Quadratwurzeln und reelle Zahlen – Mathe Klasse 9 Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Die Quadratwurzel \(\sqrt a\) ist die nichtnegative Zahl, deren Quadrat \(a\) ergibt. Berechne ohne Taschenrechner.

a) \(\sqrt{64}\)
b) \(\sqrt{0{,}49}\)
c) \(\sqrt{\frac9{16}}\)
d) \(\sqrt{169}\)
e) \(\sqrt{0{,}0004}\)

Wer die Quadratzahlen kennt, rechnet mit Wurzeln viel schneller.

a) Ergänze die Quadratzahlen.
b) Welche Zahlen sind keine Quadratzahlen: \(80\), \(81\), \(121\), \(150\), \(225\), \(1000\)?
c) Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt \(\sqrt{200}\)?

Ist \(a\) keine Quadratzahl, ist \(\sqrt a\) irrational. Du kannst die Wurzel durch Einschachteln eingrenzen.

a) Zwischen welchen ganzen Zahlen liegen \(\sqrt{20}\), \(\sqrt7\) und \(\sqrt{50}\)?
b) Schachtele \(\sqrt{10}\) auf eine Nachkommastelle ein: \(3{,}1^2\) und \(3{,}2^2\).
c) Bestimme \(\sqrt{20}\), \(\sqrt7\), \(\sqrt{50}\) und \(\sqrt{200}\) mit dem Taschenrechner (zwei Nachkommastellen).

Die Gleichung \(x^2=a\) mit \(a>0\) hat die zwei Lösungen \(x=\pm\sqrt a\).

a) \(x^2=144\)
b) \(x^2=2{,}25\)
c) \(x^2=5\)
d) \(2x^2=50\)
e) \(x^2+9=0\)

Es gilt \(\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}\) und \(\frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\frac ab}\) für \(a,b\ge0\), aber \(\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b\). Vereinfache.

a) \(\sqrt3\cdot\sqrt{12}\)
b) \(\frac{\sqrt{72}}{\sqrt2}\)
c) \(\sqrt{4\cdot25}\)
d) \(\sqrt{18}\cdot\sqrt2\)
e) Zeige am Beispiel \(a=9,b=16\), dass \(\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b\).

Zerlege den Radikanden in einen Quadratzahl-Faktor und einen Rest: \(\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt3\).

a) \(\sqrt{48}\)
b) \(\sqrt{75}\)
c) \(\sqrt{200}\)
d) \(\sqrt{98}\)
e) \(\sqrt{0{,}12}\cdot\sqrt{100}\)

Gleichartige Wurzeln addierst du wie Variablen: \(3\sqrt5+2\sqrt5=5\sqrt5\). Manchmal musst du zuerst teilweise Wurzelziehen.

a) \(3\sqrt5+2\sqrt5-\sqrt5\)
b) \(4\sqrt2-\sqrt8\)
c) \(\sqrt{27}+\sqrt{12}\)
d) \(\sqrt{50}-\sqrt{18}+\sqrt2\)

Die binomischen Formeln gelten auch für Wurzeln. Multipliziere aus und vereinfache.

a) \((\sqrt5+2)(\sqrt5-2)\)
b) \((\sqrt3+1)^2\)
c) \((2-\sqrt2)^2\)
d) \((\sqrt7-\sqrt3)(\sqrt7+\sqrt3)\)

Brüche mit Wurzeln im Nenner erweiterst du so, dass der Nenner rational wird: \(\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\). Bei \(a-\sqrt b\) hilft die dritte binomische Formel.

a) \(\frac{6}{\sqrt3}\)
b) \(\frac{10}{\sqrt5}\)
c) \(\frac1{\sqrt5-2}\)
d) \(\frac{3}{\sqrt7+2}\)

Rationale Zahlen lassen sich als Bruch schreiben und haben abbrechende oder periodische Dezimalbrüche. Irrationale Zahlen nicht.

a) Fülle die Tabelle aus.
b) Nenne eine rationale Zahl zwischen \(\sqrt2\) und \(\sqrt3\).
c) Ist \(\sqrt2\cdot\sqrt8\) rational?

Ein quadratisches Grundstück ist \(500\,\mathrm{m}^2\) groß. Der Zaun kostet \(24\) € pro Meter.

a) Berechne die Seitenlänge.
b) Berechne den Umfang und die Zaunkosten.
c) Ein zweites Quadrat hat die doppelte Fläche (\(1000\,\mathrm{m}^2\)). Um welchen Faktor ist die Seite länger?
d) Wie lang muss die Seite sein, damit die Fläche \(1\) Hektar (\(10\,000\,\mathrm{m}^2\)) beträgt?

