Quadratwurzeln und reelle Zahlen – Mathe Klasse 9 Arbeitsblatt Lösungen zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1

   Bei jeder Teilaufgabe suchst du die nichtnegative Zahl, die mit sich selbst multipliziert den Radikanden ergibt. Die Probe durch Quadrieren zeigt, ob das Ergebnis stimmt.
   a) \(8^2=64\), also \(\sqrt{64}=8\).
   b) \(0{,}7^2=0{,}49\), also \(\sqrt{0{,}49}=0{,}7\). Bei Dezimalzahlen halbiert sich die Anzahl der Nachkommastellen.
   c) \(\sqrt{\frac9{16}}=\frac34=0{,}75\). Man zieht die Wurzel aus Zähler und Nenner getrennt.
   d) \(13^2=169\), also \(\sqrt{169}=13\).
   e) \(0{,}02^2=0{,}0004\), also \(\sqrt{0{,}0004}=0{,}02\). Aus vier Nachkommastellen werden zwei.

2. Lösung zu Aufgabe 2

   a) \(121,144,169,196,225,256,625\). Diese Quadratzahlen sollte man auswendig kennen; jede entsteht durch \(n\cdot n\).
   b) Keine Quadratzahlen: \(80\), \(150\), \(1000\). Quadratzahlen sind \(81=9^2\), \(121=11^2\), \(225=15^2\). Eine Quadratzahl ist das Quadrat einer natürlichen Zahl. Zwischen \(8^2=64\) und \(9^2=81\) liegt die 80, also ist sie keine Quadratzahl; ebenso liegt 150 zwischen 144 und 169.
   c) \(14^2=196<200<225=15^2\), also \(14<\sqrt{200}<15\) (\(\sqrt{200}\approx14{,}14\)). Man sucht die beiden benachbarten Quadratzahlen, zwischen denen 200 liegt. Die Wurzel liegt dann zwischen deren Wurzeln.

3. Lösung zu Aufgabe 3

   a) \(4<\sqrt{20}<5\); \(2<\sqrt7<3\); \(7<\sqrt{50}<8\). Man sucht jeweils die nächstkleinere und die nächstgrößere Quadratzahl: \(16<20<25\), \(4<7<9\) und \(49<50<64\).
   b) \(3{,}1^2=9{,}61<10<10{,}24=3{,}2^2\), also \(3{,}1<\sqrt{10}<3{,}2\). Beim Einschachteln quadriert man Dezimalzahlen mit einer Nachkommastelle, bis der Radikand dazwischen liegt. Der nächste Schritt würde zwei Nachkommastellen liefern.
   c) \(\sqrt{20}\approx4{,}47\); \(\sqrt7\approx2{,}65\); \(\sqrt{50}\approx7{,}07\); \(\sqrt{200}\approx14{,}14\). Die Taschenrechnerwerte liegen jeweils in den Intervallen aus a) und b), das ist eine gute Kontrolle.

4. Lösung zu Aufgabe 4

   Für \(x^2=a\) mit \(a>0\) gibt es zwei Lösungen, denn sowohl \(\sqrt a\) als auch \(-\sqrt a\) ergeben quadriert \(a\).
   a) \(x=\pm12\). Probe: \(12^2=144\) und \((-12)^2=144\).
   b) \(x=\pm1{,}5\).
   c) \(x=\pm\sqrt5\approx\pm2{,}236\). Da 5 keine Quadratzahl ist, gibt man die Lösungen exakt mit Wurzel an.
   d) \(x^2=25\), also \(x=\pm5\). Zuerst wird durch 2 geteilt, dann die Wurzel gezogen.
   e) \(x^2=-9\): keine Lösung. Ein Quadrat ist nie negativ, deshalb ist die Lösungsmenge leer.

