Wachstum und Zerfall – Mathe Klasse 9 Arbeitsblatt Lösungen zum Herunterladen als PDF

← Zurück zu den Aufgaben

1. Lösung zu Aufgabe 1

   a) Pflanze: \(4,7,10,13,16\). Bakterien: \(4,8,16,32,64\). Bei der Pflanze addiert man jede Woche 3 cm, bei den Bakterien verdoppelt man jede Woche.
   b) Die Pflanze wächst linear (immer \(+3\)), die Bakterien exponentiell (immer \(\cdot2\)). Man prüft die Differenzen (immer 3) und die Quotienten (immer 2) aufeinanderfolgender Werte.
   c) Woche 1: \(7\) gegen \(8\): Die Bakterien sind schon nach \(1\) Woche größer. Exponentielles Wachstum überholt lineares Wachstum früher oder später immer.

2. Lösung zu Aufgabe 2

   a) \(q=1{,}05\); \(0{,}88\); \(2\); \(0{,}5\); \(1{,}005\). Bei einer Zunahme addiert man den Prozentsatz als Dezimalzahl zu 1, bei einer Abnahme subtrahiert man ihn von 1.
   b) \(q=1{,}08\): \(+8\,\%\); \(q=0{,}95\): \(-5\,\%\); \(q=1{,}5\): \(+50\,\%\). Umgekehrt liest man den Prozentsatz am Abstand des Faktors von 1 ab.
   c) \(1{,}1\cdot1{,}2=1{,}32\), das sind \(+32\,\%\), nicht \(+30\,\%\). Zwei Änderungen nacheinander werden durch Multiplikation der Faktoren verknüpft, nicht durch Addition der Prozentsätze.

3. Lösung zu Aufgabe 3

   a) \(400\cdot1{,}03=412{,}00\) €; \(400\cdot1{,}03^2=424{,}36\) €; \(1{,}03^5\): \(463{,}71\) €; \(1{,}03^{10}\): \(537{,}57\) €. Jedes Jahr wird das Guthaben mit dem Faktor 1,03 multipliziert; nach \(t\) Jahren also mit \(1{,}03^t\).
   b) \(K(t)=400\cdot1{,}03^t\) (mit \(t\) in Jahren). Anfangswert 400 €, Wachstumsfaktor 1,03.
   c) \(537{,}57-400=137{,}57\) €. Die Zinsen sind die Differenz zwischen Endguthaben und Anfangsbetrag.
   d) \(10\cdot12=120\) €, also nur \(520\) €. Der Zinseszins bringt \(17{,}57\) € mehr. Ohne Zinseszins gäbe es jedes Jahr nur \(400\cdot0{,}03=12\) € Zinsen.

4. Lösung zu Aufgabe 4

   a) \(80\cdot0{,}9=72{,}0\); \(80\cdot0{,}9^2=64{,}80\); \(80\cdot0{,}9^3=58{,}32\); \(80\cdot0{,}9^6=42{,}52\) (in mg). Bei 10 % Abnahme bleibt jede Stunde der Faktor 0,9 übrig.
   b) \(m(t)=80\cdot0{,}9^t\). Anfangswert 80 mg, Abnahmefaktor 0,9.
   c) \(0{,}9^6\approx0{,}531\), also etwa \(53\,\%\). Man teilt die Restmenge durch die Anfangsmenge.
   d) \(0{,}9^6=0{,}531\), \(0{,}9^7=0{,}478<0{,}5\): nach \(7\) Stunden. Man probiert ganze Stunden, bis der Faktor unter 0,5 liegt. Antwort: Nach 7 Stunden ist weniger als die Hälfte übrig.

