Estos apuntes de polígonos y circunferencia de 1º ESO están pensados para alumnos de 12-13 años y siguen el currículo oficial. En resumen, trabajan lo siguiente: Cuadriláteros, polígonos regulares y círculo. Antes de empezar, conviene repasar sistema métrico decimal y unidades y rectas, ángulos y triángulos, porque estos apuntes se apoyan en ese tema.
Apuntes de polígonos y circunferencia 1º ESO: lo que vas a aprender
Los polígonos y la circunferencia son las figuras planas básicas. Aprenderás a clasificarlas y a reconocer sus elementos y propiedades.
Actividad de introducción: formas a nuestro alrededor
Mira a tu alrededor: la señal de stop es un octógono, el panal de las abejas está formado por hexágonos, una pizza es un círculo y la pantalla de tu móvil es un rectángulo. Cada figura tiene propiedades distintas: sus lados, sus ángulos, sus diagonales. Con una rueda de bicicleta sabes que cuanto más grande es, más largo es el camino que recorre en una vuelta. Con una caja de baldosas hexagonales puedes cubrir un suelo sin dejar huecos. En este tema vas a clasificar polígonos, calcular ángulos y estudiar la circunferencia y el círculo.
Polígonos
Definición: polígono
Un polígono es una figura plana cerrada limitada por segmentos llamados lados. Los puntos donde se unen son los vértices. Una diagonal une dos vértices no consecutivos. Según el número de lados se llaman triángulo (3), cuadrilátero (4), pentágono (5), hexágono (6), heptágono (7), octógono (8)...
Definición: polígono regular
Un polígono es regular si tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales. Su apotema es la distancia del centro al punto medio de un lado.
Propiedad
La suma de los ángulos interiores de un polígono de \(n\) lados es \((n-2)\cdot180^\circ\). Un polígono es convexo si todos sus ángulos miden menos de \(180^\circ\).
Ejemplo 1
¿Cuánto mide cada ángulo interior de un hexágono regular?
Suma: \((6-2)\cdot180=720^\circ\). Cada ángulo: \(720:6=120^\circ\).
Cuadriláteros
Definición: paralelogramo
Un cuadrilátero es un paralelogramo si tiene los lados opuestos paralelos: el cuadrado, el rectángulo, el rombo y el romboide. Un trapecio tiene solo un par de lados paralelos y un trapezoide ninguno.
Propiedades de los paralelogramos
En un paralelogramo los lados opuestos son iguales, los ángulos opuestos son iguales y las diagonales se cortan en su punto medio. En el rectángulo las diagonales son iguales y en el rombo son perpendiculares.
Ejemplo 2
En un paralelogramo un ángulo mide \(70^\circ\). ¿Cuánto miden los otros tres?
El opuesto también mide \(70^\circ\). Los consecutivos son suplementarios: \(180-70=110^\circ\) cada uno.
Circunferencia y círculo
Definición: circunferencia y círculo
La circunferencia es el conjunto de puntos que están a la misma distancia (radio) de un punto llamado centro. El círculo es la región interior. El diámetro es una cuerda que pasa por el centro y mide \(d=2r\). Una cuerda une dos puntos de la circunferencia.
Propiedad
Una recta respecto a una circunferencia puede ser secante (la corta en dos puntos), tangente (en un punto) o exterior. La tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia.
Ejemplo 3
Una circunferencia tiene diámetro 14 cm. ¿Cuánto mide su radio y cuánto su longitud?
\(r=7\) cm. Longitud \(L=2\pi r=2\pi\cdot7\approx43{,}98\) cm.
Ejemplo 4
¿Cuántas diagonales tiene un octógono?
De cada vértice salen \(8-3=5\). Hay \(\dfrac{8\cdot5}{2}=20\) diagonales.
¡Atención!
Un rombo no es un cuadrado: tiene los lados iguales pero sus ángulos pueden no ser rectos. El diámetro no es el radio: \(d=2r\).
Ángulos y diagonales de un polígono
Regla: suma de ángulos
Un polígono de n lados se puede dividir en n − 2 triángulos trazando diagonales desde un vértice, así que la suma de sus ángulos interiores es \((n-2)\cdot180^\circ\). En un polígono regular, cada ángulo mide esa suma dividida entre n. Los ángulos exteriores de cualquier polígono suman 360°.
Ejemplo 5
Calcula el ángulo interior de un decágono regular.
Suma = (10 − 2) · 180° = 1 440°. Cada ángulo mide 1 440° : 10 = 144°.
Ejemplo 6
¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 9 lados?
Número de diagonales = n(n − 3) : 2 = 9 · 6 : 2 = 27 diagonales.
Método: perímetro y área de un polígono regular
- Calcula el perímetro P multiplicando el lado por el número de lados.
- Identifica la apotema a, que es la distancia del centro al punto medio de un lado.
- Aplica la fórmula del área \(A=\dfrac{P\cdot a}{2}\).
- Comprueba las unidades: cm² o m².
Ejemplo 7
Un pentágono regular tiene lado 6 cm y apotema 4,1 cm. Calcula su área.
P = 5 · 6 = 30 cm. A = 30 · 4,1 : 2 = 61,5 cm².
Cuadriláteros y circunferencia en problemas
Regla: clasificación de los cuadriláteros
Los paralelogramos tienen los lados opuestos paralelos: cuadrado, rectángulo, rombo y romboide. Los trapecios tienen solo un par de lados paralelos. Los trapezoides no tienen lados paralelos. Los ángulos de cualquier cuadrilátero suman 360°, y los lados opuestos de un paralelogramo son iguales entre sí.
