Zuordnungen und Dreisatz – Mathe Klasse 6 Arbeitsblatt Lösungen zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1

   Bei einer proportionalen Zuordnung gehört zum Doppelten das Doppelte, zum Fünffachen das Fünffache.
   a) 2 kg: \(2\cdot1{,}80=3{,}60\) €. 5 kg: \(5\cdot1{,}80=9{,}00\) €. 10 kg: \(10\cdot1{,}80=18{,}00\) €. Für den Preis 12,60 € rechnen wir rückwärts: \(12{,}60:1{,}80=7\) kg.
   b) Der Quotient Preis durch Menge ist immer gleich: \(\frac{3{,}60}{2}=\frac{9}{5}=1{,}80\). Der Proportionalitätsfaktor ist \(1{,}80\) € pro kg, also der Preis für ein Kilogramm.
   Antwort: 3,60 €, 9,00 €, 7 kg und 18,00 €.

2. Lösung zu Aufgabe 2

   Bei einer antiproportionalen Zuordnung gehört zum Doppelten die Hälfte. Das Produkt der beiden Werte bleibt gleich.
   a) 1 Arbeiter braucht 24 Tage. 2 Arbeiter: \(24:2=12\) Tage. 3 Arbeiter: \(24:3=8\) Tage. 4 Arbeiter: \(24:4=6\) Tage. Für 2 Tage braucht man \(24:2=12\) Arbeiter.
   b) Das Produkt ist immer \(1\cdot24=2\cdot12=3\cdot8=24\). Es bedeutet: Die ganze Arbeit umfasst 24 Arbeitertage. Egal wie man sie verteilt, die Gesamtarbeit bleibt gleich.

3. Lösung zu Aufgabe 3

   a) Proportional: Jedes Brötchen kostet 0,45 €, also kosten doppelt so viele Brötchen doppelt so viel.
   b) Antiproportional: Doppelt so viele Pumpen schaffen das Becken in der halben Zeit.
   c) Weder noch: Kinder wachsen nicht gleichmäßig, und mit dem doppelten Alter ist man nicht doppelt so groß.
   d) Proportional: Bei gleicher Geschwindigkeit braucht man für die doppelte Strecke die doppelte Zeit.
   e) Weder noch: Wegen der Grundgebühr kosten 0 km nicht 0 €, und 2 km kosten weniger als das Doppelte von 1 km.
   f) Antiproportional: Der Mietpreis bleibt fest; bei doppelt so vielen Kindern zahlt jedes die Hälfte.

4. Lösung zu Aufgabe 4

   Den Proportionalitätsfaktor erhält man, indem man die zweite Größe durch die erste teilt. Er gibt den Wert für eine Einheit an.
   a) \(4{,}50:3=1{,}50\). Ein Kilogramm Kartoffeln kostet 1,50 €.
   b) 250 g sind 0,25 kg. \(3{,}25:0{,}25=13\). Ein Kilogramm Käse kostet 13 €; 100 g kosten 1,30 €.
   c) \(480:4=120\). Der Zug fährt 120 km pro Stunde.
   d) \(9{,}60:8=1{,}20\). Ein Heft kostet 1,20 €.
   Antwort: 1,50 €/kg; 13 €/kg; 120 km/h; 1,20 € pro Heft.

5. Lösung zu Aufgabe 5

   Dreisatz: 1. Satz gegebene Werte, 2. Satz auf eine Einheit schließen (teilen), 3. Satz auf die gesuchte Menge schließen (malnehmen).
   a) 4 Brötchen kosten 1,80 €; 1 Brötchen kostet \(1{,}80:4=0{,}45\) €; 10 Brötchen kosten \(0{,}45\cdot10=4{,}50\) €.
   b) 6 l kosten 10,50 €; 1 l kostet \(1{,}75\) €; 40 l kosten \(1{,}75\cdot40=70{,}00\) €.
   c) Mit 5 l fährt es 80 km; mit 1 l \(80:5=16\) km; mit 12 l \(16\cdot12=192\) km.
   d) 15 m kosten 63 €; 1 m kostet \(63:15=4{,}20\) €; 4 m kosten \(16{,}80\) €.

