Estos apuntes de coordenadas, tablas y gráficas de 1º ESO están pensados para alumnos de 12-13 años y siguen el currículo oficial. En resumen, trabajan lo siguiente: Coordenadas y lectura de gráficas; relaciones lineales. Antes de empezar, conviene repasar polígonos y circunferencia y perímetros y áreas, porque estos apuntes se apoyan en ese tema.
Apuntes de coordenadas, tablas y gráficas 1º ESO: lo que vas a aprender
Las gráficas permiten ver cómo se relacionan dos magnitudes. En este tema aprenderás a situar puntos, a leer gráficas y a reconocer las relaciones lineales.
Actividad de introducción: el mapa del tesoro
Para esconder un tesoro en el patio del colegio, Nuria dibuja un mapa con una cuadrícula. Dice: «el tesoro está en el punto (4, 3)». Sus amigos avanzan 4 casillas hacia la derecha y 3 hacia arriba, y lo encuentran. Las dos cifras entre paréntesis son las coordenadas del punto. En otro juego, Nuria apunta cuánto cuesta alquilar una bicicleta según las horas: 1 hora 5 €, 2 horas 8 €, 3 horas 11 €. Con esos pares de valores puede dibujar puntos y descubrir una regla. Este tema te enseña a ubicar puntos y a leer y construir gráficas de la vida real.
Los ejes de coordenadas
Definición: coordenadas
Un sistema de ejes cartesianos son dos rectas perpendiculares: el eje X (horizontal, abscisas) y el eje Y (vertical, ordenadas), que se cortan en el origen \(O(0,0)\). Cada punto se describe con un par ordenado \(P(x,y)\).
Observación
Los ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes. En el primero ambas coordenadas son positivas; en el segundo \(x<0\) e \(y>0\); en el tercero ambas negativas; en el cuarto \(x>0\) e \(y<0\).
Ejemplo 1
¿En qué cuadrante están \(A(3,-2)\), \(B(-4,5)\) y \(C(0,3)\)?
\(A\) en el cuarto, \(B\) en el segundo y \(C\) está sobre el eje Y, no pertenece a ningún cuadrante.
Relaciones entre magnitudes: tablas y gráficas
Definición: función
Una función es una relación entre dos magnitudes en la que a cada valor de la variable independiente \(x\) le corresponde como máximo un valor de la variable dependiente \(y\). Se puede dar con un enunciado, una tabla, una gráfica o una fórmula.
Método: dibujar una gráfica a partir de una tabla
- Dibuja los ejes y elige una escala adecuada.
- Sitúa cada par \((x,y)\) como un punto.
- Si tiene sentido, une los puntos.
Cómo leer una gráfica
Propiedad
En una gráfica se ve cuándo la función crece (sube), decrece (baja) o es constante (horizontal); también sus máximos y mínimos y sus puntos de corte con los ejes.
Ejemplo 2
Una gráfica sale de \((0,0)\), sube hasta \((2,6)\), se mantiene a 6 hasta \(x=5\) y baja hasta \((8,0)\). Descríbela.
Crece de 0 a 2, es constante de 2 a 5, decrece de 5 a 8. El máximo vale 6 y corta al eje X en \(x=0\) y \(x=8\).
Relaciones lineales
Definición: relación lineal
Una relación es lineal (proporcionalidad directa) si \(y=kx\): su gráfica es una recta que pasa por el origen. La constante \(k\) mide la inclinación.
Ejemplo 3
Un kilo de manzanas cuesta 2 €. Haz la tabla y la fórmula.
\(y=2x\). Tabla: \(x=1,2,3,4\) y \(y=2,4,6,8\). Los puntos están alineados con el origen.
Ejemplo 4
Un taxi cobra 3 € de bajada de bandera y 1,5 € por km. Escribe la fórmula y el precio de 10 km.
\(y=3+1{,}5x\). Para \(x=10\): \(y=18\) €. Su gráfica es una recta que no pasa por el origen.
¡Atención!
Las coordenadas van en orden: primero \(x\), luego \(y\). \((2,5)\) y \((5,2)\) son puntos distintos. Y no unas puntos si los datos no tienen sentido intermedio (personas, coches).
Funciones lineales y su fórmula
Definición: relación lineal
Una relación entre dos magnitudes es lineal cuando al aumentar la primera en una unidad la segunda aumenta siempre la misma cantidad. Su fórmula es \(y=mx+n\), donde m es el aumento por unidad y n el valor inicial (cuando x = 0). Su gráfica es una recta. Si n = 0, la relación es de proporcionalidad directa.
Ejemplo 5
Un taller cobra 6 € de revisión y 4 € por hora. Escribe la fórmula y calcula el precio de 5 horas.
Precio = 6 + 4x. Para x = 5: 6 + 4 · 5 = 26 €.
Ejemplo 6
Escribe la tabla y la fórmula de una planta que mide 10 cm y crece 2 cm por semana.
Tabla: (0, 10), (1, 12), (2, 14), (3, 16). Fórmula: y = 10 + 2x. Es una recta que sube porque crece de forma constante.
Ejemplo 7
La gráfica de un paseo muestra: de 0 a 10 min, la distancia a casa sube de 0 a 500 m; de 10 a 20 min se mantiene en 500 m; de 20 a 30 min baja a 0. Describe el paseo y calcula la velocidad en el primer tramo.
La persona se aleja 500 m en 10 minutos, se detiene 10 minutos (tramo horizontal) y regresa a casa en otros 10 minutos. Velocidad al ir: 500 : 10 = 50 m/min. Al volver tiene la misma velocidad, pero con sentido contrario.
Método: dibujar una gráfica a partir de una tabla
- Elige una escala adecuada para cada eje y rótulalos con la magnitud y la unidad.
- Marca cada pareja (x, y) como un punto.
- Si la magnitud es continua, une los puntos con una línea.
- Pon un título y comprueba que todos los puntos son legibles.
Regla: leer una gráfica
Para interpretar una gráfica, fíjate en tres cosas: si sube (la magnitud aumenta), si baja (disminuye) o si es horizontal (se mantiene constante). Cuanto más inclinada es la línea, más deprisa cambia la magnitud. Los puntos más altos son los máximos y los más bajos, los mínimos.
¡Atención! Errores frecuentes
- Intercambiar las coordenadas: el punto (2, 5) no es el (5, 2).
- No empezar la escala en cero o usar escalas distintas sin avisar.
- Unir puntos de una magnitud discreta (como el número de entradas).
- Creer que una gráfica que sube siempre es de proporcionalidad directa: debe pasar por el origen.
¿Sabías que…?
Las coordenadas cartesianas se llaman así por René Descartes, un filósofo y matemático francés del siglo XVII. Cuenta la leyenda que se le ocurrió la idea al ver una mosca moverse por el techo de su habitación y pensar que se podía describir su posición con dos números. Hoy las coordenadas están en tu móvil: el GPS usa latitud y longitud para decir dónde estás.
Crecimiento, decrecimiento y tramos constantes
Una gráfica cuenta una historia. Si la leemos de izquierda a derecha, igual que un texto, podemos describir qué ocurre con la magnitud del eje vertical a medida que avanza la magnitud del eje horizontal, que casi siempre es el tiempo. Para describir una gráfica se utilizan tres palabras clave: crece, decrece y se mantiene constante.
Definición: tramos de una gráfica
Un tramo es creciente si, al avanzar hacia la derecha, la gráfica sube: la variable \(y\) aumenta cuando aumenta \(x\). Es decreciente si la gráfica baja, y es constante si la gráfica es horizontal, porque \(y\) no cambia. El punto más alto de la gráfica se llama máximo y el más bajo, mínimo.
Ejemplo 8
La temperatura de un horno se mide cada 10 minutos: 20 °C al encenderlo, 120 °C a los 10 min, 180 °C a los 20 min, 180 °C a los 30 min, 180 °C a los 40 min y 100 °C a los 50 min, tras apagarlo. Describe la gráfica.
Entre 0 y 20 minutos la gráfica es creciente: el horno se calienta, primero deprisa (100 °C en 10 minutos) y luego más despacio (60 °C en 10 minutos). Entre 20 y 40 minutos es constante: el termostato mantiene 180 °C, que es el máximo. Entre 40 y 50 minutos es decreciente: el horno se ha apagado y pierde 80 °C. El mínimo de la gráfica es la temperatura inicial, 20 °C.
Observación: la inclinación indica la rapidez
Cuanto más inclinado es un tramo, más rápido cambia la magnitud. En una gráfica de distancia y tiempo, un tramo muy empinado significa que la persona va deprisa, y un tramo poco inclinado, que va despacio. Si dos tramos rectos tienen la misma inclinación, la velocidad es la misma en los dos.
¡Atención! La gráfica no es el dibujo del camino
Si una gráfica de distancia a casa sube, baja y vuelve a subir, no significa que la persona suba y baje cuestas. Significa que se aleja de casa, se acerca y se vuelve a alejar. El eje vertical indica una distancia, no una altura. Lee siempre el nombre de cada eje antes de interpretar.
¿Sabías que…? Gráficas en el hospital
Los monitores de los hospitales dibujan en tiempo real gráficas de la frecuencia cardiaca, la tensión o la temperatura de los pacientes. Los médicos no leen los números uno a uno: miran la forma de la gráfica para detectar de un vistazo si algo crece o decrece demasiado deprisa.
El consejo de Otto
Para leer una gráfica, pon el dedo sobre el valor de \(x\), sube hasta la curva y lee la \(y\). Y comprueba siempre qué escala tiene cada eje antes de leer.
Cómo usar los apuntes de coordenadas, tablas y gráficas de 1º ESO
Primero, lee lo esencial para saber de qué trata el tema. Después, trabaja cada definición y cada ejemplo, y tapa la solución antes de leerla. A continuación, practica con los ejercicios de coordenadas, tablas y gráficas y comprueba cada uno con las soluciones. Cuando te sientas preparado, ponte a prueba con el test o el quiz. Finalmente, haz el examen de coordenadas, tablas y gráficas y corrígelo con las soluciones del examen.
Además, el cálculo mental sirve como calentamiento, así que repasas lo esencial cada día. Además, todas las páginas de este tema están conectadas, así que puedes pasar de una a otra cuando quieras. Por ejemplo, muchos alumnos leen los apuntes el lunes, practican el miércoles y se ponen a prueba el viernes. En definitiva, estos apuntes de coordenadas, tablas y gráficas de 1º ESO reúnen todo lo necesario para el tema.
En resumen, practicar a menudo funciona mejor que una sesión larga. Por ejemplo, diez minutos al día suelen bastar. Además, los errores son útiles, porque muestran qué repasar. Luego, cuando un método te parezca fácil, prueba un ejercicio más difícil. Así, ganas confianza poco a poco.
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