5. Lösung zu Aufgabe 5

   a) \(N(t)=250\cdot1{,}2^t\); \(N(4)=250\cdot2{,}0736=518{,}40\). Zunahme um 20 % bedeutet \(q=1{,}2\).
   b) \(N(t)=1000\cdot0{,}92^t\); \(N(5)=659{,}08\). Abnahme um 8 % bedeutet \(q=0{,}92\).
   c) \(q^2=\frac{64{,}8}{40}=1{,}62\), \(q=\sqrt{1{,}62}\approx1{,}273\), also etwa \(+27{,}3\,\%\). In zwei Zeitschritten wird mit \(q^2\) multipliziert; man teilt End- durch Anfangswert und zieht die Wurzel.
   d) \(q=\frac{405}{500}=0{,}81\), also \(-19\,\%\). Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Werte ist der Faktor; \(1-0{,}81=0{,}19\).

6. Lösung zu Aufgabe 6

   a) A: Differenz \(+3\): linear, \(y=5+3x\). B: Quotient \(2\): exponentiell, \(y=5\cdot2^x\). C: Quotient \(0{,}9\): exponentiell, \(y=100\cdot0{,}9^x\). D: Differenz \(-10\): linear, \(y=100-10x\). Bei linearen Tabellen ist die Differenz die Steigung, bei exponentiellen ist der Quotient der Faktor; der Wert bei \(x=0\) ist der Anfangswert.
   b) \(5\cdot2^6=320\). Man setzt \(x=6\) in den Term von Tabelle B ein.
   c) \(100-10x=0\), \(x=10\). (Bei C wird der Wert nie null.) Bei der linearen Abnahme wird irgendwann null erreicht, bei der exponentiellen Abnahme nie, weil immer ein Anteil übrig bleibt.

7. Lösung zu Aufgabe 7

   a) \(2500\cdot1{,}024^5\approx2814{,}75\) €. Wachstumsfaktor 1,024; Anfangswert 2500 €.
   b) \(K_5-2500\approx314{,}75\) €. Die Zinsen sind Endwert minus Anfangswert.
   c) \(1{,}024^{29}\approx1{,}989\) (knapp unter \(2\)), \(1{,}024^{30}\approx2{,}037\). Nach etwa \(30\) Jahren. Man probiert, bis \(1{,}024^n\) den Wert 2 erreicht. Die Faustregel \(72:2{,}4=30\) bestätigt das Ergebnis.
   d) \(2500\cdot1{,}024^{20}\approx4017{,}35\) €. Antwort: Nach 20 Jahren sind es etwa 4017 €.

8. Lösung zu Aufgabe 8

   a) \(92\,\%\); \(0{,}92^3\approx77{,}9\,\%\); \(0{,}92^5\approx65{,}9\,\%\). Jedes Jahr bleibt der Faktor 0,92; man rechnet die Potenzen in Prozent um.
   b) \(0{,}92^8\approx0{,}513\), \(0{,}92^9\approx0{,}472\): nach \(9\) Jahren. Man probiert ganze Jahre, bis der Faktor unter 0,5 liegt.
   c) \(4500\cdot0{,}92^4\approx3224\) mAh. Man multipliziert die Anfangskapazität mit \(0{,}92^4\).
   d) \(1-0{,}7164=0{,}2836\), also etwa \(28{,}4\,\%\) (nicht \(4\cdot8=32\,\%\)). Der Verlust in vier Jahren ist \(1-0{,}92^4\); er ist kleiner als \(4\cdot8\,\%\), weil sich der Verlust jedes Jahr auf einen kleineren Wert bezieht.

9. Lösung zu Aufgabe 9

   a) \(120\,000\cdot1{,}015^5\approx129\,300\); \(10\): \(139\,300\); \(15\): \(150\,000\); \(20\): \(161\,600\). Man multipliziert die Einwohnerzahl mit \(1{,}015^t\) und rundet auf Hunderter.
   b) \(1{,}015^{15}=1{,}2502\) (\(\ge1{,}25\)), \(1{,}015^{14}=1{,}2318\): im \(15.\) Jahr (nach \(15\) Jahren). Die Stadt ist um 25 % gewachsen, wenn der Faktor \(1{,}25\) erreicht ist.
   c) \(N(20)-N(19)=2389\). Der Zuwachs im 20. Jahr ist die Differenz der Werte nach 20 und nach 19 Jahren.
   d) \(120\,000+20\cdot1800=156\,000\); exponentiell: \(161\,600\). Exponentiell wächst später mehr. Beim linearen Modell kommen jedes Jahr gleich viele hinzu (1,5 % von 120000 = 1800).