6. Lösung zu Aufgabe 6

   Je mehr, desto weniger: Hier schließen wir auf eine Einheit, indem wir malnehmen, und dann teilen wir.
   a) 5 Pumpen brauchen 12 h; 1 Pumpe braucht \(12\cdot5=60\) h; 8 Pumpen brauchen \(60:8=7{,}5\) h, also 7 h 30 min.
   b) 8 Kinder: 15 Tage; 1 Kind: \(15\cdot8=120\) Tage; 10 Kinder: \(120:10=12\) Tage.
   c) Die Strecke ist \(60\cdot3=180\) km. Bei 90 km/h braucht man \(180:90=2\) h.
   d) Die Arbeit umfasst \(4\cdot18=72\) Baggertage. In 9 Tagen braucht man \(72:9=8\) Bagger.
   Antwort: 7,5 h; 12 Tage; 2 h; 8 Bagger.

7. Lösung zu Aufgabe 7

   a) Am Graphen liest man ab: 2 kg kosten 3,50 €, 4 kg kosten 7 €, 6 kg kosten 10,50 €.
   b) Ein Kilogramm kostet \(3{,}50:2=1{,}75\) €. Das ist der Proportionalitätsfaktor.
   c) 8 kg kosten \(8\cdot1{,}75=14\) €. Man kann auch rechnen: 8 kg sind doppelt so viel wie 4 kg, also \(2\cdot7=14\) €. Im Graphen verlängert man die Gerade bis zum Wert 8.
   d) Ja, die Zuordnung ist proportional. Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung (0 kg kosten 0 €), und der Quotient Preis durch Menge ist überall \(1{,}75\).

8. Lösung zu Aufgabe 8

   a) Für 6 statt 4 Personen braucht man das \(6:4=1{,}5\)-fache: Mehl \(300\cdot1{,}5=450\) g, Milch \(0{,}6\cdot1{,}5=0{,}9\) l, Eier \(3\cdot1{,}5=4{,}5\), also 4 bis 5 Eier, Butter \(40\cdot1{,}5=60\) g.
   b) Für 10 Personen das \(2{,}5\)-fache: Mehl 750 g, Milch 1,5 l, Eier 7,5 (also 7 oder 8), Butter 100 g.
   c) 450 g Mehl sind das \(450:300=1{,}5\)-fache, also reicht es für \(1{,}5\cdot4=6\) Personen.
   Hinweis: Eier kann man nicht halbieren, deshalb rundet man sinnvoll.

9. Lösung zu Aufgabe 9

   a) 260 km sind \(2{,}6\)-mal 100 km: \(6{,}5\cdot2{,}6=16{,}9\) l.
   b) \(39:6{,}5=6\). Mit 39 l fährt es \(6\cdot100=600\) km.
   c) Kosten: \(16{,}9\cdot1{,}85=31{,}265\), gerundet \(31{,}27\) €.
   d) Das sparsame Auto braucht \(5\cdot2{,}6=13\) l, also \(16{,}9-13=3{,}9\) l weniger. Ersparnis: \(3{,}9\cdot1{,}85\approx7{,}22\) €.
   Antwort: 16,9 l, 600 km, 31,27 €; mit dem sparsameren Auto spart man etwa 7,22 €.

10. Lösung zu Aufgabe 10

    Die Arbeit umfasst \(4\cdot9=36\) Malertage (antiproportionale Zuordnung).
    a) 6 Maler: \(36:6=6\) Tage.
    b) In 3 Tagen: \(36:3=12\) Maler.
    c) In den ersten 3 Tagen erledigen 4 Maler \(4\cdot3=12\) Malertage. Es bleiben \(36-12=24\) Malertage. Mit 3 Malern dauert der Rest \(24:3=8\) Tage.
    d) Die Arbeitsmenge bleibt 36 Malertage. Die Arbeit dauert durch den Ausfall aber \(3+8=11\) Tage statt 9 Tage.
    Antwort: 6 Tage; 12 Maler; 8 weitere Tage; insgesamt 11 Tage.

