Divisibilidad – matemáticas 1º ESO: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (3 puntos)

   1. Criterios aplicados a 2 376: termina en 6, cifra par, luego es divisible por 2; sus cifras suman 2 + 3 + 7 + 6 = 18, múltiplo de 3 y de 9, luego es divisible por 3 y por 9; no acaba en 0 ni en 5, así que no lo es por 5; por último, (2 + 7) − (3 + 6) = 0, múltiplo de 11, luego también es divisible por 11 (1 punto).
   2. El 91 no es par ni múltiplo de 3 ni de 5, pero al probar con 7 la división es exacta: 91 = 7 · 13. Al tener más de dos divisores, 91 es compuesto (1 punto).
   3. Buscamos parejas cuyo producto sea 60: 1·60, 2·30, 3·20, 4·15, 5·12 y 6·10. Los doce divisores ordenados son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60 (1 punto).

2. Solución del ejercicio 2 (3 puntos)

   1. Dividimos 1 260 sucesivamente: entre 2 da 630, otra vez entre 2 da 315, entre 3 da 105, entre 3 da 35, entre 5 da 7 y el 7 es primo. Resultado: 1 260 = 2² · 3² · 5 · 7 (1 punto si todos los factores son primos y están en forma de potencia).
   2. Factorizamos 84 = 2² · 3 · 7 y 126 = 2 · 3² · 7. Para el mcd tomamos solo los primos comunes con su menor exponente: 2 · 3 · 7 = 42 (1 punto). Para el mcm tomamos todos los primos con su mayor exponente: 2² · 3² · 7 = 252 (1 punto). Verificación: 42 · 252 = 10 584 = 84 · 126.

3. Solución del ejercicio 3 (3 puntos)

   1. Pasamos a centímetros: 4,20 m = 420 cm y 3,30 m = 330 cm. \(420=2^2\cdot3\cdot5\cdot7\) y \(330=2\cdot3\cdot5\cdot11\): el lado mayor posible es mcd \(=2\cdot3\cdot5=\) 30 cm (1 punto).
   2. Caben 420 : 30 = 14 baldosas a lo largo y 330 : 30 = 11 a lo ancho: 14 · 11 = 154 baldosas (1 punto).
   3. Coste: 154 · 3,20 = 492,80 € (1 punto).

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. Buscamos el menor múltiplo común: \(10=2\cdot5\), \(15=3\cdot5\), \(25=5^2\), luego mcm \(=2\cdot3\cdot5^2=\) 150 minutos (2 puntos).
   2. Coinciden a los 0, 150 y 300 minutos. La tercera vez es a los 300 minutos = 5 horas después: 13:00 h (1 punto).
   3. Entre las 8:00 y las 9:00 hay 60 : 10 = 6 intervalos; con el paso de las 8:00 son 7 pasos (1 punto).

5. Solución del ejercicio 5 (5 puntos)

   1. Para repartir todo en bolsas iguales, el número de bolsas debe dividir a 72, 108 y 144, y ser el mayor: \(72=2^3\cdot3^2\), \(108=2^2\cdot3^3\), \(144=2^4\cdot3^2\); mcd \(=2^2\cdot3^2=\) 36 bolsas (2 puntos).
   2. Cada bolsa lleva 72 : 36 = 2 lápices, 108 : 36 = 3 gomas y 144 : 36 = 4 sacapuntas (2 puntos).
   3. Se recaudan 36 · 4,50 = 162 € (1 punto).

6. Solución del ejercicio 6 (2 puntos)

   1. \(9=3^2\) y \(12=2^2\cdot3\), mcm = 36. Sus múltiplos son 36, 72, 108…; el menor mayor que 100 es 108 (1 punto).
   2. Un número que dividido entre 6 y entre 8 deja resto 3 es un múltiplo común de 6 y 8 más 3. mcm(6, 8) = 24, y 24 + 3 = 27 (27 = 6 · 4 + 3 = 8 · 3 + 3) (1 punto).

Total : 20 puntos