10. Lösung zu Aufgabe 10

    a) \(200\); \(100\); \(50\) (mg). Nach jeder Halbwertszeit (6 h) halbiert sich die Menge.
    b) \(400\cdot0{,}5^{1{,}5}\approx141{,}4\) mg. 9 Stunden sind 1,5 Halbwertszeiten, deshalb rechnet man mit \(0{,}5^{1{,}5}\).
    c) \(q=0{,}5^{1/6}\approx0{,}8909\), also etwa \(-10{,}9\,\%\) pro Stunde. Der Stundenfaktor ist die sechste Wurzel aus 0,5; \(1-0{,}8909\approx0{,}109\).
    d) Nach \(5\) Halbwertszeiten (\(30\) h): \(400\cdot0{,}5^5=12{,}5\) mg; nach \(6\) (\(36\) h): \(6{,}25\) mg. Also zwischen \(30\) h und \(36\) h; genau: \(6\cdot\frac{\ln40}{\ln2}\approx31{,}9\) h. Man probiert ganze Halbwertszeiten und grenzt das Ergebnis ein.

11. Lösung zu Aufgabe 11

    a) \(40\), \(20\), \(10\), \(5\) (g). Alle 8 Tage halbiert sich die Menge.
    b) \(80\cdot0{,}5^{2{,}5}\approx14{,}14\) g. 20 Tage sind 2,5 Halbwertszeiten.
    c) \(q=0{,}5^{1/8}\approx0{,}9170\), also etwa \(-8{,}3\,\%\) pro Tag. Der Tagesfaktor ist die achte Wurzel aus 0,5.
    d) \(80\cdot0{,}5^n<1\) für \(n=7\) (\(0{,}625\) g): nach \(56\) Tagen. (\(n=6\): \(1{,}25\) g) Man halbiert so lange, bis weniger als 1 g übrig ist; das sind 7 Halbwertszeiten.

12. Lösung zu Aufgabe 12

    a) \(2,4,8,16,32,64\). Jeden Tag verdoppelt sich die Fläche.
    b) Tag \(5\): \(64\), Tag \(6\): \(128>100\). Am \(6.\) Tag. Am 6. Tag würde die Fläche die ganze Scheibe übersteigen; die Scheibe ist also am 6. Tag vollständig bedeckt.
    c) \(32\,\mathrm{cm}^2\), also \(32\,\%\). Man teilt die Schimmelfläche durch die Brotfläche von 100 cm².
    d) Davor \(32\,\mathrm{cm}^2\) (die Hälfte), danach \(128\,\mathrm{cm}^2\) (das Doppelte). Beim exponentiellen Wachstum ist die Fläche einen Tag vorher immer halb so groß und einen Tag später doppelt so groß.

13. Lösung zu Aufgabe 13

    a) Video 1: \(500,700,980,1372,1921\) (gerundet). Video 2: \(500,1400,2300,3200,4100\). Video 1 wird jeden Tag mit 1,4 multipliziert, Video 2 bekommt jeden Tag 900 Aufrufe dazu.
    b) Video 1 hat nach \(5\) Tagen \(500\cdot1{,}4^5\approx2689\); Video 2 hat \(500+5\cdot900=5000\). Das lineare Video liegt vorn. Anfangs ist das lineare Wachstum mit großen Zuwächsen schneller.
    c) \(n=8\): \(500\cdot1{,}4^8\approx7379\) gegen \(500+7200=7700\); \(n=9\): \(500\cdot1{,}4^9\approx10\,331\) gegen \(8600\). Ab dem \(10.\) Tag (\(n=9\)) liegt das exponentielle Video vorn. Man vergleicht Tag für Tag, bis das exponentielle Video vorne liegt.
    d) \(f_1(n)=500\cdot1{,}4^n\) und \(f_2(n)=500+900n\). Hier zählt \(n\) die Tage nach dem ersten Tag.

