Estos apuntes de lenguaje algebraico de 1º ESO están pensados para alumnos de 12-13 años y siguen el currículo oficial. En resumen, trabajan lo siguiente: Expresiones algebraicas, valor numérico y monomios. Antes de empezar, conviene repasar números decimales y proporcionalidad y porcentajes, porque estos apuntes se apoyan en ese tema.
Apuntes de lenguaje algebraico 1º ESO: lo que vas a aprender
El álgebra usa letras para representar números desconocidos o que cambian. Con ella se escriben fórmulas y se traducen enunciados a expresiones matemáticas.
Actividad de introducción: el truco del número
Marta propone un juego a sus amigos: «Piensa un número, multiplícalo por 2, suma 10, divide entre 2 y resta el número que pensaste. ¡Te digo el resultado!». Pablo piensa en el 3, Lucía en el 8 y Dani en el 15, y a todos les sale 5. ¿Es magia? No: si el número es x, los pasos son (2x + 10) : 2 − x = x + 5 − x = 5. Con una letra podemos describir lo que ocurre con cualquier número. Eso es el lenguaje algebraico: una forma corta y potente de escribir lo que hacemos con los números.
El lenguaje algebraico
Definición: expresión algebraica
Una expresión algebraica combina números y letras (variables o incógnitas) mediante operaciones: \(3x+5\), \(a\cdot b\), \(2n-1\). Se omite el signo de multiplicar entre número y letra: \(3x\) significa \(3\cdot x\).
Valor numérico
Definición: valor numérico
El valor numérico de una expresión es el número que resulta al sustituir las letras por valores concretos.
Ejemplo 1
Halla el valor numérico de \(2x^2-3x+1\) para \(x=-2\).
\(2\cdot(-2)^2-3\cdot(-2)+1=2\cdot4+6+1=15\).
Monomios
Definición: monomio
Un monomio es el producto de un número, el coeficiente, por una o más letras con exponentes naturales, la parte literal. En \(-5x^2y\), el coeficiente es \(-5\), la parte literal \(x^2y\) y el grado es \(2+1=3\). Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.
Operaciones con monomios
Regla: operar con monomios
Solo se pueden sumar o restar monomios semejantes: se suman los coeficientes y se mantiene la parte literal. El producto de monomios multiplica coeficientes y suma exponentes de la misma letra: \(3x^2\cdot4x^3=12x^5\).
Ejemplo 2
Simplifica \(5x^2-2x^2+3x+4x\).
\(5x^2-2x^2=3x^2\) y \(3x+4x=7x\). Queda \(3x^2+7x\).
Quitar paréntesis y simplificar
Regla: paréntesis
Un signo \(+\) delante del paréntesis no cambia los signos de dentro; un signo \(-\) los cambia todos. Un número delante multiplica cada término: \(3(x-2)=3x-6\).
Ejemplo 3
Simplifica \(4(x+3)-(2x-5)\).
\(4x+12-2x+5=2x+17\).
Cómo traducir un enunciado
Método: traducir un enunciado
- Elige una letra para la cantidad desconocida.
- Expresa las demás cantidades en función de esa letra.
- Escribe la expresión con las operaciones indicadas.
Ejemplo 4
Escribe: «el doble de un número más tres», «el perímetro de un rectángulo de base \(b\) y altura \(h\)».
\(2x+3\) y \(P=2b+2h\). Si un número es \(n\), su consecutivo es \(n+1\) y los impares se escriben \(2n+1\).
Ejemplo 5
Ana tiene \(x\) euros, Luis el triple y Marta 5 menos que Ana. Expresa el dinero total.
Luis: \(3x\). Marta: \(x-5\). Total: \(x+3x+x-5=5x-5\).
¡Atención!
\(3x\) no es \(3+x\), y \(x+x=2x\), no \(x^2\). Tampoco se pueden sumar \(2x\) y \(3x^2\), porque no son semejantes.
Expresiones con varias letras y fórmulas
Regla: fórmulas y letras
Las letras permiten escribir fórmulas generales: el perímetro de un cuadrado es \(P=4l\), el área de un rectángulo es \(A=b\cdot h\) y el espacio recorrido a velocidad constante es \(d=v\cdot t\). Para usar una fórmula se sustituyen las letras por sus valores y se calcula.
Ejemplo 7
Calcula el área de un rectángulo de base 12 cm y altura 7 cm con la fórmula A = b · h.
