Estos apuntes de números enteros de 1º ESO están pensados para alumnos de 12-13 años y siguen el currículo oficial. En resumen, trabajan lo siguiente: Operaciones y jerarquía con números enteros. Antes de empezar, conviene repasar números naturales y operaciones y divisibilidad, porque estos apuntes se apoyan en ese tema.
Apuntes de números enteros 1º ESO: lo que vas a aprender
Los números enteros incluyen los negativos y permiten expresar deudas, temperaturas bajo cero o alturas bajo el nivel del mar.
Actividad de introducción: el termómetro de la montaña
Esta mañana, en la sierra de Gredos, el termómetro marca −3 °C. Durante el día sube 8 grados, pero por la noche baja 10. ¿Qué temperatura habrá al final? Para saberlo calculas −3 + 8 − 10 = −5 °C. En otra escena, Pablo debe 12 € a su hermana y recibe 20 € de paga; su dinero real es −12 + 20 = 8 €. Estos números con signo, que usamos para temperaturas, deudas, plantas de un edificio o años antes de Cristo, son los números enteros. En este tema aprenderás a ordenarlos y a operar con ellos.
Qué son los números enteros
Definición: número entero
Los enteros \(\mathbb{Z}\) son los naturales, sus opuestos negativos y el cero: \(\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\). En la recta numérica, de dos enteros es mayor el que está más a la derecha.
Observación
Cualquier negativo es menor que cualquier positivo, y entre dos negativos es mayor el que está más cerca del cero: \(-2>-7\).
Valor absoluto y opuesto
Definición: valor absoluto
El valor absoluto de \(a\), escrito \(|a|\), es su distancia al cero: \(|-5|=5\) y \(|5|=5\). El opuesto de \(a\) es \(-a\) y cumple \(a+(-a)=0\).
Suma y resta de enteros
Regla: suma y resta
Si los signos son iguales, se suman los valores absolutos y se deja el signo común. Si son distintos, se restan los valores absolutos (el mayor menos el menor) y se deja el signo del de mayor valor absoluto. Restar es sumar el opuesto: \(a-b=a+(-b)\).
Ejemplo 1
Calcula \((-8)+5-(-4)-9\).
Restar \(-4\) es sumar 4: \(-8+5+4-9\). Primero \(-8+5=-3\), luego \(-3+4=1\) y \(1-9=-8\).
Multiplicación y división de enteros
Regla de los signos
Regla de los signos: \((+)\cdot(+)=+\), \((-)\cdot(-)=+\), \((+)\cdot(-)=-\), \((-)\cdot(+)=-\). Para dividir se aplican las mismas reglas.Ejemplo 2
Calcula \((-6)\cdot(-3)\) y \((-24):(+8)\).
Signos iguales: \((-6)\cdot(-3)=18\). Signos distintos: \((-24):8=-3\).
Potencias de números enteros
Propiedad
Una potencia de base negativa es positiva si el exponente es par y negativa si es impar: \((-2)^4=16\) y \((-2)^3=-8\).
¡Atención!
\((-3)^2=9\), pero \(-3^2=-9\): sin paréntesis el exponente solo afecta al 3.
Operaciones combinadas
Método: resolver una operación combinada
- Quita los paréntesis de dentro hacia fuera.
- Calcula las potencias.
- Haz productos y divisiones de izquierda a derecha.
- Termina con sumas y restas.
Ejemplo 3
Calcula \(5-(-3)^2\cdot2+12:(-4)\).
Potencia: \((-3)^2=9\). Producto: \(9\cdot2=18\). División: \(12:(-4)=-3\). Queda \(5-18+(-3)=5-18-3=-16\).
Los enteros en la vida cotidiana
Ejemplo 4
A las 7:00 la temperatura era de \(-4\) °C. A mediodía subió 11 grados y por la noche bajó 9. ¿Qué temperatura hay por la noche?
\(-4+11=7\) a mediodía y \(7-9=-2\). Por la noche hay \(-2\) °C.
Observación
Un saldo negativo es una deuda, el sótano de un edificio es una planta negativa y el nivel del mar es el 0 de las altitudes.
¡Atención!
Dos signos seguidos se separan con paréntesis: \(3+-2\) se escribe \(3+(-2)\). Y \(-(-5)=+5\), no \(-5\).
Cómo sumar y restar con la recta
Método: sumar y restar enteros
- Si los dos números tienen el mismo signo, se suman los valores absolutos y se pone el mismo signo: −5 + (−3) = −8.
- Si tienen distinto signo, se restan los valores absolutos y se pone el signo del mayor: −9 + 4 = −5.
- Restar es sumar el opuesto: 6 − (−2) = 6 + 2 = 8.
- Comprueba el resultado situándote en la recta numérica.
Ejemplo 8
Calcula −7 + 12 − (−5) − 9.
Restar −5 es sumar 5: −7 + 12 + 5 − 9. De izquierda a derecha: 5, 10, 1. Resultado: 1.
Ejemplo 9
Calcula (−3)·(−4) + 6 : (−2).
Primero productos y cocientes: (−3)·(−4) = 12 y 6 : (−2) = −3. Después, 12 + (−3) = 9.
Regla de los signos para producto y cociente
Si los dos números tienen el mismo signo, el resultado es positivo; si tienen distinto signo, el resultado es negativo. Así: (+)·(+) = +, (−)·(−) = +, (+)·(−) = −, (−)·(+) = −. Lo mismo ocurre al dividir.