14. Lösung zu Aufgabe 14

    a) Einen Verdopplungsschritt vorher: nach \(27\) Tagen. Wenn der Teich am Tag 30 voll ist, war er drei Tage vorher, also vor einer Verdopplung, halb voll.
    b) Bis zum Tag \(30\) fehlen \(30-24=6\) Tage, das sind \(2\) Verdopplungsschritte; also waren es \(\frac14=25\,\%\). Rückwärts wird bei jedem Schritt halbiert: \(\frac12\cdot\frac12=\frac14\).
    c) \(12{,}5\,\%=\frac18\): \(3\) Schritte vor \(30\), also nach \(21\) Tagen. Drei Halbierungen ergeben ein Achtel.
    d) In den ersten Wochen sieht man kaum etwas; die letzten Verdopplungen füllen den Teich schlagartig. Menschen schätzen exponentielles Wachstum meist zu niedrig ein. Das ist ein typisches Merkmal exponentiellen Wachstums.

15. Lösung zu Aufgabe 15

    a) \(28\,000\cdot0{,}85=23\,800\); \(\cdot0{,}9=21\,420\); \(\cdot0{,}9=19\,278\); \(\cdot0{,}9=17\,350\) (€). Im ersten Jahr ist der Faktor 0,85, danach jeweils 0,9.
    b) \(\frac{17350}{28000}\approx62{,}0\,\%\). Man teilt den Wert nach 4 Jahren durch den Neupreis.
    c) \(23\,800\cdot0{,}9^n<10\,000\): \(n=8\): \(10\,245\); \(n=9\): \(9221\). Also nach \(1+9=10\) Jahren. Man rechnet ab dem Wert nach einem Jahr weiter und probiert ganze Jahre; zum Schluss addiert man das erste Jahr.
    d) Der Modellwert ist etwa \(17\,350\) €. Mit \(18\,000\) € liegt der Preis etwa \(650\) € darüber. Der Händler verlangt also etwas mehr als den rechnerischen Wert.

16. Lösung zu Aufgabe 16

    a) \(A(t)=50\,000+1200\,t\); \(B(t)=40\,000\cdot1{,}025^t\). Stadt A wächst linear (Addition), Stadt B exponentiell (Faktor 1,025).
    b) \(t=10\): \(A=62\,000\), \(B=51\,203\); \(t=20\): \(A=74\,000\), \(B=65\,545\); \(t=30\): \(A=86\,000\), \(B=83\,903\). Man setzt die Jahre in beide Terme ein.
    c) \(t=32\): \(A=88\,400\), \(B=88\,150\); \(t=33\): \(A=89\,600\), \(B=90\,354\). Ab dem Jahr \(33\) ist B größer. Man probiert Jahre in der Nähe von 30, bis B größer ist als A.
    d) A wächst jedes Jahr gleich stark, B wächst anfangs langsamer, aber sein Zuwachs steigt jedes Jahr, sodass B A irgendwann überholt. Der Zuwachs von B wächst, weil 2,5 % von einer immer größeren Zahl berechnet werden.

17. Lösung zu Aufgabe 17

    a) \(80\cdot0{,}5=40\) mg. Nach 5 Stunden, also einer Halbwertszeit, ist die Hälfte abgebaut.
    b) \(40+80=120\) mg. Um 13 Uhr kommt die zweite Tasse zu den restlichen 40 mg hinzu.
    c) Erste Tasse: \(80\cdot0{,}5^2=20\) mg; zweite: \(80\cdot0{,}5=40\) mg; zusammen \(60\) mg. Um 18 Uhr ist die erste Tasse zwei Halbwertszeiten alt, die zweite eine.
    d) Erste: \(80\cdot0{,}5^3=10\) mg; zweite: \(80\cdot0{,}5^2=20\) mg; zusammen \(30\) mg. Das ist noch ein Viertel der Spitzenmenge. Um 23 Uhr ist noch so viel Koffein im Blut, wie eine halbe Tasse liefert.

