¿Qué es la jerarquía de las operaciones?

Es el orden en que se hacen las operaciones: primero paréntesis, luego potencias y raíces, después multiplicaciones y divisiones y por último sumas y restas.

¿Cuánto vale un número elevado a 0?

Cualquier número distinto de cero elevado a 0 vale 1. Por ejemplo, 7^0 = 1.

¿Cómo se comprueba una división entera?

Con la prueba de la división: divisor × cociente + resto debe ser igual al dividendo.

¿Qué es la raíz entera de un número?

Es el mayor número natural cuyo cuadrado no supera al número. La raíz entera de 70 es 8, con resto 6.

Apuntes de números naturales y operaciones 1º ESO para descargar en PDF

Estos apuntes de números naturales y operaciones de 1º ESO están pensados para alumnos de 12-13 años y siguen el currículo oficial. En resumen, trabajan lo siguiente: Operaciones combinadas, potencias y raíz cuadrada con números naturales. Antes de empezar, si lo necesitas, puedes repasar Matemáticas 6º Primaria.

Apuntes de números naturales y operaciones 1º ESO: lo que vas a aprender

Los números naturales sirven para contar y ordenar. En este tema repasas las cuatro operaciones, aprendes a calcular potencias y raíces cuadradas y descubres en qué orden hay que hacer los cálculos.

Actividad de introducción: la gran compra

Un lunes, el colegio de Sofía recibe 24 cajas con 36 cuadernos cada una para repartirlas entre 18 clases. ¿Cuántos cuadernos hay en total? ¿Cuántos corresponden a cada clase? ¿Sobra alguno? Para contestar tienes que multiplicar y dividir números grandes y decidir qué operación aplicar. Si además el director pregunta cuánto cuestan los cuadernos a 1 € cada uno, necesitarás sumar, restar y respetar la jerarquía de las operaciones. Este tema repasa todas esas herramientas para trabajar con números naturales con soltura y sin errores.

Los números naturales

Definición: número natural

Los números naturales son \(0, 1, 2, 3, \dots\) y forman el conjunto \(\mathbb{N}\). Se escriben con diez cifras en un sistema posicional decimal: el valor de cada cifra depende del lugar que ocupa (unidades, decenas, centenas, millares...).

Propiedad

Entre dos naturales siempre se puede decidir cuál es mayor. En la recta numérica, el mayor está más a la derecha. Cada natural tiene un siguiente (\(n+1\)), así que no existe el mayor de todos.

Las cuatro operaciones

Propiedades

La suma y el producto cumplen la propiedad conmutativa (\(a+b=b+a\), \(a\cdot b=b\cdot a\)), la asociativa y la distributiva: \(a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c\). La resta y la división no son conmutativas.

Definición: división entera

Dividir \(D\) entre \(d\) es hallar el cociente \(c\) y el resto \(r\) que cumplen \(D=d\cdot c+r\) con \(0\le r\lt d\). La división es exacta si \(r=0\).

Ejemplo 1

Divide 487 entre 12 y comprueba el resultado.

\(487:12\) da cociente 40 y resto 7, porque \(12\cdot40=480\) y \(487-480=7\). Comprobación: \(12\cdot40+7=487\). Se cumple \(r<12\).

¡Atención!

No se puede dividir entre 0. Además, una resta como \(5-8\) no tiene resultado en los naturales: de momento solo puedes restar un número menor o igual.

Potencias y raíz cuadrada

Definición: potencia

Una potencia \(a^n\) es un producto de \(n\) factores iguales a \(a\): \(a^n=a\cdot a\cdots a\). El número \(a\) es la base y \(n\) el exponente. Por convenio \(a^1=a\) y \(a^0=1\) (con \(a\ne0\)).

Regla: propiedades de las potencias

Para el mismo número: \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\), \(a^m:a^n=a^{m-n}\) y \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\).

Definición: raíz cuadrada

La raíz cuadrada de un número \(a\) es el número \(b\) que cumple \(b^2=a\). Se escribe \(\sqrt{a}=b\). Si \(a\) es un cuadrado perfecto (1, 4, 9, 16, 25, 36...) la raíz es exacta; si no, se aproxima: \(\sqrt{50}\approx7{,}07\).