Ejemplo 10
En una cuenta bancaria hay 85 €. Se pagan dos recibos de 40 € y se ingresan 30 €. ¿Cuál es el saldo?
85 − 40 − 40 + 30 = 35 €. Si en vez de 30 € se ingresaran 5 €, el saldo sería 85 − 80 + 5 = 10 €. Si se pagara un tercer recibo de 40 €, el saldo sería −5 €: un saldo negativo significa deuda.
Ejemplo 11
Una buceadora está a −15 m, sube 6 m y baja 9 m. ¿A qué profundidad queda? ¿Cuántos metros la separan de la superficie?
−15 + 6 − 9 = −18 m. La superficie es 0, así que la separan |−18| = 18 metros.
Propiedad: valor absoluto y opuesto
El valor absoluto de un entero es su distancia al 0 en la recta: |−7| = 7 y |7| = 7. El opuesto de un entero es el que está a la misma distancia del 0 al otro lado: el opuesto de 5 es −5, y el opuesto de −3 es 3. La suma de un número y su opuesto es siempre 0.
¡Atención! Errores frecuentes
- Confundir −3² con (−3)²: el primero vale −9 y el segundo, 9.
- Olvidar que restar un negativo es sumar: 5 − (−2) = 7.
- Pensar que −10 es mayor que −2 porque 10 es mayor que 2: en realidad −10 < −2.
- Aplicar la regla de los signos de la multiplicación a la suma: −3 + (−4) = −7, no +7.
¿Sabías que…?
Los números negativos aparecieron en la India hace unos 1 400 años, donde se usaban para representar deudas. En Europa tardaron mucho en aceptarse: hasta el siglo XVII muchos matemáticos los llamaban «números absurdos». Hoy los vemos a diario en los termómetros, en los ascensores con sótanos y en las cuentas del banco.
Problemas con números enteros: variaciones y diferencias
Los números enteros sirven para describir situaciones en las que una cantidad puede estar por encima o por debajo de una referencia: el nivel del mar, los 0 °C, la planta baja de un edificio o el saldo cero de una cuenta. En los problemas aparecen dos tipos de preguntas: calcular dónde se llega después de una serie de cambios, y calcular la distancia o diferencia entre dos valores.
Método: calcular una variación
- Identifica el valor inicial y el valor final.
- Calcula la variación como valor final − valor inicial.
- Si el resultado es positivo, la cantidad ha aumentado; si es negativo, ha disminuido.
- Para la distancia entre dos valores, toma el valor absoluto de la diferencia: la distancia nunca es negativa.
Ejemplo 12
A las 7:00 el termómetro de Burgos marcaba −5 °C y a las 15:00 marcaba 9 °C. ¿Cuánto ha variado la temperatura?
Valor final menos valor inicial: \(9-(-5)=9+5=14\). La temperatura ha subido 14 °C. Si lo comprobamos en la recta numérica, de −5 a 0 hay 5 grados y de 0 a 9 hay 9 grados, en total 14 grados. Si por la noche vuelve a −2 °C, la variación es \(-2-9=-11\): ha bajado 11 °C.
Ejemplo 13
Arquímedes nació en el año 287 a. C. y murió en el 212 a. C. ¿Cuántos años vivió?
Los años antes de Cristo se pueden escribir como números negativos: nació en −287 y murió en −212. Su edad es la diferencia \(-212-(-287)=-212+287=75\) años. Observa que, en los años antes de Cristo, el número más grande corresponde a la fecha más antigua.
Observación: sumar muchos enteros a la vez
Cuando hay que sumar una lista larga de números positivos y negativos, como los ingresos y gastos de un mes, es cómodo sumar por separado todos los positivos y todos los negativos y, al final, restar. Por ejemplo, \(+120-45+60-90=(120+60)-(45+90)=180-135=45\). Así se cometen menos errores de signo.
¡Atención! Orden de los números negativos
Entre dos números negativos es mayor el que está más cerca del cero: \(-2>-7\), porque −2 °C es una temperatura más alta que −7 °C. No te dejes engañar por el 7, que es mayor que el 2: con el signo menos, el orden se invierte.
¿Sabías que…? Los números negativos tardaron en aceptarse
Los matemáticos chinos ya usaban varillas rojas para los números positivos y negras para los negativos hace más de 2 000 años, y en la India se interpretaban como deudas. Sin embargo, en Europa muchos matemáticos los llamaron «números absurdos» hasta el siglo XVII. Hoy los usamos a diario en el ascensor, en el banco o en el parte del tiempo.
El consejo de Otto
Para sumar enteros imagina dinero: un número positivo es lo que tienes y un negativo lo que debes. Si debes 8 € y recibes 5 €, aún debes 3 €: \(-8+5=-3\).
Cómo usar los apuntes de números enteros de 1º ESO
Primero, lee lo esencial para saber de qué trata el tema. Después, trabaja cada definición y cada ejemplo, y tapa la solución antes de leerla. A continuación, practica con los ejercicios de números enteros y comprueba cada uno con las soluciones. Cuando te sientas preparado, ponte a prueba con el test o el quiz. Finalmente, haz el examen de números enteros y corrígelo con las soluciones del examen.
Además, el cálculo mental sirve como calentamiento, así que repasas lo esencial cada día. Además, todas las páginas de este tema están conectadas, así que puedes pasar de una a otra cuando quieras. Por ejemplo, muchos alumnos leen los apuntes el lunes, practican el miércoles y se ponen a prueba el viernes. En definitiva, estos apuntes de números enteros de 1º ESO reúnen todo lo necesario para el tema.
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