18. Lösung zu Aufgabe 18

    a) \(8\cdot2^2=32\); \(8\cdot2^4=128\); \(8\cdot2^7=1024\). Alle 4 Tage verdoppelt sich die Fallzahl; nach 28 Tagen sind es 7 Verdopplungen.
    b) \(q=2^{0{,}25}\approx1{,}1892\), also etwa \(+18{,}9\,\%\) pro Tag. Der Tagesfaktor ist die vierte Wurzel aus 2.
    c) \(8\cdot2^n>1000\), \(2^n>125\): \(2^6=64\), \(2^7=128\), also \(n=7\) Verdopplungen, also nach \(28\) Tagen. Man probiert Zweierpotenzen, bis \(2^n\) über 125 liegt.
    d) \(1024\cdot0{,}5^n<10\): \(0{,}5^n<0{,}00977\), \(n=7\) (\(\frac{1024}{128}=8\)): nach \(7\cdot6=42\) Tagen. Man halbiert so lange, bis weniger als 10 Fälle übrig sind.

19. Lösung zu Aufgabe 19

    a) A: \(5000\cdot1{,}02^{10}=6094{,}97\); \(20\): \(7429{,}74\); \(40\): \(11\,040{,}20\). B: \(6000\); \(7000\); \(9000\). Bank A rechnet mit Zinseszins (\(1{,}02^t\)), Bank B addiert jedes Jahr 100 €.
    b) Ab dem ersten Jahr sind es mit A \(5100\) gegen \(5100\) (gleich), ab dem zweiten Jahr liegt A vorn (\(5202\) gegen \(5200\)). Im ersten Jahr sind beide gleich, danach bringen die Zinseszinsen bei A einen Vorsprung.
    c) \(1{,}02^{35}=2{,}000\), \(1{,}02^{36}=2{,}040\): nach \(36\) Jahren. Verdopplung bedeutet \(1{,}02^n\ge2\). Die Faustregel liefert \(72:2=36\) Jahre.
    d) A bringt \(2429{,}74\) € in \(20\) Jahren; \(\frac{2429{,}74}{20}\approx121{,}49\) € pro Jahr, also etwa \(2{,}43\,\%\) von \(5000\) €. Der durchschnittliche jährliche Ertrag von A liegt über dem Zinssatz, weil auch die Zinsen verzinst werden.

20. Lösung zu Aufgabe 20

    a) \(1{,}07^{10}\approx1{,}967\), \(1{,}07^{11}\approx2{,}105\): zwischen \(10\) und \(11\) Jahren. Man probiert Jahre, bis der Faktor 2 übersteigt.
    b) \(3\,\%\): \(\frac{\ln2}{\ln1{,}03}\approx23{,}4\); \(5\,\%\): \(\approx14{,}2\); \(7\,\%\): \(\approx10{,}2\) Jahre. Man setzt in die Formel mit dem Logarithmus ein.
    c) \(\frac{72}3=24\); \(\frac{72}5=14{,}4\); \(\frac{72}7\approx10{,}3\). Die Faustregel liegt sehr nah. Die Faustregel liefert fast dieselben Werte wie die genaue Formel.
    d) \(0{,}9^n=0{,}5\): \(n=\frac{\ln0{,}5}{\ln0{,}9}\approx6{,}6\) Schritte (Probe: \(0{,}9^6=0{,}531\), \(0{,}9^7=0{,}478\)). Hier geht es um die Halbwertszeit: Man setzt \(q^n=0{,}5\).