Método: calcular una raíz entera aproximada

Busca el cuadrado perfecto más cercano por debajo del número.
Busca el cuadrado perfecto más cercano por encima.
La raíz está entre las dos raíces exactas. Por ejemplo, \(49<53<64\), luego \(7\lt \sqrt{53}<8\).

Jerarquía de las operaciones

Regla: prioridad de las operaciones

Se calcula en este orden: 1.º paréntesis (de dentro hacia fuera), 2.º potencias y raíces, 3.º productos y divisiones (de izquierda a derecha), 4.º sumas y restas (de izquierda a derecha).

Ejemplo 2

Calcula \(3+2\cdot(10-4)^2-18:3\).

Paréntesis: \(10-4=6\). Potencia: \(6^2=36\). Producto y división: \(2\cdot36=72\) y \(18:3=6\). Suma y resta: \(3+72-6=69\).

Ejemplo 3

Un cine tiene 18 filas de 24 butacas. Si hay 395 entradas vendidas, ¿cuántas butacas quedan libres?

Butacas: \(18\cdot24=432\). Libres: \(432-395=37\) butacas.

Estimación y cálculo mental

Método: estimar un resultado

Redondea cada número a la decena o centena más cercana.
Haz la operación con los números redondeados.
Compara con el resultado exacto: tienen que ser parecidos.

Observación

Para multiplicar por 10, 100, 1000 añade ceros. Para multiplicar por 5 puedes multiplicar por 10 y dividir entre 2: \(38\cdot5=380:2=190\).

¡Atención!

\(2+3\cdot4\) vale 14, no 20. Y \(2^3\) es 8, no 6: no es \(2\cdot3\).

Operaciones en problemas de la vida real

Método: resolver un problema con números naturales

Lee el enunciado y subraya los datos numéricos.
Decide las operaciones: si se juntan cantidades, se suma; si se repiten, se multiplica; si se reparte, se divide.
Escribe la expresión completa antes de calcular.
Calcula respetando la jerarquía de las operaciones.
Comprueba con una estimación y escribe la respuesta con unidades.

Ejemplo 6

Un autobús lleva 48 viajeros. En la primera parada bajan 12 y suben 7; en la segunda bajan 15 y suben 20. ¿Cuántos viajeros lleva al final?

48 − 12 + 7 − 15 + 20 = 48. Primero 48 − 12 = 36, luego 36 + 7 = 43, 43 − 15 = 28 y 28 + 20 = 48. Lleva 48 viajeros.

Ejemplo 7

Una caja contiene 24 botes de pintura. Se piden 15 cajas y se reparten entre 9 aulas. ¿Cuántos botes toca a cada aula?

Total: 24 · 15 = 360 botes. Reparto: 360 : 9 = 40 botes por aula, sin resto.

Regla: la prueba de la división

En toda división exacta o entera se cumple dividendo = divisor · cociente + resto, con el resto menor que el divisor. Sirve para comprobar el resultado: si 487 : 12 da cociente 40 y resto 7, entonces 12 · 40 + 7 = 487.

Regla: potencias y raíces

Una potencia es una multiplicación repetida: \(5^3=5\cdot5\cdot5=125\). Todo número elevado a 0 vale 1 y a 1 es él mismo. La raíz cuadrada es la operación inversa: \(\sqrt{81}=9\) porque 9² = 81. Si la raíz no es exacta, se toma la entera por defecto y se calcula el resto.

¡Atención! Errores frecuentes

Hacer las operaciones de izquierda a derecha sin respetar la prioridad: 3 + 4 · 5 es 23, no 35.
Confundir 2³ (que es 8) con 2 · 3 (que es 6).
Olvidar los paréntesis al escribir una expresión: «el doble de la suma de 3 y 4» es 2 · (3 + 4).
No comprobar el resto de una división: debe ser menor que el divisor.

¿Sabías que…?

Nuestro sistema de numeración es decimal y posicional: el valor de cada cifra depende del lugar que ocupa. Lo inventaron los matemáticos de la India hace más de 1 500 años y llegó a Europa a través de los árabes, por eso las cifras 0 a 9 se llaman «cifras arábigas». Los romanos, en cambio, no tenían el cero y era muy difícil multiplicar con sus números.