5. Lösung zu Aufgabe 5

   Man fasst zuerst mit den Wurzelgesetzen zu einer einzigen Wurzel zusammen und zieht dann die Wurzel aus der Quadratzahl.
   a) \(\sqrt{36}=6\). denn \(3\cdot12=36\).
   b) \(\sqrt{36}=6\). denn \(72:2=36\).
   c) \(2\cdot5=10\). Wurzel aus einem Produkt ist das Produkt der Wurzeln.
   d) \(\sqrt{36}=6\).
   e) \(\sqrt{25}=5\), aber \(\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7\). Dieses Beispiel zeigt: Bei Summen darf man die Wurzel nicht aufteilen.

6. Lösung zu Aufgabe 6

   Man sucht die größte Quadratzahl, die im Radikanden als Faktor steckt, und zieht nur aus ihr die Wurzel.
   a) \(\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt3\approx6{,}93\). Die Quadratzahl 16 ist der größte passende Faktor.
   b) \(\sqrt{25\cdot3}=5\sqrt3\approx8{,}66\).
   c) \(\sqrt{100\cdot2}=10\sqrt2\approx14{,}14\). Hier ist 100 der Quadratzahlfaktor.
   d) \(\sqrt{49\cdot2}=7\sqrt2\approx9{,}90\).
   e) \(\sqrt{12}=2\sqrt3\approx3{,}46\). Zuerst nach dem Wurzelgesetz zusammenfassen: \(\sqrt{0{,}12\cdot100}=\sqrt{12}\), danach teilweise Wurzel ziehen.

7. Lösung zu Aufgabe 7

   Nur Wurzeln mit gleichem Radikanden lassen sich zusammenfassen, genau wie gleichartige Terme \(3x+2x=5x\).
   a) \((3+2-1)\sqrt5=4\sqrt5\approx8{,}94\). Die Vorfaktoren werden addiert bzw. subtrahiert.
   b) \(\sqrt8=2\sqrt2\); \(4\sqrt2-2\sqrt2=2\sqrt2\approx2{,}83\). Erst nach dem teilweisen Wurzelziehen haben beide Summanden denselben Radikanden.
   c) \(3\sqrt3+2\sqrt3=5\sqrt3\approx8{,}66\). Es gilt \(\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}\) und \(\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}\).
   d) \(5\sqrt2-3\sqrt2+\sqrt2=3\sqrt2\approx4{,}24\). Alle drei Wurzeln werden auf \(\sqrt2\) zurückgeführt.

8. Lösung zu Aufgabe 8

   a) Dritte binomische Formel: \(5-4=1\). Es gilt \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) und \((\sqrt5)^2=5\). Das Ergebnis ist rational.
   b) \(3+2\sqrt3+1=4+2\sqrt3\approx7{,}46\). Nach der ersten binomischen Formel: \((\sqrt3)^2+2\cdot\sqrt3\cdot1+1^2\).
   c) \(4-4\sqrt2+2=6-4\sqrt2\approx0{,}34\). Nach der zweiten binomischen Formel: \(2^2-2\cdot2\cdot\sqrt2+(\sqrt2)^2\).
   d) \(7-3=4\). Wieder die dritte binomische Formel; die Wurzeln verschwinden vollständig.

9. Lösung zu Aufgabe 9

   a) \(\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3\approx3{,}46\). Man erweitert mit \(\sqrt3\), denn \(\sqrt3\cdot\sqrt3=3\); anschließend wird gekürzt.
   b) \(\frac{10\sqrt5}{5}=2\sqrt5\approx4{,}47\). Man erweitert mit \(\sqrt5\) und kürzt 10 gegen 5.
   c) \(\frac{\sqrt5+2}{(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)}=\frac{\sqrt5+2}{5-4}=\sqrt5+2\approx4{,}24\). Man erweitert mit \(\sqrt5+2\), damit im Nenner die dritte binomische Formel entsteht und die Wurzel verschwindet.
   d) \(\frac{3(\sqrt7-2)}{7-4}=\sqrt7-2\approx0{,}65\). Hier erweitert man mit \(\sqrt7-2\); der Nenner wird \(7-4=3\) und kürzt sich gegen die 3 im Zähler.