Ejemplo 8
Una rueda de una bicicleta tiene 70 cm de diámetro. ¿Qué distancia recorre la bicicleta cuando la rueda da 100 vueltas? (π = 3,14)
En una vuelta recorre la longitud de la circunferencia: L = 3,14 · 70 = 219,8 cm. En 100 vueltas: 21 980 cm = 219,8 m.
Propiedad: relación entre elementos de la circunferencia
El diámetro es la cuerda más larga y mide el doble que el radio. La recta tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia. La longitud de la circunferencia es 2πr y el área del círculo es πr². Una cuerda divide al círculo en dos segmentos; si pasa por el centro, es un diámetro y los divide en dos semicírculos iguales.
¡Atención! Errores frecuentes
- Confundir circunferencia (la línea) con círculo (la superficie interior).
- Usar el diámetro en lugar del radio en la fórmula del área.
- Pensar que un polígono con todos los lados iguales es regular: el rombo tiene los lados iguales pero no los ángulos.
- Calcular la suma de los ángulos con n · 180° en vez de (n − 2) · 180°.
¿Sabías que…?
Las abejas construyen sus panales con hexágonos porque es el polígono regular que mejor aprovecha el espacio y la cera: cubre una superficie sin huecos y con el menor perímetro posible. El matemático griego Euclides estudió los polígonos y los círculos hace unos 2 300 años en su libro «Los Elementos», que ha sido uno de los libros de texto más usados de la historia.
Ángulos en la circunferencia y polígonos regulares
Los polígonos regulares y la circunferencia están muy relacionados: todo polígono regular se puede inscribir en una circunferencia, es decir, dibujar dentro de ella de forma que todos sus vértices estén sobre la circunferencia. Esta relación permite calcular sus ángulos de forma muy sencilla a partir de la vuelta completa, que mide 360°.
Definición: ángulo central
Un ángulo central es el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia. En un polígono regular de \(n\) lados inscrito en una circunferencia, el ángulo central que abarca cada lado mide \(\dfrac{360^\circ}{n}\). El ángulo exterior del polígono, el que forma un lado con la prolongación del lado contiguo, mide lo mismo.
Propiedad: ángulo interior y ángulo exterior
En cada vértice, el ángulo interior y el ángulo exterior suman 180°, porque juntos forman un ángulo llano. Por eso, en un polígono regular de \(n\) lados, el ángulo interior mide \(180^\circ-\dfrac{360^\circ}{n}\). Para el hexágono: \(180^\circ-60^\circ=120^\circ\), el mismo resultado que con la fórmula \((n-2)\cdot180^\circ:n\).
Ejemplo 9
Dibuja un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.
El ángulo central mide \(360^\circ:5=72^\circ\). Trazamos la circunferencia con el compás y un radio cualquiera. Con el transportador, colocado en el centro, marcamos un ángulo de 72° a partir de ese radio, y repetimos cuatro veces hasta completar la vuelta. Los cinco puntos en los que los radios cortan a la circunferencia son los vértices. Al unirlos con la regla obtenemos el pentágono regular, cuyos ángulos interiores miden \(180^\circ-72^\circ=108^\circ\).
Ejemplo 10
¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo interior mide 140°?
El ángulo exterior mide \(180^\circ-140^\circ=40^\circ\). Como los ángulos exteriores de cualquier polígono suman 360°, el número de lados es \(360:40=9\). Es un eneágono regular. Comprobación: \((9-2)\cdot180^\circ:9=1\,260^\circ:9=140^\circ\).
¡Atención! Radio y apotema no son lo mismo
El radio de un polígono regular va del centro a un vértice; la apotema va del centro al punto medio de un lado y es perpendicular a él. La apotema siempre es más corta que el radio. En el área \(A=\dfrac{P\cdot a}{2}\) se usa la apotema, nunca el radio.
¿Sabías que…? Los polígonos de la Alhambra
Los artesanos que decoraron la Alhambra de Granada cubrieron paredes enteras con mosaicos formados por polígonos regulares y estrellas. Combinando triángulos, cuadrados, hexágonos y octógonos lograron diseños que se repiten sin dejar huecos. Siglos después, el artista Escher visitó la Alhambra y se inspiró en ellos para sus famosos teselados.
El consejo de Otto
Para clasificar un cuadrilátero, hazte tres preguntas: ¿tiene lados paralelos?, ¿sus lados son iguales?, ¿sus ángulos son rectos? Con las respuestas sabrás qué figura es.
Cómo usar los apuntes de polígonos y circunferencia de 1º ESO
Primero, lee lo esencial para saber de qué trata el tema. Después, trabaja cada definición y cada ejemplo, y tapa la solución antes de leerla. A continuación, practica con los ejercicios de polígonos y circunferencia y comprueba cada uno con las soluciones. Cuando te sientas preparado, ponte a prueba con el test o el quiz. Finalmente, haz el examen de polígonos y circunferencia y corrígelo con las soluciones del examen.
Además, el cálculo mental sirve como calentamiento, así que repasas lo esencial cada día. Además, todas las páginas de este tema están conectadas, así que puedes pasar de una a otra cuando quieras. Por ejemplo, muchos alumnos leen los apuntes el lunes, practican el miércoles y se ponen a prueba el viernes. En definitiva, estos apuntes de polígonos y circunferencia de 1º ESO reúnen todo lo necesario para el tema.
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