Divisibilidad – matemáticas 1º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84.
   2. Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Divisores de 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45.
   3. 91 : 7 = 13 exacto: sí. 91 : 9 = 10 y resto 1: no.
   4. Son divisores de 60: 12, 15 y 20 (60 : 12 = 5; 60 : 15 = 4; 60 : 20 = 3). No lo son 7 ni 18.

2. Solución del ejercicio 2

   Se aplica cada criterio: 2 (acaba en cifra par), 3 y 9 (suma de cifras múltiplo de 3 o de 9), 5 y 10 (acaba en 0 o 5 / en 0) y 11 (diferencia entre cifras en posición par e impar).

   1. 480: por 2, 3, 5, 10
   2. 1575: por 3, 5, 9
   3. 2376: por 2, 3, 9, 11
   4. 8019: por 3, 9, 11

3. Solución del ejercicio 3

   1. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37.
   2. 91 = 7 · 13, es compuesto. 97 no es divisible por 2, 3, 5 ni 7 (y 11² > 97): es primo.
   3. Consecutivos: 11 y 13 (también 17 y 19); gemelos: 11 y 13, o 29 y 31.
   4. Todo número par mayor que 2 es divisible entre 2 y, por tanto, tiene un divisor más aparte de 1 y de sí mismo.

4. Solución del ejercicio 4

   1. \(180 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5\)
   2. \(294 = 2 \cdot 3 \cdot 7^{2}\)
   3. \(1260 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7\)
   4. \(3575 = 5^{2} \cdot 11 \cdot 13\)

5. Solución del ejercicio 5

   1. Descomponemos: \(24=2^3\cdot3\) y \(36=2^2\cdot3^2\). El mcd toma los factores comunes con el menor exponente: \(2^2\cdot3=\) 12. El mcm toma todos los factores con el mayor exponente: \(2^3\cdot3^2=\) 72.
   2. \(45=3^2\cdot5\) y \(75=3\cdot5^2\). mcd \(=3\cdot5=\) 15; mcm \(=3^2\cdot5^2=\) 225.
   3. \(12=2^2\cdot3\), \(18=2\cdot3^2\), \(30=2\cdot3\cdot5\). Comunes con menor exponente: \(2\cdot3=\) 6. Todos con mayor exponente: \(2^2\cdot3^2\cdot5=\) 180.
   4. Multiplicamos: 12 · 72 = 864 y 24 · 36 = 864. Los dos productos coinciden, como afirma la propiedad mcd · mcm = a · b para dos números.

6. Solución del ejercicio 6

   1. mcd(84, 126) = 42.
   2. mcm(8, 12, 15) = 120.
   3. Debe ser múltiplo de 30: por ejemplo 120 o 150 o 990.
   4. 48 = 2⁴ · 3, tiene (4 + 1)(1 + 1) = 10 divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

7. Solución del ejercicio 7

   1. Las baldosas cuadradas sin cortar exigen un lado que divida a 360 y a 252, y lo más grande posible: es el mcd. \(360=2^3\cdot3^2\cdot5\) y \(252=2^2\cdot3^2\cdot7\), luego mcd \(=2^2\cdot3^2=\) 36 cm.
   2. A lo largo caben 360 : 36 = 10 baldosas y a lo ancho 252 : 36 = 7 baldosas.
   3. Las baldosas forman una cuadrícula de 10 filas por 7 columnas: 10 · 7 = 70 baldosas.
   4. Multiplicamos el número de baldosas por su precio: 70 · 2,40 = 168 € cuesta el embaldosado.

8. Solución del ejercicio 8

   1. Los autobuses vuelven a coincidir cuando pasa un tiempo que es múltiplo de 12, de 18 y de 30 a la vez; el primero es el mcm. \(12=2^2\cdot3\), \(18=2\cdot3^2\), \(30=2\cdot3\cdot5\): mcm \(=2^2\cdot3^2\cdot5=\) 180 minutos.
   2. 180 minutos son 3 horas, así que coinciden de nuevo a las 7:00 + 3 h = 10:00 h.
   3. De 7:00 a 13:00 hay 6 horas = 360 minutos. Coinciden a los 0, 180 y 360 minutos: a las 7:00, 10:00 y 13:00, es decir, 3 veces.
   4. En 360 minutos hay 360 : 12 = 30 intervalos de 12 minutos. Sumando la salida de las 7:00, el autobús A hace 31 salidas.

9. Solución del ejercicio 9

   1. mcd(84, 126, 210) = 42 bolsas.
   2. Fresa: 84 : 42 = 2; limón: 126 : 42 = 3; naranja: 210 : 42 = 5.
   3. 2 + 3 + 5 = 10 caramelos por bolsa.
   4. Sí: 7 divide a 42, por ejemplo cada bolsa llevaría 12, 18 y 30 caramelos. Se pueden formar 7 bolsas, pero no serían el máximo.

