Divisibilidad: múltiplos, divisores, primos – matemáticas 5º Primaria: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. 7, 14, 21, 28, 35 y 42.
   2. Sí, porque 91 : 7 = 13 con resto 0 (7 · 13 = 91).
   3. No, porque 100 : 8 = 12 con resto 4.
   4. 54, 63, 72, 81, 90 y 99.
   5. 100 : 12 = 8 y resto 4, luego es 12 · 8 = 96.

2. Solución del ejercicio 2

   1. 1, 2, 3, 4, 6 y 12 (parejas: 1·12, 2·6, 3·4).
   2. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30 (parejas: 1·30, 2·15, 3·10, 5·6).
   3. Solo 1 y 17: es un número primo.
   4. 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36. Son 9 divisores (el 6 forma pareja consigo mismo: 6 · 6).
   5. 1, 2, 4, 7, 14 y 28: seis divisores.

3. Solución del ejercicio 3

   1. Termina en 0: divisible por 2, 5 y 10. Suma de cifras 1 + 2 + 6 + 0 = 9: divisible por 3 y por 9. Es divisible por 2, 3, 5, 9 y 10.
   2. Termina en 2: divisible por 2. Suma 4 + 5 + 7 + 2 = 18: divisible por 3 y por 9. No por 5 ni por 10.
   3. Termina en 5: divisible por 5. Suma 3 + 4 + 8 + 5 = 20: ni por 3 ni por 9. No por 2 ni por 10.
   4. Termina en 0 y la suma es 9: divisible por 2, 3, 5, 9 y 10.
   5. Suma 1 + 0 + 1 + 1 = 3: divisible por 3, pero no por 9. Termina en 1: no es divisible por 2, 5 ni 10.

4. Solución del ejercicio 4

   1. La suma 5 + 2 + * = 7 + * debe ser múltiplo de 3: * = 2, 5 u 8 (522, 525, 528).
   2. 4 + * + 8 = 12 + * debe ser múltiplo de 9: * = 6 (468).
   3. Debe terminar en cifra par y 3 + 1 + * = 4 + * debe ser múltiplo de 3: * = 2 u 8 (312 y 318).
   4. Termina en 5, así que es divisible por 5. 7 + * + 5 = 12 + * debe ser múltiplo de 9: * = 6 (765).
   5. 2 + * + 4 = 6 + * debe ser múltiplo de 3: * = 0, 3, 6 o 9.

5. Solución del ejercicio 5

   1. Ni primo ni compuesto: solo tiene un divisor, el 1.
   2. 9 compuesto (3 · 3); 13 primo; 21 compuesto (3 · 7); 29 primo; 51 compuesto (3 · 17); 53 primo.
   3. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29.
   4. Sí. Cualquier otro número par es divisible por 2 y tiene al menos tres divisores (1, 2 y él mismo).
   5. 32, 33 (3 · 11), 34, 35 (5 · 7) y 36 son compuestos; el siguiente primo es 37.

6. Solución del ejercicio 6

   1. 60 : 2 = 30; 30 : 2 = 15; 15 : 3 = 5; 5 : 5 = 1. Resultado: \(2^2\cdot3\cdot5\).
   2. 84 : 2 = 42; 42 : 2 = 21; 21 : 3 = 7; 7 : 7 = 1. Resultado: \(2^2\cdot3\cdot7\).
   3. 90 : 2 = 45; 45 : 3 = 15; 15 : 3 = 5; 5 : 5 = 1. Resultado: \(2\cdot3^2\cdot5\).
   4. 100 : 2 = 50; 50 : 2 = 25; 25 : 5 = 5; 5 : 5 = 1. Resultado: \(2^2\cdot5^2\).
   5. 126 : 2 = 63; 63 : 3 = 21; 21 : 3 = 7; 7 : 7 = 1. Resultado: \(2\cdot3^2\cdot7\).

7. Solución del ejercicio 7

   1. Múltiplos de 4: 4, 8, 12… Múltiplos de 6: 6, 12… mcm = 12.
   2. Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. El mayor común es 6.
   3. \(8=2^3\) y \(20=2^2\cdot5\). mcm = \(2^3\cdot5\) = 40.
   4. \(24=2^3\cdot3\) y \(36=2^2\cdot3^2\). mcd = \(2^2\cdot3\) = 12.
   5. \(15=3\cdot5\) y \(25=5^2\). mcm = \(3\cdot5^2\) = 75.

8. Solución del ejercicio 8

   1. mcm(12, 15) = 60 minutos (12 = 2²·3 y 15 = 3·5; mcm = 2²·3·5 = 60).
   2. A las 9:00.
   3. Línea A: 60 : 12 = 5 salidas. Línea B: 60 : 15 = 4 salidas.
   4. A las 8:00, 9:00, 10:00, 11:00 y 12:00: cinco veces.

9. Solución del ejercicio 9

   1. 48 = 2⁴·3 y 36 = 2²·3². mcd = 2²·3 = 12 bolsas.
   2. 48 : 12 = 4 rotuladores rojos.
   3. 36 : 12 = 3 rotuladores azules.
   4. 4 + 3 = 7 rotuladores por bolsa (7 · 12 = 84 en total).