A = 12 · 7 = 84 cm².
Ejemplo 8
Un fontanero cobra 25 € de desplazamiento y 18 € por hora. Escribe la expresión del importe y calcula 3,5 horas.
Importe = 25 + 18x. Para x = 3,5: 25 + 63 = 88 €.
Ejemplo 9
Simplifica 4(2x − 1) − 3(x + 2).
Se aplica la propiedad distributiva: 8x − 4 − 3x − 6 = 5x − 10.
Producto y cociente de monomios
Regla: multiplicar y dividir monomios
Para multiplicar monomios se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de las letras iguales: \((3x^2)\cdot(4x^3)=12x^5\). Para dividir se dividen los coeficientes y se restan los exponentes: \((12x^5):(4x^2)=3x^3\). El grado del producto es la suma de los grados.
Ejemplo 10
Calcula \((-2ab)\cdot(5a^2b)\) y \((18x^4y):(6x^2)\).
Primer producto: (−2)·5 = −10; a·a² = a³; b·b = b². Resultado: −10a³b². Cociente: 18 : 6 = 3; x⁴ : x² = x²; la y se queda. Resultado: 3x²y.
Ejemplo 11
La longitud de un lado de un cuadrado es 3x metros. Escribe su perímetro y su área.
Perímetro: 4 · 3x = 12x metros. Área: (3x)² = 9x² metros cuadrados. Con x = 2, el lado mide 6 m, el perímetro 24 m y el área 36 m².
Método: pasar de un enunciado a una expresión
- Subraya los datos y la cantidad desconocida; llámala x.
- Traduce cada frase: «el doble» es 2x; «tres más que» es x + 3; «la mitad» es x : 2.
- Une las partes con las operaciones del enunciado.
- Simplifica reduciendo términos semejantes.
- Comprueba con un número concreto.
Ejemplo 12
Una tienda vende cuadernos a x euros y bolígrafos a 2 euros menos. Escribe el precio de 3 cuadernos y 4 bolígrafos y simplifícalo.
3x + 4(x − 2) = 3x + 4x − 8 = 7x − 8. Si x = 3, el gasto es 7 · 3 − 8 = 13 euros: 9 euros por los cuadernos y 4 por los bolígrafos de 1 euro.
Propiedad: términos semejantes
Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. Solo se pueden sumar o restar términos semejantes: \(3x+5x=8x\), pero \(3x+5x^2\) no se puede simplificar. Se suman los coeficientes y se mantiene la parte literal.
¡Atención! Errores frecuentes
- Sumar términos que no son semejantes: \(2x+3y\neq5xy\).
- Olvidar el signo menos al quitar un paréntesis: \(-(x-4)=-x+4\).
- Confundir \(2x\) (doble de x) con \(x^2\) (x al cuadrado).
- Al sustituir un valor negativo, no ponerlo entre paréntesis.
¿Sabías que…?
Los antiguos escribían las ecuaciones con palabras: «la cosa y su cuadrado son iguales a…». Fue el francés François Viète, en el siglo XVI, quien empezó a usar letras para las incógnitas y los datos, y el signo igual (=) lo inventó el galés Robert Recorde en 1557, porque «dos rectas paralelas no pueden ser más iguales».
Patrones, secuencias y expresiones generales
Una de las utilidades más importantes del álgebra es describir un patrón que se repite. Cuando construimos figuras con palillos, colocamos mesas en fila o contamos las baldosas de un borde, observamos que cada paso añade siempre la misma cantidad. Con una letra podemos escribir una expresión que sirve para cualquier paso, aunque sea el número 100 o el 1 000.
Método: encontrar la expresión de un patrón
- Haz una tabla con el número de la figura \(n\) (1, 2, 3, 4…) y la cantidad que cuentas.
- Calcula cuánto aumenta la cantidad de una figura a la siguiente. Si siempre aumenta lo mismo, ese número multiplica a \(n\).
- Averigua qué hay que sumar o restar para que la expresión dé el valor de la primera figura.
- Comprueba la expresión con otra figura de la tabla.
Ejemplo 13
En un comedor se juntan mesas cuadradas en fila. Con 1 mesa se sientan 4 personas, con 2 mesas 6 personas y con 3 mesas 8 personas. ¿Cuántas personas se sientan con \(n\) mesas? ¿Y con 20 mesas?
