¿Cuánto suman los ángulos de un triángulo?

Los tres ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180°.

¿Qué diferencia hay entre ángulos complementarios y suplementarios?

Los complementarios suman 90° y los suplementarios suman 180°.

¿Cómo sé si con tres longitudes puedo construir un triángulo?

Cada lado debe ser menor que la suma de los otros dos (desigualdad triangular).

¿Qué es la bisectriz de un ángulo?

Es la semirrecta que parte del vértice y divide el ángulo en dos ángulos iguales.

Apuntes de rectas, ángulos y triángulos 1º ESO para descargar en PDF

Estos apuntes de rectas, ángulos y triángulos de 1º ESO están pensados para alumnos de 12-13 años y siguen el currículo oficial. En resumen, trabajan lo siguiente: Rectas, ángulos, triángulos y sus propiedades. Antes de empezar, conviene repasar ecuaciones de primer grado y sistema métrico decimal y unidades, porque estos apuntes se apoyan en ese tema.

Apuntes de rectas, ángulos y triángulos 1º ESO: lo que vas a aprender

La geometría empieza con puntos, rectas y ángulos. Con ellos se construyen los triángulos, las figuras más sencillas y más usadas.

Actividad de introducción: el tejado y la escalera

Un albañil de un pueblo de Cuenca quiere reparar un tejado. Apoya una escalera en la pared formando un ángulo con el suelo: si la escalera está muy inclinada, es peligroso; si el ángulo es el adecuado, es seguro. El tejado tiene forma triangular y los carpinteros necesitan saber cuánto miden los ángulos de las vigas para cortarlas con precisión. Y en el reloj de la plaza, las agujas forman ángulos distintos a cada hora. En este tema aprenderás a clasificar y medir ángulos, a conocer las posiciones de las rectas y a calcular elementos de un triángulo.

Puntos, rectas y segmentos

Definición: recta, semirrecta y segmento

Una recta es una línea sin principio ni fin determinada por dos puntos. Una semirrecta tiene un origen y no tiene final. Un segmento es la parte de recta entre dos puntos. Dos rectas en el plano son paralelas si no se cortan y secantes si se cortan en un punto; si forman ángulo recto son perpendiculares.

Ángulos

Definición: ángulo

Un ángulo es la región del plano limitada por dos semirrectas con el mismo origen (vértice). Se mide en grados. Es agudo si mide menos de \(90^\circ\), recto si mide \(90^\circ\), obtuso entre \(90^\circ\) y \(180^\circ\), llano si mide \(180^\circ\) y completo si mide \(360^\circ\).

Propiedad

Dos ángulos son complementarios si suman \(90^\circ\) y suplementarios si suman \(180^\circ\). Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

El sistema sexagesimal

Regla: ángulos en grados, minutos y segundos

\(1^\circ=60'\) (minutos) y \(1'=60''\) (segundos). Para sumar ángulos se suman por separado grados, minutos y segundos y se pasan los excesos de 60 a la unidad superior.

Ejemplo 1

Calcula \(35^\circ40'+27^\circ35'\).

Grados: \(35+27=62\). Minutos: \(40+35=75\). Como \(75'=1^\circ15'\), el resultado es \(63^\circ15'\).

Ángulos entre paralelas y una secante

Propiedad

Cuando una secante corta a dos paralelas aparecen ángulos iguales: los correspondientes, los alternos internos y los alternos externos. Los ángulos internos del mismo lado suman \(180^\circ\).

Triángulos

Definición: triángulo

Un triángulo es un polígono de tres lados. Por sus lados es equilátero (tres iguales), isósceles (dos iguales) o escaleno (ninguno igual). Por sus ángulos es acutángulo, rectángulo (un ángulo de \(90^\circ\)) u obtusángulo.

Teorema

Los tres ángulos de un triángulo suman siempre \(180^\circ\). Además, cada lado es menor que la suma de los otros dos (desigualdad triangular).

Ejemplo 2

Un triángulo tiene ángulos de \(50^\circ\) y \(65^\circ\). ¿Cuánto mide el tercero?

\(180-50-65=65^\circ\). Como dos ángulos son iguales, es isósceles y acutángulo.

Ejemplo 3

¿Existe un triángulo de lados 3, 4 y 8 cm?

No: \(3+4=7<8\), no cumple la desigualdad triangular.

Ejemplo 4

En un triángulo isósceles el ángulo desigual mide \(40^\circ\). ¿Cuánto miden los otros dos?

Suman \(180-40=140^\circ\) y son iguales: \(70^\circ\) cada uno.

¡Atención!

Los ángulos se suman en base 60, no en base 10: \(40'+35'\) no es \(75^\circ\). Y un triángulo no puede tener dos ángulos rectos u obtusos.

Ángulos entre rectas y propiedades del triángulo

Regla: ángulos entre paralelas

Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante, los ángulos correspondientes son iguales, los alternos internos son iguales y los alternos externos son iguales. Los ángulos opuestos por el vértice también son iguales y los ángulos adyacentes son suplementarios (suman 180°).

Ejemplo 6

Dos paralelas son cortadas por una secante y uno de los ángulos mide 70°. ¿Cuánto mide su ángulo adyacente y el alterno interno?

El adyacente es suplementario: 180° − 70° = 110°. El alterno interno es igual: 70°.

Regla: desigualdad triangular y Pitágoras

En todo triángulo, cada lado es menor que la suma de los otros dos. Si el triángulo es rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: \(a^2=b^2+c^2\). Por ejemplo, un triángulo de catetos 3 y 4 tiene hipotenusa 5.

Ejemplo 7

Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 5 y 12.

h² = 25 + 144 = 169, luego h = 13. Es una terna pitagórica.

Clasificación de triángulos y operaciones con ángulos

Propiedad: clasificar un triángulo

Según sus lados, un triángulo es equilátero (tres lados iguales), isósceles (dos lados iguales) o escaleno (tres lados distintos). Según sus ángulos, es acutángulo (tres ángulos agudos), rectángulo (un ángulo recto) u obtusángulo (un ángulo obtuso). Un triángulo no puede tener más de un ángulo recto u obtuso.

Ejemplo 8

Resta 90° − 34° 20' 15''.

Convertimos: 90° = 89° 59' 60''. Entonces 89° 59' 60'' − 34° 20' 15'' = 55° 39' 45''. Comprobación: 55° 39' 45'' + 34° 20' 15'' = 89° 59' 60'' = 90°.

Ejemplo 9

Un triángulo tiene ángulos x, 2x y 3x. Calcula cada ángulo.

La suma es 180°: x + 2x + 3x = 6x = 180°, luego x = 30°. Los ángulos miden 30°, 60° y 90°: es un triángulo rectángulo.

Método: calcular un ángulo desconocido

Identifica qué relación liga el ángulo con los datos: suma de 180° en el triángulo, 90° en un recto, 180° en dos adyacentes, igualdad entre paralelas.
Plantea una ecuación con la incógnita.
Resuelve y comprueba que el resultado es razonable.

¡Atención! Errores frecuentes

Pensar que los ángulos adyacentes son iguales: suman 180°.
Sumar grados y minutos sin reagrupar: 25° 40' + 18° 35' es 44° 15', no 43° 75'.
Olvidar la desigualdad triangular al construir triángulos.
Aplicar Pitágoras a triángulos que no son rectángulos.

¿Sabías que…?

El sistema sexagesimal que usamos para los ángulos y las horas viene de los antiguos babilonios, que contaban de 60 en 60 hace más de 4 000 años. Es muy cómodo porque 60 tiene muchos divisores: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 y 30. Por eso una hora tiene 60 minutos y una circunferencia completa se divide en 360 grados.

Rectas y puntos notables del triángulo

En todo triángulo se pueden trazar cuatro tipos de rectas especiales: mediatrices, bisectrices, alturas y medianas. Cada tipo se corta en un único punto, llamado punto notable. Estos puntos tienen aplicaciones muy prácticas, por ejemplo para encontrar el lugar que está a la misma distancia de tres pueblos o el punto de equilibrio de una pieza triangular.

Definición: rectas notables de un triángulo

La mediatriz de un lado es la perpendicular que pasa por su punto medio; las tres se cortan en el circuncentro, centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices. La bisectriz de un ángulo lo divide en dos ángulos iguales; las tres se cortan en el incentro, centro de la circunferencia que toca los tres lados. La altura es la perpendicular desde un vértice al lado opuesto; las tres se cortan en el ortocentro. La mediana une un vértice con el punto medio del lado opuesto; las tres se cortan en el baricentro, el centro de gravedad.

Ejemplo 10

Tres pueblos, A, B y C, quieren construir un depósito de agua que esté a la misma distancia de los tres. ¿Dónde deben colocarlo?

Los puntos que están a igual distancia de A y de B forman la mediatriz del segmento AB. Del mismo modo, los puntos a igual distancia de B y C forman la mediatriz de BC. El punto donde se cortan ambas mediatrices está a la misma distancia de A, de B y de C: es el circuncentro del triángulo ABC. Allí deben construir el depósito. Si se traza la circunferencia con centro en ese punto y radio hasta A, pasará también por B y por C.

Ejemplo 11

En un triángulo, el ángulo exterior en el vértice C mide 125° y el ángulo interior en A mide 70°. Calcula los ángulos interiores en B y en C.

El ángulo interior en C y su exterior forman un ángulo llano: \(\hat C=180^\circ-125^\circ=55^\circ\). Como los tres ángulos suman 180°, \(\hat B=180^\circ-70^\circ-55^\circ=55^\circ\). Observa que el ángulo exterior en C, 125°, es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes: \(70^\circ+55^\circ=125^\circ\). Esto se cumple en todos los triángulos.

¡Atención! La altura puede quedar fuera del triángulo

En un triángulo obtusángulo, dos de las alturas caen fuera del triángulo: hay que prolongar el lado opuesto para trazar la perpendicular. Por eso su ortocentro también está fuera. En un triángulo rectángulo, dos alturas coinciden con los catetos y el ortocentro es el vértice del ángulo recto.

El consejo de Otto

Haz un dibujo siempre, aunque sea a mano alzada, y escribe sobre él los datos. Si hay paralelas, busca los ángulos iguales con la letra Z (alternos) o F (correspondientes).

Cómo usar los apuntes de rectas, ángulos y triángulos de 1º ESO

Primero, lee lo esencial para saber de qué trata el tema. Después, trabaja cada definición y cada ejemplo, y tapa la solución antes de leerla. A continuación, practica con los ejercicios de rectas, ángulos y triángulos y comprueba cada uno con las soluciones. Cuando te sientas preparado, ponte a prueba con el test o el quiz. Finalmente, haz el examen de rectas, ángulos y triángulos y corrígelo con las soluciones del examen.

Además, el cálculo mental sirve como calentamiento, así que repasas lo esencial cada día. Además, todas las páginas de este tema están conectadas, así que puedes pasar de una a otra cuando quieras. Por ejemplo, muchos alumnos leen los apuntes el lunes, practican el miércoles y se ponen a prueba el viernes. En definitiva, estos apuntes de rectas, ángulos y triángulos de 1º ESO reúnen todo lo necesario para el tema.