(84\cdot0{,}34=28{,}56\) kW.
    Antwort: Es passen höchstens 84 Module mit zusammen \(28{,}56\) kW Leistung.

17. Lösung zu Aufgabe 17

    a) Rechteck: \(40\cdot25=1000\,\mathrm{m}^2\).
    b) Der dreieckige Anbau: \(\frac12\cdot25\cdot12=150\,\mathrm{m}^2\).
    c) Ganzes Grundstück: \(1000+150=1150\,\mathrm{m}^2\). Da \(1\,\mathrm{a}=100\,\mathrm{m}^2\), sind das \(11{,}5\) a.
    d) Preis: \(1150\cdot180=207\,000\) €.
    Vorgehen: Eine zusammengesetzte Fläche zerlegt man in bekannte Teilflächen, berechnet jede einzeln und addiert sie. Antwort: Das Grundstück hat \(1150\,\mathrm{m}^2\) und kostet \(207\,000\) €.

18. Lösung zu Aufgabe 18

    a) Wand: \(4{,}5\cdot2{,}5=11{,}25\,\mathrm{m}^2\). Fenster: \(1{,}6\cdot1{,}3=2{,}08\,\mathrm{m}^2\). Tür: \(0{,}9\cdot2{,}1=1{,}89\,\mathrm{m}^2\). Zu streichen: \(11{,}25-2{,}08-1{,}89=7{,}28\,\mathrm{m}^2\).
    b) Zweimal streichen: \(14{,}56\,\mathrm{m}^2\). Ein Liter reicht für \(8\,\mathrm{m}^2\): \(14{,}56:8=1{,}82\) l.
    c) Ein Eimer enthält 2,5 l, das reicht für 1,82 l. Man kauft einen Eimer für 14 €.
    d) Fenster und Tür zusammen: \(2{,}08+1{,}89=3{,}97\,\mathrm{m}^2\). Anteil: \(\frac{3{,}97}{11{,}25}\approx35{,}3\,\%\).

19. Lösung zu Aufgabe 19

    a) Rechteck: \(b=A:a=48:8=6\) cm.
    b) Parallelogramm: \(g=A:h=48:6=8\) cm.
    c) Dreieck: \(h=2\cdot A:g=96:12=8\) cm.
    d) Für ein Dreieck mit \(48\,\mathrm{cm}^2\) muss \(g\cdot h=96\) sein. Mögliche Paare sind zum Beispiel \(g=16\) cm und \(h=6\) cm oder \(g=24\) cm und \(h=4\) cm. Probe: \(\frac12\cdot16\cdot6=48\).
    Fazit: Gleiche Fläche bedeutet nicht gleiche Form.

20. Lösung zu Aufgabe 20

    a) \(A=\frac12\cdot6\cdot4=12\,\mathrm{cm}^2\).
    b) Grundseite 12 cm, Höhe 4 cm: \(\frac12\cdot12\cdot4=24\,\mathrm{cm}^2\). Die Fläche verdoppelt sich, weil nur ein Faktor verdoppelt wurde.
    c) Grundseite 12 cm, Höhe 8 cm: \(\frac12\cdot12\cdot8=48\,\mathrm{cm}^2\). Die Fläche wird viermal so groß, denn \(2\cdot2=4\).
    d) Grundseite 3 cm, Höhe 2 cm: \(\frac12\cdot3\cdot2=3\,\mathrm{cm}^2\). Das ist ein Viertel der ursprünglichen Fläche, denn \(\frac12\cdot\frac12=\frac14\).