Inferencia estadística – matemáticas 1º Grado (Universidad): apuntes y teoría para descargar en PDF

Definición: muestreo y distribución de los estimadores

Una muestra aleatoria simple \(X_1,\dots,X_n\) son variables independientes con la distribución de la población (media \(\mu\), desviación \(\sigma\)). Un estimador es una función de la muestra: la media muestral \(\bar X=\frac1n\sum X_i\) estima \(\mu\) y la cuasivarianza \(s^2=\frac1{n-1}\sum(X_i-\bar X)^2\) estima \(\sigma^2\). Un estimador es insesgado si su esperanza es el parámetro; \(\bar X\) lo es y cumple \(E[\bar X]=\mu\), \(\operatorname{Var}\bar X=\sigma^2/n\). Si la población es normal (o \(n\) es grande, por el teorema central del límite), \(\bar X\sim N(\mu,\sigma/\sqrt n)\). Para una proporción, \(\hat p\approx N\left(p,\sqrt{p(1-p)/n}\right)\).

Definición: intervalos de confianza

Un intervalo de confianza al nivel \(1-\alpha\) para un parámetro es un intervalo calculado con la muestra que contiene al parámetro con probabilidad \(1-\alpha\) en el muestreo repetido. Para la media con \(\sigma\) conocida: \(\bar x\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}\) con \(z_{0{,}025}=1{,}96\) y \(z_{0{,}005}=2{,}576\). Si \(\sigma\) es desconocida y la población normal se usa la \(t\) de Student con \(n-1\) grados de libertad: \(\bar x\pm t_{n-1,\alpha/2}\frac s{\sqrt n}\). Para una proporción: \(\hat p\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}\). El margen de error \(E\) disminuye al aumentar \(n\) (como \(1/\sqrt n\)) y aumenta con la confianza. Tamaño muestral necesario: \(n\ge\left(\frac{z_{\alpha/2}\sigma}{E}\right)^2\).

Definición: muestreo aleatorio

Una muestra aleatoria simple de tamaño \(n\) se obtiene eligiendo los individuos de forma que todos tengan la misma probabilidad de ser seleccionados y que las elecciones sean independientes. En la práctica se usan también el muestreo estratificado, que divide la población en grupos homogéneos, como comunidades autónomas o franjas de edad, y toma una muestra de cada uno en proporción a su tamaño, y el muestreo por conglomerados, que selecciona al azar grupos completos, como colegios o barrios. Un buen diseño de muestreo es la condición previa de toda inferencia: si la muestra no representa a la población, las fórmulas de los intervalos y de los contrastes dan resultados precisos pero equivocados.

Definición: estimador insesgado y eficiente

Un estimador es una función de la muestra que se usa para aproximar un parámetro. Es insesgado si su esperanza coincide con el parámetro, de modo que no se equivoca sistemáticamente hacia arriba ni hacia abajo, y es más eficiente que otro si tiene menor varianza. La media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional, con varianza \(\frac{\sigma^2}{n}\), y la cuasivarianza es un estimador insesgado de la varianza.