11. Lösung zu Aufgabe 11

    a) Doppelte Geschwindigkeit bedeutet halbe Zeit (antiproportional): \(18:2=9\) min.
    b) Ben schafft 1,5 km in 18 min, also \(1{,}5:18=\frac1{12}\) km pro Minute. In 30 min: \(30\cdot\frac1{12}=2{,}5\) km.
    c) In 60 min: \(60\cdot\frac1{12}=5\) km. Ben geht 5 km pro Stunde.
    d) Fünfmal so schnell heißt ein Fünftel der Zeit: \(18:5=3{,}6\) min, also 3 min 36 s.
    Antwort: Mia braucht 9 min; Ben schafft 2,5 km in 30 min und 5 km in einer Stunde; der Bus braucht 3,6 min.

12. Lösung zu Aufgabe 12

    a) Mit 3 Hähnen 8 h; mit 1 Hahn dreimal so lange: \(3\cdot8=24\) h.
    b) 4 Hähne: \(24:4=6\) h.
    c) 6 Hähne: \(24:6=4\) h.
    d) Alle drei Hähne liefern in 8 h zusammen 240 000 l, also pro Stunde \(240\,000:8=30\,000\) l. Ein Hahn liefert ein Drittel davon: \(10\,000\) l pro Stunde.
    Kontrolle: Ein Hahn braucht \(240\,000:10\,000=24\) h. Das passt zu a).

13. Lösung zu Aufgabe 13

    Der Vorrat umfasst \(8\cdot15=120\) Hasentage.
    a) 12 Hasen: \(120:12=10\) Tage.
    b) 20 Tage: \(120:20=6\) Hasen.
    c) In 5 Tagen fressen 8 Hasen \(8\cdot5=40\) Hasentage. Es bleiben \(80\) Hasentage für \(8+4=12\) Hasen: \(80:12\approx6{,}7\) Tage, also reicht das Futter noch 6 volle Tage.
    d) Der gesamte Vorrat umfasst 120 Hasentage.
    Antwort: 10 Tage; 6 Hasen; noch etwa 6,7 Tage; 120 Hasentage.

14. Lösung zu Aufgabe 14

    a) In einer Minute: \(36:2=18\) Seiten.
    b) Ein Klassenset hat \(30\cdot12=360\) Seiten. Zeit: \(360:18=20\) min.
    c) Zwei gleich schnelle Kopierer brauchen die halbe Zeit: \(20:2=10\) min.
    d) Kosten: \(360\cdot0{,}04=14{,}40\) €.
    Antwort: 18 Seiten pro Minute; das Klassenset dauert 20 min, mit zwei Geräten 10 min, und kostet 14,40 €. Teil b) ist proportional, Teil c) antiproportional.

15. Lösung zu Aufgabe 15

    a) Preis pro Kind: \(312:24=13\) €.
    b) Bei gleichem Preis pro Kind ist der Gesamtpreis proportional zur Kinderzahl: \(13\cdot30=390\) €.
    c) Der feste Gruppenpreis wird auf 20 Kinder verteilt: \(312:20=15{,}60\) €.
    d) Bei festem Gruppenpreis gilt: Je mehr Kinder, desto weniger zahlt jedes. Das Produkt Kinderzahl mal Preis pro Kind bleibt 312 €. Die Zuordnung ist antiproportional.
    Antwort: 13 €; 390 €; 15,60 €; antiproportional.