10. Solución del ejercicio 10

    1. Coinciden cuando el número de días es múltiplo de 4 y de 6: mcm(4, 6) = 12 días.
    2. Coinciden los días 12, 24, 36, 48 y 60: 60 : 12 = 5 veces.
    3. La segunda coincidencia es dentro de 24 días. Como 24 = 3 · 7 + 3, pasan 3 semanas completas y 3 días más: lunes + 3 días = jueves.
    4. Ahora buscamos mcm(4, 6, 9). \(4=2^2\), \(6=2\cdot3\), \(9=3^2\): mcm \(=2^2\cdot3^2=\) 36 días. Los tres coinciden dentro de 36 días.

11. Solución del ejercicio 11

    1. Divisores de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
    2. Divisores de 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
    3. Divisores comunes: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
    4. Con equipos de 12: 60 : 12 + 48 : 12 = 5 + 4 = 9 equipos.

12. Solución del ejercicio 12

    1. Partimos de 7 · 15 = 105 y sumamos 7 cada vez: 105, 112, 119, 126, 133 y 140.
    2. Aplicamos el criterio del 3 (suma de cifras múltiplo de 3): 105 → 6 sí; 112 → 4 no; 119 → 11 no; 126 → 9 sí; 133 → 7 no; 140 → 5 no. Son 105 y 126.
    3. Las cifras de 105 suman 6 y las de 126 suman 9. El número es 126.
    4. 105 termina en 5, luego es múltiplo de 5; 126 no lo es. Con esa pista el número sería 105. Para identificar el 126 habría bastado decir «es par», porque 105 es impar.

13. Solución del ejercicio 13

    1. mcd(168, 144) = 24 plantas por fila.
    2. 168 : 24 = 7 filas de tomateras y 144 : 24 = 6 filas de pimenteros.
    3. Hay 13 filas con dos extremos: 13 · 2 · 2 = 52 m.
    4. 168 = 16·10 + 8 y 144 = 14·10 + 4: sobrarían 8 y 4 plantas, es decir, no es posible sin que sobren plantas.

14. Solución del ejercicio 14

    1. 315, 345, 375 (a = 1, 4, 7).
    2. 72b: divisible entre 9 si 7 + 2 + b = 9 o 18: b = 0 o 9; entre 4 si acaba en 00, 04, 08, … : 720 sí (20 : 4 = 5), 729 no. Solución: b = 0 (720).
    3. mcm(12, 8) = 24 y resto 5: 24 + 5 = 29.
    4. mcm(6, 8, 12) = 24 y resto 1: 25.

15. Solución del ejercicio 15

    1. Divisores de 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72.
    2. Valores entre 4 y 12 que dividen a 72: 4, 6, 8, 9, 12.
    3. Mesas: 4 alumnos → 18 mesas; 6 alumnos → 12 mesas; 8 alumnos → 9 mesas; 9 alumnos → 8 mesas; 12 alumnos → 6 mesas.
    4. La más barata es la de 12 alumnos por mesa: 6 mesas · 5 = 30 €.
    5. Con pocos alumnos por mesa (4 por mesa, 18 mesas) las partidas son más rápidas y todos juegan más, aunque se alquilan más mesas (90 €).

16. Solución del ejercicio 16

    1. mcm(15, 20) = 60 segundos.
    2. Coinciden a los 0, 1, 2, …, 10 minutos: 11 veces.
    3. Por tercera vez: a los 2 minutos: 18:02:00 (contando la inicial como la primera).
    4. mcm(15, 20, 25) = 300 segundos = 5 minutos.
    5. 600 : 15 = 40 veces más la inicial: 41 veces.

17. Solución del ejercicio 17

    1. 240 cm por 180 cm.
    2. Divisores comunes de 240 y 180: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 cm.
    3. Lado 60 cm: 4 · 3 = 12 azulejos.
    4. (240 : 20) · (180 : 20) = 12 · 9 = 108 azulejos; 108 · 0,85 = 91,80 €.
    5. Se colocan menos piezas, hay menos juntas y se tarda menos; pero son piezas más grandes y pesadas.

18. Solución del ejercicio 18

    1. mcd(60, 90, 150) = 30 ramos.
    2. Rojos: 60 : 30 = 2; azules: 90 : 30 = 3; verdes: 150 : 30 = 5.
    3. Con 10 ramos: 6 rojos, 9 azules y 15 verdes, es decir, 30 globos por ramo.
    4. Los divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

19. Solución del ejercicio 19

    1. Ana: 6, 12, 18, 24, 30, 36; Luis: 8, 16, 24, 32; Rosa: 9, 18, 27, 36.
    2. Ana y Luis en el km 24; Ana y Rosa en el 18 y el 36; los tres solo en el 72, fuera de la etapa.
    3. Ana 6 paradas, Luis 4 y Rosa 4.
    4. mcm(6, 8, 9) = 72 km.
    5. Coinciden Ana y Rosa en el 36 porque 36 es múltiplo de 6 y de 9, pero Luis no, porque 36 no es múltiplo de 8.

20. Solución del ejercicio 20

    1. 6: 1 + 2 + 3 = 6. 28: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Son números perfectos.
    2. 220: 284; 284: 220. Son números amigos.
    3. 12: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12. 8: 1 + 2 + 4 = 7 < 8.
    4. Un cuadrado de un primo: 25 (1, 5, 25), 49 (1, 7, 49).