Wahrscheinlichkeit, Vierfeldertafel und Baumdiagramm – Mathe Klasse 9 Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Bei einem Laplace-Experiment sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Es gilt \(P(E)=\frac{\text{günstige Ergebnisse}}{\text{alle Ergebnisse}}\). Ein fairer Würfel wird einmal geworfen.

a) Berechne \(P(\text{gerade Zahl})\).
b) Berechne \(P(\text{Augenzahl}>4)\).
c) Berechne \(P(\text{Primzahl})\) (Primzahlen: \(2,3,5\)).
d) Berechne \(P(\text{durch }3\text{ teilbar})\) und \(P(\text{nicht durch }3\text{ teilbar})\).

In einer Urne liegen \(7\) rote, \(5\) blaue und \(3\) gelbe Kugeln. Du ziehst eine Kugel.

a) Berechne \(P(\text{rot})\), \(P(\text{blau})\), \(P(\text{gelb})\).
b) Berechne \(P(\text{nicht blau})\) mit dem Gegenereignis.
c) Berechne \(P(\text{rot oder gelb})\).
d) Wie viele gelbe Kugeln müsste man zulegen, damit \(P(\text{gelb})=\frac13\) ist?

Ein Glücksrad hat drei Sektoren: rot (\(90^\circ\)), grün (\(120^\circ\)) und gelb (\(150^\circ\)). Die Wahrscheinlichkeit ist der Anteil am Vollwinkel.

a) Berechne die drei Wahrscheinlichkeiten als Brüche.
b) Zeige, dass die Summe \(1\) ergibt.
c) Wie wahrscheinlich ist »nicht gelb«?
d) Das Rad wird \(120\)-mal gedreht. Wie oft erwartest du grün?

Eine faire Münze wird dreimal geworfen (K für Kopf, Z für Zahl).

a) Schreibe alle Ergebnisse auf. Wie viele gibt es?
b) Berechne \(P(\text{genau zweimal Kopf})\).
c) Berechne \(P(\text{mindestens einmal Kopf})\) mit dem Gegenereignis.
d) Berechne \(P(\text{alle drei gleich})\).

In einer Urne liegen \(4\) rote und \(6\) blaue Kugeln. Du ziehst zweimal und legst die erste Kugel zurück. Nach der ersten Pfadregel multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfads.

a) Zeichne ein Baumdiagramm und beschrifte die Äste.
b) Berechne \(P(rr)\) und \(P(bb)\).
c) Berechne \(P(\text{zwei verschiedene Farben})\) mit der zweiten Pfadregel (Pfade addieren).
d) Prüfe: Die vier Pfadwahrscheinlichkeiten ergeben zusammen \(1\).

Dieselbe Urne (\(4\) rot, \(6\) blau), aber die erste Kugel wird nicht zurückgelegt.

a) Erkläre, warum sich die Wahrscheinlichkeiten auf der zweiten Stufe ändern.
b) Berechne \(P(rr)\) und \(P(bb)\).
c) Berechne \(P(\text{zwei verschiedene Farben})\).
d) Vergleiche mit dem Ergebnis mit Zurücklegen.

In der Klasse 9c sind \(25\) Schüler: \(14\) Mädchen und \(11\) Jungen. Insgesamt haben \(14\) ein Haustier, davon \(9\) Mädchen.

a) Ergänze die Vierfeldertafel.
b) Berechne \(P(\text{Haustier})\) und \(P(\text{Mädchen und Haustier})\).
c) Berechne \(P(\text{Junge ohne Haustier})\).
d) Wie viele Schüler sind Mädchen oder haben ein Haustier?

Mit der Tafel aus Aufgabe 7 berechnest du bedingte Wahrscheinlichkeiten: \(P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\). Das ist der Anteil von \(B\) innerhalb von \(A\).

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mädchen ein Haustier hat?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler mit Haustier ein Mädchen ist?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge ein Haustier hat?
d) Warum sind die beiden ersten Werte hier gleich, in der Regel aber verschieden?

Zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) sind unabhängig, wenn \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\) gilt.

a) \(P(A)=0{,}4\), \(P(B)=0{,}5\), \(P(A\cap B)=0{,}2\)
b) \(P(A)=0{,}3\), \(P(B)=0{,}6\), \(P(A\cap B)=0{,}15\)
c) Würfel: \(A\) = »gerade«, \(B\) = »größer als 3«
d) Würfel: \(A\) = »gerade«, \(B\) = »Primzahl«

Ein Zahlenschloss hat drei Ringe mit den Ziffern \(0\) bis \(9\).

a) Wie viele Zahlenkombinationen gibt es?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, die Kombination beim ersten Versuch zu erraten?
c) Wie viele Kombinationen haben drei verschiedene Ziffern?
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Ziffern gleich sind?

Zwei faire Würfel werden geworfen. Es gibt \(36\) gleich wahrscheinliche Ergebnisse.

a) Wie wahrscheinlich ist die Augensumme \(7\)?
b) Wie wahrscheinlich ist ein Pasch (zwei gleiche Zahlen)?
c) Wie wahrscheinlich ist eine Augensumme von mindestens \(10\)?
d) Wie wahrscheinlich ist \(\text{Summe}\ge2\)? Wie wahrscheinlich ist die Summe \(1\)?