Eine quadratische Fliese hat die Seitenlänge \(a\). Die Diagonale ist \(d=a\sqrt2\).

a) Berechne \(d\) für \(a=5\) m.
b) Eine Fliese hat \(30\) cm Seitenlänge. Wie lang ist die Diagonale?
c) Die Diagonale einer Fliese ist \(50\) cm. Wie lang ist die Seite? (Nenner rational machen)
d) Wie groß ist die Fläche der Fliese aus c)?

Die Schwingungsdauer eines Fadenpendels der Länge \(l\) ist \(T=2\pi\sqrt{\frac lg}\) mit \(g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}\).

a) Ergänze die Tabelle (zwei Nachkommastellen).
b) Was passiert mit \(T\), wenn die Länge \(l\) auf ein Viertel verkürzt wird?
c) Wie lang muss das Pendel sein, damit \(T=2\) s beträgt? Stelle die Formel um.
d) Auf dem Mond ist \(g=1{,}62\,\mathrm{m/s^2}\). Wie groß ist \(T\) bei \(l=1\) m?

Ein Gegenstand fällt aus der Höhe \(h\) in der Zeit \(t=\sqrt{\frac{2h}{g}}\) mit \(g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}\) (ohne Luftwiderstand).

a) Berechne die Fallzeiten.
b) Mit welcher Geschwindigkeit \(v=g\cdot t\) taucht der Springer vom Zehnmeterturm ein (in m/s und km/h)?
c) Aus welcher Höhe fällt ein Stein in \(3\) s?
d) Warum dauert der Fall aus \(40\) m nur etwa doppelt so lange wie aus \(10\) m?

Zwei quadratische Beete haben die Flächen \(50\,\mathrm{m}^2\) und \(72\,\mathrm{m}^2\). Die Seiten sollen exakt mit Wurzeln angegeben werden.

a) Gib die Seitenlängen vereinfacht an.
b) Berechne die Summe der Seiten.
c) Berechne den Unterschied der Seitenlängen und das Produkt der Seiten.
d) Wie groß ist die Fläche eines Quadrats, dessen Seite so lang ist wie die Summe der beiden Seiten?

Ein Rasenstück soll \(100\,\mathrm{m}^2\) groß sein. Du kannst es kreisförmig oder quadratisch anlegen. Der Rasenkantenstein kostet \(8\) € pro Meter.

a) Berechne Radius und Umfang des Kreises.
b) Berechne Seite und Umfang des Quadrats.
c) Welche Form braucht weniger Randstein, und wie viel spart sie?
d) Berechne die Kosten für beide Formen.

Von einem erhöhten Standpunkt der Höhe \(h\) (in m) sieht man bei guter Sicht auf dem Meer etwa \(d\approx3{,}57\cdot\sqrt h\) Kilometer weit.

a) Berechne die Sichtweite für alle vier Standorte.
b) Wie hoch muss der Standort sein, damit man \(50\) km weit sieht?
c) Um welchen Faktor muss die Höhe wachsen, damit man doppelt so weit sieht?

Das Heron-Verfahren nähert \(\sqrt a\) an: Man startet mit einem Schätzwert \(x_0\) und berechnet \(x_{n+1}=\frac12(x_n+\frac a{x_n})\). Berechne \(\sqrt2\) mit \(x_0=1{,}5\).

a) Berechne \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) (sechs Nachkommastellen).
b) Vergleiche mit \(\sqrt2\) vom Taschenrechner.
c) Berechne \(x_1\) für \(\sqrt{10}\) mit \(x_0=3\).
d) Warum liegt \(x_{n+1}\) immer zwischen \(x_n\) und \(\frac a{x_n}\)?

Bei einer Wurzelgleichung isolierst du die Wurzel und quadrierst. Weil Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, machst du immer die Probe.

a) \(\sqrt{2x-1}=3\)
b) \(\sqrt x+3=7\)
c) \(\sqrt{x+5}=x-1\)
d) \(\sqrt{x}=-2\)

Die Griechen entdeckten, dass die Diagonale eines Einheitsquadrats nicht als Bruch geschrieben werden kann. Du folgst ihrem Widerspruchsbeweis.

a) Nimm an, \(\sqrt2=\frac pq\) mit gekürztem Bruch. Zeige \(p^2=2q^2\).
b) Folgere, dass \(p\) und dann auch \(q\) gerade sind. Was ist der Widerspruch?
c) Schachtele \(\sqrt2\) mit \(1{,}41\) und \(1{,}42\) ein.
d) Berechne \((\sqrt2+\sqrt3)^2\). Ist \(\sqrt2+\sqrt3=\sqrt5\)?