16. Lösung zu Aufgabe 16

    a) Preis pro Kind = 480 € geteilt durch die Kinderzahl. 32 Kinder: 15 €. 40 Kinder: 12 €. 24 Kinder: 20 €. 16 Kinder: 30 €.
    b) \(480:10=48\) Kinder.
    c) Von 15 € auf 12 € sind es 3 € weniger. Bezogen auf 15 €: \(\frac3{15}=0{,}2=20\,\%\) billiger.
    d) Kinderzahl mal Preis pro Kind ergibt immer den Gesamtpreis des Busses. Dieser steht mit 480 € fest und hängt nicht davon ab, wie viele Kinder mitfahren. Deshalb ist das Produkt konstant, und die Zuordnung ist antiproportional.

17. Lösung zu Aufgabe 17

    a) 4 cm auf der Karte entsprechen 1 km. 14 cm sind \(14:4=3{,}5\)-mal so viel, also 3,5 km.
    b) 2,5 km entsprechen \(2{,}5\cdot4=10\) cm auf der Karte.
    c) 3,5 km bei 4 km/h: \(3{,}5:4=0{,}875\) h. Da \(0{,}875\cdot60=52{,}5\), braucht man etwa 53 Minuten.
    d) \(21:4=5{,}25\) km. Bei 3 km/h: \(5{,}25:3=1{,}75\) h, also 1 h 45 min.
    Antwort: 3,5 km; 10 cm; etwa 53 min; 5,25 km in 1 h 45 min.

18. Lösung zu Aufgabe 18

    a) Taxi A: Preis \(=2{,}50+1{,}80\cdot\text{km}\). 1 km: 4,30 €; 2 km: 6,10 €; 5 km: 11,50 €; 10 km: 20,50 €. Taxi B: Preis \(=2\cdot\text{km}\). 1 km: 2 €; 2 km: 4 €; 5 km: 10 €; 10 km: 20 €.
    b) Nur Taxi B ist proportional, denn der Quotient Preis durch Strecke ist immer 2. Bei Taxi A stört die Grundgebühr.
    c) Taxi A ist pro km um 0,20 € billiger, hat aber 2,50 € Grundgebühr. Diese ist nach \(2{,}50:0{,}20=12{,}5\) km ausgeglichen. Für Strecken über 12,5 km ist A günstiger.
    d) A: \((20-2{,}50):1{,}80\approx9{,}7\) km. B: \(20:2=10\) km. Mit 20 € kommt man mit B etwas weiter.

19. Lösung zu Aufgabe 19

    Hier hängen zwei Größen zusammen: Personenzahl und Tage.
    a) 4 Personen essen in 6 Tagen 12 kg. Eine Person isst in 6 Tagen \(12:4=3\) kg, an einem Tag \(3:6=0{,}5\) kg.
    b) 5 Personen in 8 Tagen: \(5\cdot8\cdot0{,}5=20\) kg.
    c) 6 Personen essen zusammen \(6\cdot0{,}5=3\) kg pro Tag. 12 kg reichen \(12:3=4\) Tage.
    Antwort: 0,5 kg pro Person und Tag; 20 kg; 4 Tage. Kontrolle zu c): \(6\cdot4\cdot0{,}5=12\) kg.

20. Lösung zu Aufgabe 20

    a) Tabelle A: Die Quotienten \(\frac52=\frac{10}4=\frac{15}6=2{,}5\) sind gleich. Die Zuordnung ist proportional mit dem Faktor 2,5.
    b) Tabelle B: Die Produkte \(2\cdot12=4\cdot6=8\cdot3=24\) sind gleich. Die Zuordnung ist antiproportional.
    c) Tabelle C: Die Quotienten \(4\), \(3{,}5\) und \(3{,}\overline{3}\) sind verschieden, die Produkte \(4\), \(14\) und \(30\) ebenfalls. Die Zuordnung ist weder proportional noch antiproportional. Man erkennt die Regel \(y=3x+1\): Bei jedem Schritt kommt 3 dazu, aber es gibt einen Startwert.