10. Lösung zu Aufgabe 10

    a) \(\sqrt9=3\): rational. \(\sqrt2\): irrational (nicht abbrechend, nicht periodisch). \(0{,}\overline3=\frac13\): rational. \(\pi\): irrational. \(-\frac57\): rational (Bruch). \(0{,}1010010001\dots\): irrational (nicht periodisch, immer längere Nullfolgen). Entscheidend ist die Dezimaldarstellung: abbrechend oder periodisch bedeutet rational, sonst irrational.
    b) \(\sqrt2\approx1{,}414\), \(\sqrt3\approx1{,}732\); zum Beispiel \(1{,}5=\frac32\). Zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen liegen immer unendlich viele rationale Zahlen; eine einfache Wahl ist ein Wert mit einer Nachkommastelle dazwischen.
    c) \(\sqrt{16}=4\): ja, rational. Da 16 eine Quadratzahl ist, ist die Wurzel eine ganze Zahl und damit rational.

11. Lösung zu Aufgabe 11

    a) \(a=\sqrt{500}=10\sqrt5\approx22{,}36\) m. Bei einem Quadrat gilt \(A=a^2\), also \(a=\sqrt A\). Antwort: Eine Seite ist etwa 22,36 m lang.
    b) \(U=4a\approx89{,}44\) m; Kosten \(\approx2146{,}56\) €. Den Umfang multipliziert man mit dem Meterpreis. Antwort: Der Zaun kostet etwa 2146,56 €.
    c) \(\frac{\sqrt{1000}}{\sqrt{500}}=\sqrt2\approx1{,}414\). Verdoppelt man die Fläche, so wächst die Seite nur mit dem Faktor \(\sqrt2\), also um etwa 41 %.
    d) \(a=\sqrt{10\,000}=100\) m. Ein Hektar sind \(10\,000\,\mathrm{m}^2\). Antwort: Die Seite ist genau 100 m lang.

12. Lösung zu Aufgabe 12

    a) \(d=5\sqrt2\approx7{,}07\) m. Antwort: Die Diagonale ist etwa 7,07 m lang.
    b) \(d=30\sqrt2\approx42{,}4\) cm. Antwort: Die Diagonale der Fliese ist etwa 42,4 cm lang.
    c) \(a=\frac{50}{\sqrt2}=25\sqrt2\approx35{,}4\) cm. Man stellt \(d=a\sqrt2\) nach \(a\) um und macht den Nenner rational. Antwort: Die Seite ist etwa 35,4 cm lang.
    d) \(A=a^2=(25\sqrt2)^2=1250\,\mathrm{cm}^2\); Kontrolle: \(\frac{d^2}{2}=\frac{2500}{2}=1250\,\mathrm{cm}^2\). Beide Wege liefern dieselbe Fläche, die Rechnung ist also bestätigt.

13. Lösung zu Aufgabe 13

    a) \(T(1)=2\pi\sqrt{\frac1{9{,}81}}\approx2{,}01\) s; \(T(0{,}25)\approx1{,}00\) s; \(T(2)\approx2{,}84\) s. Man setzt jede Länge in die Formel ein; zuerst wird der Bruch berechnet, dann die Wurzel, dann mit \(2\pi\) multipliziert.
    b) Die Schwingungsdauer halbiert sich, denn \(\sqrt{\frac14}=\frac12\) (\(2{,}01\) s \(\to\) \(1{,}00\) s). Viertelt man die Länge, so halbiert sich die Zeit, weil die Länge unter der Wurzel steht.
    c) \(l=g\cdot(\frac T{2\pi})^2=9{,}81\cdot(\frac{2}{2\pi})^2\approx0{,}994\) m. Man stellt nach \(l\) um: durch \(2\pi\) teilen, quadrieren, mit \(g\) multiplizieren. Antwort: Ein Sekundenpendel (\(T=2\) s) ist knapp 1 m lang.
    d) \(T=2\pi\sqrt{\frac1{1{,}62}}\approx4{,}94\) s. Auf dem Mond ist \(g\) kleiner, deshalb schwingt das Pendel langsamer. Antwort: etwa 4,94 s.