Cada mesa nueva añade 2 sitios, así que la expresión empieza por \(2n\). Para \(n=1\), \(2n\) vale 2, pero se sientan 4 personas: hay que sumar 2. La expresión es \(2n+2\). Comprobamos con 3 mesas: \(2\cdot3+2=8\), correcto. Con 20 mesas se sientan \(2\cdot20+2=42\) personas. Los 2 sitios que se suman corresponden a las dos cabeceras de la fila.
Ejemplo 14
Comprueba con álgebra el truco: «Piensa un número, súmale 3, multiplica por 2, resta 6 y divide entre 2. Siempre obtienes el número que pensaste».
Llamamos \(x\) al número pensado. Sumar 3 da \(x+3\); multiplicar por 2 da \(2(x+3)=2x+6\); restar 6 da \(2x\); dividir entre 2 da \(x\). Como el resultado es \(x\) para cualquier valor de \(x\), el truco funciona siempre. El álgebra permite demostrar que algo es cierto para todos los números, no solo para los que hemos probado.
¡Atención! \(2x\) no es lo mismo que \(x^2\)
\(2x\) significa \(x+x\), el doble del número; \(x^2\) significa \(x\cdot x\), el cuadrado. Para \(x=5\), \(2x=10\) y \(x^2=25\). Tampoco se pueden sumar \(3x\) y \(2x^2\): no son términos semejantes porque sus partes literales son distintas, y la expresión \(3x+2x^2\) ya no se puede reducir más.
¿Sabías que…? De dónde viene la palabra «álgebra»
La palabra álgebra procede del título de un libro escrito hacia el año 820 por el matemático persa Al-Juarismi, que trabajaba en Bagdad. En él explicaba cómo «completar» y «equilibrar» una igualdad, en árabe al-jabr. De su nombre deriva también la palabra «algoritmo». Sin embargo, durante siglos los problemas se escribían con palabras: el uso de letras como \(x\) para las incógnitas no se generalizó hasta el siglo XVII, con Descartes.
El consejo de Otto
Para traducir un enunciado, subraya las palabras clave: «doble» es \(2x\), «mitad» es \(\dfrac{x}{2}\), «menos que» resta, «más que» suma. Prueba con un número concreto para comprobar tu expresión.
Cómo usar los apuntes de lenguaje algebraico de 1º ESO
Primero, lee lo esencial para saber de qué trata el tema. Después, trabaja cada definición y cada ejemplo, y tapa la solución antes de leerla. A continuación, practica con los ejercicios de lenguaje algebraico y comprueba cada uno con las soluciones. Cuando te sientas preparado, ponte a prueba con el test o el quiz. Finalmente, haz el examen de lenguaje algebraico y corrígelo con las soluciones del examen.
Además, el cálculo mental sirve como calentamiento, así que repasas lo esencial cada día. Además, todas las páginas de este tema están conectadas, así que puedes pasar de una a otra cuando quieras. Por ejemplo, muchos alumnos leen los apuntes el lunes, practican el miércoles y se ponen a prueba el viernes. En definitiva, estos apuntes de lenguaje algebraico de 1º ESO reúnen todo lo necesario para el tema.
Páginas similares
Más de este capítulo
EjerciciosLenguaje algebraico – matemáticas 1º ESO: ejercicios para descargar en PDF
SolucionesLenguaje algebraico – matemáticas 1º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF
TestLenguaje algebraico – matemáticas 1º ESO: test para descargar en PDF
TestLenguaje algebraico – matemáticas 1º ESO: quiz para descargar en PDF
ExamenLenguaje algebraico – matemáticas 1º ESO: examen para descargar en PDF
Soluciones del examenLenguaje algebraico – matemáticas 1º ESO: soluciones del examen para descargar en PDF
Cálculo mentalLenguaje algebraico – matemáticas 1º ESO: cálculo mental para descargar en PDFOtros capítulos de este nivel
ApuntesNúmeros naturales y operaciones – matemáticas 1º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDF
ApuntesDivisibilidad – matemáticas 1º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDF
ApuntesNúmeros enteros – matemáticas 1º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDF
ApuntesFracciones – matemáticas 1º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDF
ApuntesNúmeros decimales – matemáticas 1º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDF
ApuntesProporcionalidad y porcentajes – matemáticas 1º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDF
ApuntesEcuaciones de primer grado – matemáticas 1º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDF
ApuntesSistema métrico decimal y unidades – matemáticas 1º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDF