¿Cómo se calcula la media?

Se suman todos los datos y se divide entre el número de datos.

¿Qué diferencia hay entre moda y mediana?

La moda es el valor más frecuente y la mediana es el valor central de los datos ordenados.

¿Cómo se calculan los grados de un sector en un diagrama de sectores?

Multiplicando la frecuencia relativa por 360°, o con una regla de tres: ángulo = frecuencia · 360° / total.

¿Qué son la población y la muestra?

La población es el conjunto total de individuos estudiados y la muestra es una parte de ella que se analiza para extraer conclusiones.

Apuntes de estadística 1º ESO para descargar en PDF

Estos apuntes de estadística de 1º ESO están pensados para alumnos de 12-13 años y siguen el currículo oficial. En resumen, trabajan lo siguiente: Tablas de frecuencias, gráficos, media, moda y mediana. Antes de empezar, conviene repasar perímetros y áreas y coordenadas, tablas y gráficas, porque estos apuntes se apoyan en ese tema.

Apuntes de estadística 1º ESO: lo que vas a aprender

La estadística recoge, organiza y analiza datos para sacar conclusiones. Verás cómo construir tablas y gráficos y calcular las medidas más usadas.

Actividad de introducción: la encuesta de la clase

La profesora de Educación Física quiere organizar el torneo de recreo y pregunta a los 20 alumnos de 1.º A qué deporte prefieren: fútbol (8), baloncesto (5), balonmano (4) y voleibol (3). Para decidir, anota los resultados en una tabla y dibuja un diagrama de barras. Así ve a simple vista que el fútbol es lo más votado. Esta organización de los datos, su representación gráfica y los números que los resumen son lo que estudia la estadística. En este tema aprenderás a hacerlo con cualquier conjunto de datos.

Conceptos básicos de estadística

Definición: población y muestra

La población es el conjunto de individuos que se estudian; la muestra es un subconjunto representativo. Una variable es la característica estudiada: cualitativa (color, deporte) o cuantitativa, que puede ser discreta (nº de hermanos) o continua (altura).

Tablas de frecuencias

Definición: frecuencias

La frecuencia absoluta \(f_i\) es el número de veces que aparece un valor. La frecuencia relativa es \(h_i=\dfrac{f_i}{N}\), con \(N\) el total de datos. La frecuencia acumulada suma las frecuencias hasta ese valor. La relativa multiplicada por 100 es el porcentaje.

Ejemplo 1

Se pregunta el número de hermanos a 20 alumnos: 0 (4), 1 (8), 2 (6), 3 (2). Halla las frecuencias relativas.

\(h=\dfrac{4}{20}=0{,}20\), \(\dfrac{8}{20}=0{,}40\), \(\dfrac{6}{20}=0{,}30\), \(\dfrac{2}{20}=0{,}10\). Suman 1.

Gráficos estadísticos

Propiedad: tipos de gráficos

El diagrama de barras se usa con variables discretas o cualitativas; el polígono de frecuencias une los extremos de las barras; el histograma se usa con datos agrupados en intervalos; el diagrama de sectores reparte los \(360^\circ\) en proporción a la frecuencia: ángulo \(=360^\circ\cdot h_i\).

Ejemplo 2

En un sector que representa el 25 %, ¿qué ángulo corresponde?

\(360^\circ\cdot0{,}25=90^\circ\).

Medidas de centralización y de dispersión

Definición: media, mediana y moda

La media \(\bar{x}\) es la suma de los datos dividida entre el número de datos. La mediana es el valor central cuando los datos están ordenados (si hay dos centrales, su media). La moda es el valor con mayor frecuencia. El rango es la diferencia entre el mayor y el menor dato y mide la dispersión.

Ejemplo 3

Para los datos 3, 5, 5, 6, 8, 9 calcula media, mediana, moda y rango.

Media: \(\dfrac{36}{6}=6\). Mediana: centrales 5 y 6, \(\dfrac{5+6}{2}=5{,}5\). Moda: 5. Rango: \(9-3=6\).

Ejemplo 4

Con la tabla de hermanos del ejemplo anterior, ¿cuál es la media?

\(\bar{x}=\dfrac{0\cdot4+1\cdot8+2\cdot6+3\cdot2}{20}=\dfrac{26}{20}=1{,}3\) hermanos.

Ejemplo 5

Las notas de Ana son 6, 7 y 8. ¿Qué necesita sacar para tener 7,5 de media en cuatro exámenes?

Suma necesaria: \(4\cdot7{,}5=30\). Ya tiene 21, así que necesita un 9.

Método: hacer un estudio estadístico

Define la población y la variable.
Recoge los datos y haz el recuento.
Construye la tabla de frecuencias.
Representa con el gráfico adecuado.
Calcula las medidas y escribe una conclusión.

¡Atención!

La moda es un valor, no una frecuencia. Y la mediana exige ordenar antes los datos. La media se ve muy afectada por un valor extremo.

Cómo organizar y resumir datos

Método: elaborar una tabla de frecuencias

Escribe los valores distintos de la variable ordenados de menor a mayor.
Cuenta cuántas veces aparece cada valor: es la frecuencia absoluta.
Calcula la frecuencia relativa dividiendo cada frecuencia absoluta entre el total de datos.
Multiplica por 100 para obtener el porcentaje.
Comprueba que la suma de frecuencias absolutas es el total y que la suma de relativas es 1.

Ejemplo 5

Se han anotado las notas de 10 alumnos: 5, 7, 7, 6, 8, 5, 7, 9, 6, 7. Construye la tabla y halla la media, la mediana y la moda.

Valores: 5 (2 veces), 6 (2), 7 (4), 8 (1), 9 (1). Media = (10 + 12 + 28 + 8 + 9) : 10 = 6,7. Ordenados: 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 9; mediana = (7 + 7) : 2 = 7. Moda = 7.

Ejemplo 6

En un diagrama de sectores, 45 de 180 alumnos van en bici. ¿Qué ángulo corresponde?

Fracción: 45/180 = 1/4. Ángulo: 360° : 4 = 90°.

Datos agrupados en intervalos

Definición: intervalo y marca de clase

Cuando una variable continua toma muchos valores distintos (alturas, pesos, tiempos), se agrupan los datos en intervalos de igual amplitud, por ejemplo [150, 160). La marca de clase es el punto medio del intervalo: para [150, 160) es 155. Se usa para calcular la media aproximada.

Ejemplo 7

Las alturas de 20 alumnos se agrupan así: [140, 150) 4 alumnos; [150, 160) 10 alumnos; [160, 170) 6 alumnos. Calcula la media aproximada.

Marcas de clase: 145, 155 y 165. Media = (4·145 + 10·155 + 6·165) : 20 = (580 + 1 550 + 990) : 20 = 3 120 : 20 = 156 cm. El intervalo modal es [150, 160).

Regla: elegir el gráfico adecuado

El diagrama de barras sirve para comparar frecuencias de variables cualitativas o discretas. El diagrama de sectores sirve para ver la proporción de cada parte respecto al total. El gráfico de líneas es ideal para ver cómo cambia una magnitud en el tiempo. El histograma se usa para datos agrupados en intervalos.

Propiedad: media, mediana y moda

La media usa todos los datos y se ve muy afectada por los valores extremos. La mediana no se deja influir por los valores extremos. La moda es el único estadístico que se puede calcular con datos cualitativos. Si hay un número par de datos, la mediana es la media de los dos centrales.

¡Atención! Errores frecuentes

Calcular la mediana sin ordenar antes los datos.
Dividir entre el número de valores distintos en vez de entre el total de datos al calcular la media.
Confundir frecuencia absoluta con relativa.
Dibujar un diagrama de barras con una escala que no empieza en cero y exagera las diferencias.

¿Sabías que…?