14. Lösung zu Aufgabe 14

    a) \(\sqrt{\frac{6}{9{,}81}}\approx0{,}78\) s; \(\sqrt{\frac{20}{9{,}81}}\approx1{,}43\) s; \(\sqrt{\frac{90}{9{,}81}}\approx3{,}03\) s. Man setzt die Höhen ein und rundet auf Hundertstel. Antwort: etwa 0,78 s, 1,43 s und 3,03 s.
    b) \(v=9{,}81\cdot1{,}43\approx14{,}0\) m/s \(\approx50\) km/h. Beim Zehnmeterturm beträgt die Fallzeit 1,43 s. Antwort: Man trifft mit etwa 50 km/h auf das Wasser.
    c) \(h=\frac12\cdot9{,}81\cdot3^2\approx44{,}1\) m. Man stellt die Formel nach \(h\) um: \(h=\frac12gt^2\). Antwort: Der Gegenstand fiel aus etwa 44 m Höhe.
    d) Die Zeit hängt von der Wurzel der Höhe ab: Das Vierfache der Höhe ergibt nur \(\sqrt4=2\)-mal so viel Zeit. Deshalb dauert der Fall vom 45-m-Kirchturm nicht 15-mal so lang wie vom 3-m-Brett, sondern nur knapp viermal so lang.

15. Lösung zu Aufgabe 15

    a) \(a=\sqrt{50}=5\sqrt2\approx7{,}07\) m; \(b=\sqrt{72}=6\sqrt2\approx8{,}49\) m. Man zerlegt \(50=25\cdot2\) und \(72=36\cdot2\) und zieht teilweise die Wurzel.
    b) \(5\sqrt2+6\sqrt2=11\sqrt2\approx15{,}56\) m. Beide Seiten enthalten \(\sqrt2\), deshalb lassen sie sich zusammenfassen.
    c) \(6\sqrt2-5\sqrt2=\sqrt2\approx1{,}41\) m; Produkt \(5\sqrt2\cdot6\sqrt2=30\cdot2=60\,\mathrm{m}^2\). Beim Produkt gilt \(\sqrt2\cdot\sqrt2=2\); das Ergebnis ist eine ganze Zahl.
    d) \((11\sqrt2)^2=121\cdot2=242\,\mathrm{m}^2\). Ein Quadrat mit der Summe der Seiten hat also 242 m², deutlich mehr als \(50+72=122\) m².

16. Lösung zu Aufgabe 16

    a) \(r=\sqrt{\frac{100}{\pi}}\approx5{,}64\) m; \(U=2\pi r\approx35{,}45\) m. Aus \(A=\pi r^2\) folgt \(r=\sqrt{\frac A\pi}\). Antwort: Radius etwa 5,64 m, Umfang etwa 35,45 m.
    b) \(a=\sqrt{100}=10\) m; \(U=40\) m. Antwort: Seite 10 m, Umfang 40 m.
    c) Der Kreis: \(40-35{,}45=4{,}55\) m weniger. Bei gleicher Fläche hat der Kreis den kleinsten Umfang aller Figuren.
    d) Kreis \(\approx283{,}60\) €, Quadrat \(320\) €. Man multipliziert die Umfänge mit 8 €. Antwort: Der Kreis ist etwa 36 € günstiger.

17. Lösung zu Aufgabe 17

    a) \(3{,}57\cdot6=21{,}4\) km; \(3{,}57\cdot10=35{,}7\) km; \(3{,}57\cdot18=64{,}3\) km; \(3{,}57\cdot\sqrt{1{,}6}\approx4{,}5\) km. Man zieht zuerst die Wurzel aus der Höhe (\(\sqrt{36}=6\), \(\sqrt{100}=10\), \(\sqrt{324}=18\)) und multipliziert dann mit 3,57.
    b) \(\sqrt h=\frac{50}{3{,}57}\approx14{,}0\), \(h\approx196\) m. Man stellt nach \(\sqrt h\) um und quadriert anschließend. Antwort: Man müsste etwa 196 m hoch stehen.
    c) Damit \(d\) doppelt so groß wird, muss \(\sqrt h\) doppelt so groß sein, also \(h\) viermal so groß. Beispiel: Vom Funkturm (100 m) sieht man 35,7 km weit, aus 400 m Höhe doppelt so weit.