Der Bus zur Schule ist mit \(80\,\%\) Wahrscheinlichkeit pünktlich. Das Ereignis an zwei aufeinanderfolgenden Tagen ist unabhängig.

a) Zeichne ein Baumdiagramm für zwei Tage (p = pünktlich, v = verspätet).
b) Berechne \(P(\text{an beiden Tagen pünktlich})\).
c) Berechne \(P(\text{genau einmal verspätet})\).
d) Berechne \(P(\text{mindestens einmal verspätet})\) auf zwei Arten.

Die Wahrscheinlichkeit für Regen ist \(30\,\%\). Bei Regen nimmt Mia mit \(90\,\%\) einen Schirm mit, ohne Regen mit \(20\,\%\).

a) Zeichne den Baum und berechne \(P(\text{Regen und Schirm})\).
b) Berechne \(P(\text{Schirm})\).
c) Berechne \(P(\text{Regen}\mid\text{Schirm})\) (bedingte Wahrscheinlichkeit).
d) An wie vielen von \(100\) Tagen hat Mia unnötig einen Schirm dabei?

Eine Krankheit trifft \(2\,\%\) der Bevölkerung. Ein Test erkennt Kranke mit \(95\,\%\) (positiv) und zeigt bei Gesunden mit \(4\,\%\) fälschlich positiv an. Stell dir \(10\,000\) Menschen vor.

a) Ergänze die Vierfeldertafel.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit \(P(\text{positiv})\)?
c) Ein Test fällt positiv aus. Wie wahrscheinlich ist es, dass die Person wirklich krank ist?
d) Warum ist das Ergebnis so viel kleiner als \(95\,\%\)?

Wie wahrscheinlich ist es, dass in einer Gruppe von \(n\) Personen mindestens zwei am selben Tag Geburtstag haben? Nimm \(365\) gleich wahrscheinliche Tage an. Es gilt \(P=1-\frac{365}{365}\cdot\frac{364}{365}\cdots\frac{365-n+1}{365}\).

a) Berechne \(P\) für \(n=2\) (zwei Personen).
b) Berechne \(P\) für \(n=10\) und \(n=23\) (Taschenrechner).
c) Für \(n=25\) (eine Klasse): Wie hoch ist \(P\)? Überrascht dich das Ergebnis?
d) Für welches \(n\) wird \(P\) erstmals größer als \(50\,\%\)?

Ein Glücksrad auf dem Jahrmarkt kostet \(2{,}50\) € Einsatz. Es zahlt aus:

a) Berechne den Erwartungswert \(E=\sum x_i\cdot p_i\) der Auszahlung.
b) Wie hoch ist der durchschnittliche Gewinn oder Verlust pro Spiel (Einsatz abziehen)?
c) Wie viel Gewinn oder Verlust erwartest du nach \(100\) Spielen?
d) Wie müsste der Einsatz sein, damit das Spiel fair ist?

Beim Lotto werden \(6\) Zahlen aus \(49\) gezogen (ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge). Die Zahl der Möglichkeiten ist \(\binom{49}{6}\).

a) Wie viele Tippreihen gibt es?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für sechs Richtige?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für genau drei Richtige? Es gibt \(\binom63\cdot\binom{43}3\) günstige Möglichkeiten.
d) Wie oft müsste man spielen, damit sechs Richtige im Durchschnitt einmal vorkommen?

Ein Schütze trifft mit \(75\,\%\) Wahrscheinlichkeit. Er schießt fünf Elfmeter, die Schüsse sind unabhängig. Es gilt \(P(k\text{ Treffer})=\binom5k\cdot0{,}75^k\cdot0{,}25^{5-k}\).

a) Berechne \(P(5)\) und \(P(4)\).
b) Berechne \(P(3)\).
c) Berechne \(P(\text{mindestens }3)\).
d) Wie viele Treffer erwartest du im Mittel (\(n\cdot p\))?

Ein Skatblatt hat \(32\) Karten: vier Farben (Kreuz, Pik, Herz, Karo) mit je acht Karten, darunter je ein Ass. Du ziehst verdeckt Karten.

a) Berechne \(P(\text{Ass})\) und \(P(\text{Herz})\) bei einer Karte.
b) Berechne \(P(\text{Herz oder Ass})\) mit der Summenregel.
c) Du ziehst zwei Karten ohne Zurücklegen. Berechne \(P(\text{zwei Asse})\).
d) Wie wahrscheinlich ist es, dass beim zweimaligen Ziehen ohne Zurücklegen mindestens ein Ass dabei ist?

In einer Spielshow gibt es drei Türen. Hinter einer steht ein Auto, hinter den anderen beiden je eine Ziege. Du wählst Tür 1. Der Moderator, der weiß, wo das Auto steht, öffnet eine andere Tür mit einer Ziege und bietet dir an zu wechseln.

a) Wie wahrscheinlich ist es, dass das Auto hinter deiner gewählten Tür steht?
b) Wie wahrscheinlich gewinnst du, wenn du bei deiner Tür bleibst?
c) Wie wahrscheinlich gewinnst du, wenn du wechselst? Begründe mit einem Baumdiagramm oder mit Fällen.
d) Simuliere im Kopf: Bei \(30\) Spielen mit der Wechselstrategie, wie oft erwartest du ein Auto?