La palabra «estadística» viene de «estado»: los primeros datos que se recogieron fueron los censos de población que hacían los gobernantes para cobrar impuestos. La enfermera inglesa Florence Nightingale, pionera de la estadística, usó gráficos de sectores llamados «rosas» para convencer al gobierno de que mejoraran los hospitales militares. Hoy el Instituto Nacional de Estadística (INE) publica cada año datos sobre la población de España.

Interpretar y criticar la información estadística

La estadística no consiste solo en hacer tablas y calcular medias. En los periódicos, en la televisión y en las redes sociales aparecen continuamente gráficos y porcentajes, y hay que saber leerlos con espíritu crítico. Un mismo conjunto de datos puede parecer muy distinto según cómo se presente.

Método: leer un gráfico con atención

Lee el título y averigua qué variable se representa y en qué población.
Mira las unidades de los ejes y comprueba si el eje vertical empieza en 0.
Busca el valor más alto y el más bajo y compáralos.
Comprueba si los porcentajes suman 100 % o si los ángulos suman 360°.
Escribe una o dos conclusiones con frases completas.

Ejemplo 8

Un anuncio dice: «Las ventas de nuestra bicicleta se han disparado», y muestra un gráfico de barras con un eje vertical que empieza en 950 unidades. Las barras indican 960 ventas en enero y 990 en febrero. ¿Es cierto que se han disparado?

Como el eje no empieza en 0, la barra de febrero parece cuatro veces más alta que la de enero. Sin embargo, el aumento real es de \(990-960=30\) bicicletas, que respecto a 960 supone poco más de un 3 %. El gráfico exagera la subida. Conclusión: las ventas han aumentado ligeramente, no se han disparado.

Ejemplo 9

En una pequeña empresa los sueldos mensuales son 1 200, 1 200, 1 300, 1 400 y 5 900 euros. ¿Qué medida representa mejor el sueldo típico?

La media es \((1\,200+1\,200+1\,300+1\,400+5\,900):5=11\,000:5=2\,200\) €. Pero cuatro de los cinco trabajadores cobran mucho menos. La mediana, que es el valor central de los datos ordenados, vale 1 300 €, y la moda, 1 200 €. Un único valor muy alto, llamado valor atípico, hace subir la media. En este caso la mediana describe mejor el sueldo típico.

Observación: muestras representativas

Para que las conclusiones de una encuesta sean válidas, la muestra debe parecerse a la población. Si para conocer el deporte favorito de los alumnos de un instituto solo preguntas a los del equipo de baloncesto, el resultado estará sesgado. Lo correcto es elegir alumnos de todos los cursos y grupos, por ejemplo al azar.

El consejo de Otto

Para calcular la media con una tabla, añade una columna \(x_i\cdot f_i\), suma y divide entre \(N\). Comprueba siempre que las frecuencias relativas suman 1.

Cómo usar los apuntes de estadística de 1º ESO

Primero, lee lo esencial para saber de qué trata el tema. Después, trabaja cada definición y cada ejemplo, y tapa la solución antes de leerla. A continuación, practica con los ejercicios de estadística y comprueba cada uno con las soluciones. Cuando te sientas preparado, ponte a prueba con el test o el quiz. Finalmente, haz el examen de estadística y corrígelo con las soluciones del examen.

Además, el cálculo mental sirve como calentamiento, así que repasas lo esencial cada día. Además, todas las páginas de este tema están conectadas, así que puedes pasar de una a otra cuando quieras. Por ejemplo, muchos alumnos leen los apuntes el lunes, practican el miércoles y se ponen a prueba el viernes. En definitiva, estos apuntes de estadística de 1º ESO reúnen todo lo necesario para el tema.

En resumen, practicar a menudo funciona mejor que una sesión larga. Por ejemplo, diez minutos al día suelen bastar. Además, los errores son útiles, porque muestran qué repasar. Luego, cuando un método te parezca fácil, prueba un ejercicio más difícil. Así, ganas confianza poco a poco.