18. Lösung zu Aufgabe 18

    a) \(x_1=\frac12(1{,}5+\frac2{1{,}5})\approx1{,}416667\); \(x_2\approx1{,}414216\); \(x_3\approx1{,}414214\). Jeder Schritt bildet den Mittelwert aus \(x_n\) und \(\frac2{x_n}\); die Werte nähern sich sehr schnell \(\sqrt2\).
    b) \(\sqrt2\approx1{,}414214\). Schon \(x_3\) stimmt auf sechs Stellen. Die Anzahl der richtigen Stellen verdoppelt sich ungefähr bei jedem Schritt.
    c) \(x_1=\frac12(3+\frac{10}3)\approx3{,}1667\); \(\sqrt{10}\approx3{,}1623\). Mit dem Startwert 3 liefert schon der erste Schritt zwei richtige Nachkommastellen.
    d) Ist \(x_n\) zu klein, ist \(\frac a{x_n}\) zu groß und umgekehrt (ihr Produkt ist \(a\)). Der Mittelwert liegt dazwischen und ist besser. Deshalb wird die Näherung mit jedem Schritt besser.

19. Lösung zu Aufgabe 19

    a) \(2x-1=9\), \(x=5\). Probe: \(\sqrt9=3\). Man quadriert beide Seiten und löst die lineare Gleichung. Die Probe bestätigt die Lösung.
    b) \(\sqrt x=4\), \(x=16\). Probe: \(4+3=7\). Zuerst wird die Wurzel isoliert, indem man 3 subtrahiert; dann wird quadriert.
    c) \(x+5=(x-1)^2=x^2-2x+1\), \(x^2-3x-4=0\), \(x=1{,}5\pm2{,}5\): \(x_1=4\), \(x_2=-1\). Probe: \(x=4\): \(\sqrt9=3=4-1\) richtig; \(x=-1\): \(\sqrt4=2\neq-2\), also falsch. Lösung: \(x=4\). Durch das Quadrieren ist eine Scheinlösung entstanden. Erst die Probe zeigt, dass nur \(x=4\) die Gleichung erfüllt.
    d) Eine Wurzel ist nie negativ: keine Lösung. Die Lösungsmenge ist leer; Quadrieren würde die falsche Lösung \(x=4\) liefern.

20. Lösung zu Aufgabe 20

    a) Quadrieren von \(\sqrt2=\frac pq\) ergibt \(2=\frac{p^2}{q^2}\), also \(p^2=2q^2\). Danach multipliziert man mit \(q^2\).
    b) \(p^2\) ist gerade, also ist \(p\) gerade: \(p=2k\). Dann \(4k^2=2q^2\), \(q^2=2k^2\), also ist auch \(q\) gerade. Der Bruch war aber gekürzt, \(p\) und \(q\) können nicht beide gerade sein: Widerspruch. Also ist \(\sqrt2\) irrational. Wäre \(p\) ungerade, wäre auch \(p^2\) ungerade. Dieser Widerspruch zur Annahme beweist die Behauptung.
    c) \(1{,}41^2=1{,}9881<2<2{,}0164=1{,}42^2\), also \(1{,}41<\sqrt2<1{,}42\). Man quadriert die Grenzen und vergleicht mit 2.
    d) \((\sqrt2+\sqrt3)^2=2+2\sqrt6+3=5+2\sqrt6\approx9{,}90\), das ist nicht \(5\). Also \(\sqrt2+\sqrt3\neq\sqrt5\) (\(3{,}15\) gegen \(2{,}24\)). Diese Rechnung zeigt erneut, dass man bei Summen die Wurzel nicht aufteilen darf.