Quadratische Gleichungen – Mathe Klasse 9 Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (4 BE/Punkte)

   a) Die Gleichung steht schon in Normalform mit \(p=-8\) und \(q=15\). pq-Formel: \(x=4\pm\sqrt{16-15}=4\pm1\), also \(x_1=5\) und \(x_2=3\) (2 P.). Probe mit dem Satz von Vieta: \(5+3=8=-p\) und \(5\cdot3=15=q\). Beide Bedingungen sind erfüllt.
   b) Hier fehlt das absolute Glied, deshalb ist Ausklammern schneller als jede Formel: \(2x^2-6x=2x(x-3)=0\) (1 P.). Ein Produkt ist genau dann null, wenn ein Faktor null ist: \(2x=0\) liefert \(x_1=0\), \(x-3=0\) liefert \(x_2=3\) (1 P.). Häufiger Fehler: durch \(x\) teilen, dann geht die Lösung \(0\) verloren. Antwort: \(\{3;5\}\) und \(\{0;3\}\).

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   a) Die Gleichung \(x^2=81\) ist reinquadratisch. Gesucht sind alle Zahlen, deren Quadrat \(81\) ist; das sind \(9\) und \(-9\), denn auch \((-9)^2=81\) (2 P.). Es gibt also zwei Lösungen, \(L=\{-9;9\}\). Wer nur \(9\) angibt, erhält einen Punkt.
   b) Für \(x^2+2x+3=0\) gilt \(p=2\), \(q=3\). Die Diskriminante unter der Wurzel der pq-Formel ist \(D=(\frac p2)^2-q=1-3=-2\) (1 P.). Weil \(D\lt0\) ist, lässt sich keine reelle Wurzel ziehen: Die Gleichung hat keine Lösung, \(L=\{\}\) (1 P.). Geometrisch: Die Parabel \(y=(x+1)^2+2\) liegt ganz oberhalb der \(x\)-Achse. Antwort: zwei Lösungen bzw. keine Lösung.

3. Lösung zu Aufgabe 3 (4 BE/Punkte)

   Achtung: Der Satz vom Nullprodukt gilt nur, wenn rechts \(0\) steht. Deshalb wird zuerst ausmultipliziert: \((x-2)(x+4)=x^2+4x-2x-8=x^2+2x-8\) (1 P.). Aus \(x^2+2x-8=7\) wird nach Subtraktion von \(7\) die Normalform \(x^2+2x-15=0\) (1 P.). pq-Formel mit \(p=2\), \(q=-15\): \(x=-1\pm\sqrt{1+15}=-1\pm4\), also \(x_1=3\) und \(x_2=-5\) (1 P.). Probe (1 P.): Für \(x=3\) ergibt sich \((3-2)(3+4)=1\cdot7=7\). Für \(x=-5\) ergibt sich \((-7)\cdot(-1)=7\). Beide Lösungen erfüllen die Ausgangsgleichung. Antwort: \(L=\{-5;3\}\).

4. Lösung zu Aufgabe 4 (5 BE/Punkte)

   a) Der Weg der Breite \(x\) liegt auf allen vier Seiten, daher wächst jede Rasenseite um \(2x\). Gesamtfläche: \((12+2x)(8+2x)=165\) (1 P.). Ausmultiplizieren: \(96+24x+16x+4x^2=165\), also \(4x^2+40x-69=0\); durch \(4\) geteilt: \(x^2+10x-17{,}25=0\) (1 P.).
   b) pq-Formel: \(x=-5\pm\sqrt{25+17{,}25}=-5\pm\sqrt{42{,}25}=-5\pm6{,}5\). Es ergeben sich \(1{,}5\) und \(-11{,}5\); eine Breite kann nicht negativ sein, also ist \(x=1{,}5\) m (2 P.). Probe: \(15\cdot11=165\).
   c) Wegfläche gleich Gesamtfläche minus Rasen: \(165-12\cdot8=165-96=69\,\mathrm{m}^2\) (1 P.). Antwort: Der Weg ist \(1{,}5\) m breit und hat \(69\,\mathrm{m}^2\) Fläche.

5. Lösung zu Aufgabe 5 (3 BE/Punkte)

   Ansatz: Die kleinere Zahl heißt \(n\), die größere ist dann \(n+4\). Ihr Produkt ergibt \(n(n+4)=117\) (1 P.). Ausmultiplizieren und umstellen führt auf \(n^2+4n-117=0\). Mit der pq-Formel (\(p=4\), \(q=-117\)) erhält man \(n=-2\pm\sqrt{4+117}=-2\pm11\), also \(n=9\) oder \(n=-13\) (1 P.). Gesucht sind natürliche Zahlen, deshalb scheidet \(-13\) aus; die zweite Zahl ist \(9+4=13\) (1 P.). Probe: \(13-9=4\) und \(9\cdot13=117\). Bemerkung: Die negative Lösung würde das Zahlenpaar \(-13\) und \(-9\) liefern, das zwar rechnerisch passt, aber keine natürlichen Zahlen enthält. Antwort: Die Zahlen sind \(9\) und \(13\).

Gesamt : 20 Punkte