Wahrscheinlichkeit, Vierfeldertafel und Baumdiagramm – Mathe Klasse 9 Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (4 BE/Punkte)

   Beim fairen Würfel sind alle sechs Augenzahlen gleich wahrscheinlich, es handelt sich um ein Laplace-Experiment. Dann gilt \(P(E)=\frac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}}\).
   a) Primzahlen unter \(1\) bis \(6\) sind \(2\), \(3\) und \(5\); die \(1\) ist keine Primzahl (1 P.). Also \(P=\frac36=\frac12=0{,}5\) (1 P.).
   b) „Mindestens 5“ umfasst die Ergebnisse \(5\) und \(6\) (1 P.). Damit \(P=\frac26=\frac13\approx0{,}333\) (1 P.). Kontrolle über das Gegenereignis: \(P(\text{Augenzahl}\le4)=\frac46\), und \(1-\frac46=\frac13\). Antwort: \(P(\text{Primzahl})=0{,}5\) und \(P(\text{mindestens 5})=\frac13\).

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   Im Baumdiagramm ändern sich beim Ziehen ohne Zurücklegen die Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe.
   a) Erster Zug rot: \(\frac35\). Danach liegen noch \(2\) rote unter \(4\) Kugeln, also \(\frac24\). Pfadregel (multiplizieren): \(P(rr)=\frac35\cdot\frac24=\frac{6}{20}=0{,}3\) (2 P.).
   b) Zwei verschiedene Farben gibt es auf zwei Pfaden: \(P(rb)=\frac35\cdot\frac24=\frac{6}{20}\) und \(P(br)=\frac25\cdot\frac34=\frac{6}{20}\). Summenregel: \(P=\frac{12}{20}=0{,}6\) (2 P.). Kontrolle: \(P(bb)=\frac25\cdot\frac14=0{,}1\), und \(0{,}3+0{,}6+0{,}1=1\). Wer versehentlich mit Zurücklegen rechnet, erhält \(\frac35\cdot\frac35=0{,}36\) für a); das ist falsch, weil die gezogene Kugel fehlt. Antwort: \(P(rr)=0{,}3\), \(P(\text{verschiedene Farben})=0{,}6\).

3. Lösung zu Aufgabe 3 (4 BE/Punkte)

   a) Vierfeldertafel (Zeilen Jungen/Mädchen, Spalten mit/ohne Smartphone): Jungen \(15\) | \(3\) | \(18\); Mädchen \(17\) | \(5\) | \(22\); Summe \(32\) | \(8\) | \(40\) (2 P.). Die fehlenden Felder ergeben sich als Differenzen, etwa \(18-15=3\) Jungen ohne Smartphone.
   b) Insgesamt besitzen \(32\) von \(40\) ein Smartphone: \(P(S)=\frac{32}{40}=0{,}8\) (1 P.). Bei der bedingten Wahrscheinlichkeit schränkt man die Grundmenge auf die \(32\) Smartphone-Besitzer ein; davon sind \(17\) Mädchen: \(P(M\mid S)=\frac{17}{32}\approx0{,}531\) (1 P.). Nicht verwechseln mit \(P(S\mid M)=\frac{17}{22}\approx0{,}773\). Antwort: \(0{,}8\) und etwa \(53{,}1\,\%\).

4. Lösung zu Aufgabe 4 (5 BE/Punkte)

   Die drei Würfe sind unabhängig; Treffer \(T\) mit \(0{,}6\), Fehlwurf \(F\) mit \(0{,}4\).
   a) Pfad \(TTT\): \(0{,}6\cdot0{,}6\cdot0{,}6=0{,}216\) (2 P.).
   b) Genau zwei Treffer liefern die drei Pfade \(TTF\), \(TFT\), \(FTT\), jeder mit \(0{,}6^2\cdot0{,}4=0{,}144\). Summe: \(3\cdot0{,}144=0{,}432\) (2 P.).
   c) „Mindestens einmal“ rechnet man am einfachsten über das Gegenereignis „kein Treffer“ (\(FFF\)): \(0{,}4^3=0{,}064\). Also \(P=1-0{,}064=0{,}936\) (1 P.). Kontrolle: \(P(\text{genau einmal})=3\cdot0{,}6\cdot0{,}4^2=0{,}288\), und \(0{,}216+0{,}432+0{,}288=0{,}936\). Antwort: \(21{,}6\,\%\), \(43{,}2\,\%\), \(93{,}6\,\%\).

5. Lösung zu Aufgabe 5 (3 BE/Punkte)

   a) Zwei Ereignisse heißen unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit ihres gemeinsamen Eintretens gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten ist: \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\) (1 P.). Rechnung: \(0{,}5\cdot0{,}2=0{,}1\), und laut Aufgabe ist \(P(A\cap B)=0{,}1\). Die Bedingung ist erfüllt, \(A\) und \(B\) sind unabhängig (1 P.). Gleichwertig: \(P(A\mid B)=\frac{0{,}1}{0{,}2}=0{,}5=P(A)\); das Eintreten von \(B\) verändert die Chance für \(A\) nicht.
   b) Nach dem Additionssatz \(P(A\cup B)=0{,}5+0{,}2-0{,}1=0{,}6\) (1 P.). Die Schnittmenge wird abgezogen, weil sie sonst doppelt gezählt würde. Antwort: unabhängig; \(P(A\cup B)=0{,}6\).

Gesamt : 20 Punkte