10. Solución del ejercicio 10

    1. mcd(90, 60) = 30 cm (90 = 2·3²·5 y 60 = 2²·3·5; mcd = 2·3·5 = 30).
    2. 90 : 30 = 3 baldosas a lo largo y 60 : 30 = 2 a lo ancho: 3 · 2 = 6 baldosas.
    3. 9 · 6 = 54 baldosas.
    4. 54 − 6 = 48 baldosas más.

11. Solución del ejercicio 11

    1. Los divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.
    2. Grupos de 3, 4, 6 u 8 alumnos.
    3. Los divisores de 25: 1, 5 y 25. Solo grupos de 5 (cinco grupos).
    4. Porque 25 : 3 = 8 con resto 1: el 25 no es divisible por 3 (2 + 5 = 7 no es múltiplo de 3).

12. Solución del ejercicio 12

    1. mcm(6, 8) = 24 segundos.
    2. Faro de 6 s: 24 : 6 = 4 destellos. Faro de 8 s: 24 : 8 = 3 destellos.
    3. 120 : 24 = 5 veces (a los 24, 48, 72, 96 y 120 segundos).
    4. No: 100 no es múltiplo de 24 (100 : 24 = 4 con resto 4).

13. Solución del ejercicio 13

    1. mcd(42, 56) = 14 (42 = 2·3·7 y 56 = 2³·7). Se preparan 14 ramos.
    2. 42 : 14 = 3 rosas.
    3. 56 : 14 = 4 claveles.
    4. 14 · 12 = 168 €.

14. Solución del ejercicio 14

    1. mcm(3, 4, 6) = 12 días.
    2. Marta: 12 : 3 = 4 veces. Luis: 12 : 4 = 3 veces. Ana: 12 : 6 = 2 veces.
    3. 60 : 12 = 5 veces.
    4. A los 8 días no: 8 es múltiplo de 4 pero no de 6. A los 12 sí: 12 es múltiplo de 4 y de 6.

15. Solución del ejercicio 15

    1. mcm(4, 6) = 12 días.
    2. mcm(4, 10) = 20 días y mcm(6, 10) = 30 días.
    3. mcm(4, 6, 10) = 60 días (4 = 2², 6 = 2·3, 10 = 2·5; mcm = 2²·3·5).
    4. 365 : 60 = 6 y resto 5: seis veces (a los 60, 120, 180, 240, 300 y 360 días).
    5. Porque para tres números hay que incluir todos los factores primos de los tres; el 3 de la segunda y el 5 de la tercera obligan a un múltiplo mayor.

16. Solución del ejercicio 16

    1. mcd(180, 135) = 45 cm (180 = 2²·3²·5 y 135 = 3³·5; mcd = 3²·5 = 45).
    2. 180 : 45 = 4 y 135 : 45 = 3. Hacen falta 4 · 3 = 12 azulejos.
    3. 180 : 15 = 12 y 135 : 15 = 9: 12 · 9 = 108 azulejos.
    4. 108 − 12 = 96 azulejos más.
    5. No: 135 : 20 = 6 con resto 15, así que habría que cortar azulejos (20 no divide a 135).

17. Solución del ejercicio 17

    1. 120 = 2³·3·5, 180 = 2²·3²·5 y 150 = 2·3·5². mcd = 2·3·5 = 30 libros.
    2. Matemáticas: 120 : 30 = 4. Lengua: 180 : 30 = 6. Ciencias: 150 : 30 = 5.
    3. 4 + 6 + 5 = 15 cajas.
    4. No: 180 : 40 = 4 con resto 20, así que sobrarían libros.

18. Solución del ejercicio 18

    1. Los divisores de 72 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 y 72. Entre 20 y 40: 24 y 36.
    2. 24 = 6 · 4 y 36 = 6 · 6: los dos son múltiplos de 6.
    3. 24: 2 + 4 = 6; 36: 3 + 6 = 9. Es el 36.
    4. Sí: la suma de sus cifras es 9, múltiplo de 9 (36 = 9 · 4).
    5. Sería el 24, porque 2 + 4 = 6.

19. Solución del ejercicio 19

    1. 100 : 5 = 20 boletos (5, 10, …, 100).
    2. 100 : 7 = 14 y resto 2: 14 boletos (7, 14, …, 98).
    3. mcm(5, 7) = 35: los boletos 35 y 70.
    4. 20 + 14 − 2 = 32 boletos (los dos que ganan ambos premios se han contado dos veces).
    5. 100 − 32 = 68 boletos no ganan nada.

20. Solución del ejercicio 20

    1. Divisores de 6 menores que 6: 1, 2 y 3. Suma: 6. Es perfecto.
    2. Divisores de 28 menores que 28: 1, 2, 4, 7 y 14. Suma: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Es perfecto.
    3. Divisores menores que 12: 1, 2, 3, 4 y 6. Suma: 16, distinto de 12. No es perfecto.
    4. 64 = 2⁶ tiene 7 divisores: 1, 2, 4, 8, 16, 32 y 64.