Potenzen und Potenzgesetze – Mathe Klasse 9 Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (4 BE/Punkte)

   a) Ein negativer Exponent bedeutet den Kehrwert: \(2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac18=0{,}125\) (1 P.).
   b) Fünf Faktoren \(-2\) werden multipliziert; bei einer ungeraden Anzahl negativer Faktoren ist das Produkt negativ: \((-2)^5=-32\) (1 P.).
   c) Zuerst den Bruch umdrehen, dann quadrieren: \((\frac23)^{-2}=(\frac32)^2=\frac94=2{,}25\) (1 P.).
   d) Jede Zahl ungleich null hoch null ergibt \(1\), und \(10^{-1}=\frac1{10}=0{,}1\). Zusammen: \(7^0+10^{-1}=1+0{,}1=1{,}1\) (1 P.). Häufiger Fehler bei d): \(7^0=0\) zu schreiben. Antwort: \(0{,}125\); \(-32\); \(2{,}25\); \(1{,}1\).

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   a) Alle drei Faktoren haben dieselbe Basis \(a\). Nach dem ersten Potenzgesetz werden die Exponenten addiert: \(a^5\cdot a^{-2}\cdot a^3=a^{5+(-2)+3}=a^6\) (2 P.: 1 P. Gesetz, 1 P. Ergebnis). Der negative Exponent stört nicht, er wird einfach mit seinem Vorzeichen addiert.
   b) Zuerst wird die Klammer potenziert, dabei wird jeder Faktor einzeln quadriert: \((2x^3)^2=2^2\cdot(x^3)^2=4x^6\). Beim Potenzieren einer Potenz werden die Exponenten multipliziert. Danach teilt man durch \(x^4\) und subtrahiert die Exponenten: \(\frac{4x^6}{x^4}=4x^{6-4}=4x^2\) (2 P.). Probe mit \(x=1\): links \(\frac{4}{1}=4\), rechts \(4\). Antwort: \(a^6\) und \(4x^2\).

3. Lösung zu Aufgabe 3 (3 BE/Punkte)

   a) In wissenschaftlicher Schreibweise steht vor der Zehnerpotenz eine Zahl zwischen \(1\) und \(10\). Aus \(0{,}000042\) wird \(4{,}2\), dafür wandert das Komma 5 Stellen nach rechts. Die Zahl ist klein, also ist der Exponent negativ: \(4{,}2\cdot10^{-5}\) (1 P.).
   b) Man ordnet die Faktoren um (Kommutativgesetz) und rechnet getrennt: \(3\cdot2{,}5=7{,}5\) und \(10^4\cdot10^{-2}=10^{4+(-2)}=10^2\) (1 P.). Ergebnis: \(7{,}5\cdot10^2=750\) (1 P.). Überschlag zur Kontrolle: \(30\,000\cdot0{,}025=750\). Antwort: \(4{,}2\cdot10^{-5}\) bzw. \(750\).

4. Lösung zu Aufgabe 4 (5 BE/Punkte)

   a) Eine Teilung pro halbe Stunde bedeutet in 3 Stunden \(3\cdot2=6\) Teilungen. Bei jeder Teilung verdoppelt sich die Anzahl, also \(N=500\cdot2^6=500\cdot64=32\,000\) Bakterien (2 P.).
   b) Gesucht ist \(n\) mit \(500\cdot2^n\gt 10^6\). Teilen durch \(500\) liefert \(2^n\gt 2000\). Probieren: \(2^{10}=1024\) ist zu klein, \(2^{11}=2048\) reicht. Also braucht man \(11\) Teilungen, das sind \(11\cdot0{,}5=5{,}5\) Stunden (2 P.).
   c) Eine Stunde zurück sind zwei Halbstunden, also zwei Verdopplungen rückgängig gemacht: \(500\cdot2^{-2}=\frac{500}{4}=125\) (1 P.). Antwort: \(32\,000\) Bakterien; nach \(5{,}5\) h über eine Million; vorher \(125\).

5. Lösung zu Aufgabe 5 (4 BE/Punkte)

   a) Zeit ist Weg durch Geschwindigkeit: \(t=\frac{4{,}2\cdot10^7\,\mathrm{km}}{3\cdot10^5\,\mathrm{km/s}}\). Vorfaktoren und Zehnerpotenzen werden getrennt geteilt: \(\frac{4{,}2}{3}=1{,}4\) und \(\frac{10^7}{10^5}=10^2\). So ergibt sich \(t=1{,}4\cdot10^2=140\) s; geteilt durch \(60\) sind das etwa \(2{,}3\) min (2 P.).
   b) Genauso: \(t=\frac{4{,}0\cdot10^8}{3\cdot10^5}=\frac43\cdot10^3\approx1333\) s. Umrechnung: \(1333:60\approx22{,}2\) min (2 P.). Vergleich: Das Licht vom Mars braucht fast zehnmal so lange wie das von der Venus, weil die Entfernung etwa zehnmal so groß ist. Antwort: etwa \(2{,}3\) min bzw. \(22{,}2\) min.

Gesamt : 20 Punkte