Propiedades que ayudan a calcular

Las propiedades de las operaciones no son solo reglas para memorizar: son herramientas que permiten calcular más deprisa, sobre todo mentalmente. Un buen calculista reorganiza las operaciones para que los números sean más sencillos antes de empezar a operar.

Propiedad distributiva

Multiplicar un número por una suma es lo mismo que multiplicarlo por cada sumando y sumar los resultados: \(a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c\). También funciona con la resta: \(a\cdot(b-c)=a\cdot b-a\cdot c\). Leída al revés, permite sacar factor común: \(7\cdot13+7\cdot7=7\cdot(13+7)=7\cdot20=140\).

Ejemplo 8

Calcula mentalmente \(25\cdot 36\) y \(99\cdot 14\).

Para el primero, usamos las propiedades asociativa y conmutativa: \(25\cdot36=25\cdot4\cdot9=100\cdot9=900\), porque \(25\cdot4=100\) es muy fácil. Para el segundo usamos la propiedad distributiva con la resta: \(99\cdot14=(100-1)\cdot14=1\,400-14=1\,386\). En los dos casos hemos cambiado una multiplicación difícil por operaciones sencillas.

Ejemplo 9

Una caja tiene 12 filas de 15 bombones. ¿Cuántos bombones hay en 8 cajas?

Primero calculamos los bombones de una caja: \(12\cdot15=180\). Después los de 8 cajas: \(180\cdot8=1\,440\). También podemos escribirlo de una vez como \(8\cdot12\cdot15\) y agrupar como convenga: \(8\cdot15=120\) y \(120\cdot12=1\,440\). La propiedad asociativa garantiza que el resultado es el mismo. Respuesta: hay 1 440 bombones.

¡Atención! La resta y la división no son conmutativas

En la suma y en la multiplicación el orden no importa: \(5+8=8+5\) y \(4\cdot6=6\cdot4\). Pero \(10-4=6\) y \(4-10\) ni siquiera es un número natural, y \(12:3=4\) mientras que \(3:12\) no es exacta. Al reorganizar un cálculo, mueve solo sumandos y factores, nunca el orden de una resta o de una división.

¿Sabías que…? El origen de nuestras cifras

Las cifras que usamos, del 0 al 9, se llaman indoarábigas: se inventaron en la India y llegaron a Europa a través de los matemáticos árabes de Al-Ándalus. Fueron muy importantes los traductores de Toledo en el siglo XII. Antes, en Europa se usaban los números romanos, con los que era muy difícil multiplicar.

Ejemplo 10

Calcula mentalmente \(47+38+53+62\) y \(4\cdot17\cdot25\).

En la suma buscamos parejas que den decenas completas. La propiedad conmutativa permite reordenar: \((47+53)+(38+62)=100+100=200\). En el producto agrupamos los factores que dan un número redondo: \((4\cdot25)\cdot17=100\cdot17=1\,700\). En los dos casos hemos evitado hacer las operaciones en el orden en que aparecen, que habría sido mucho más laborioso.

Observación: la prueba del nueve

Antiguamente se comprobaban las multiplicaciones con la «prueba del nueve», que usa la suma de las cifras. Hoy basta con estimar el resultado o con hacer la operación inversa: si \(238\cdot46=10\,948\), entonces \(10\,948:46\) debe dar exactamente 238.

El consejo de Otto

Antes de calcular, subraya los paréntesis y las potencias. Resuelve cada paso en una línea nueva y no hagas dos cosas a la vez: así no te saltas la prioridad.

Cómo usar los apuntes de números naturales y operaciones de 1º ESO

Primero, lee lo esencial para saber de qué trata el tema. Después, trabaja cada definición y cada ejemplo, y tapa la solución antes de leerla. A continuación, practica con los ejercicios de números naturales y operaciones y comprueba cada uno con las soluciones. Cuando te sientas preparado, ponte a prueba con el test o el quiz. Finalmente, haz el examen de números naturales y operaciones y corrígelo con las soluciones del examen.

Además, el cálculo mental sirve como calentamiento, así que repasas lo esencial cada día. Además, todas las páginas de este tema están conectadas, así que puedes pasar de una a otra cuando quieras. Por ejemplo, muchos alumnos leen los apuntes el lunes, practican el miércoles y se ponen a prueba el viernes. En definitiva, estos apuntes de números naturales y operaciones de 1º ESO reúnen todo lo necesario para el tema.