Quadratische Gleichungen – Mathe Klasse 9 Arbeitsblatt Lösungen zum Herunterladen als PDF

← Zurück zu den Aufgaben

1. Lösung zu Aufgabe 1

   Bei reinquadratischen Gleichungen bringt man \(x^2\) allein auf eine Seite und zieht dann die Wurzel. Die Zahl rechts entscheidet über die Anzahl der Lösungen.
   a) \(x=\pm7\). Probe: \(7^2=49\) und \((-7)^2=49\).
   b) \(x^2=25\), also \(x_1=5\), \(x_2=-5\). Zuerst wird 25 auf die rechte Seite gebracht.
   c) \(x^2=16\), also \(x=\pm4\). Zuerst durch 3 teilen.
   d) \(2x^2=18\), \(x^2=9\), also \(x=\pm3\). Zuerst 1 subtrahieren, dann durch 2 teilen.
   e) \(x^2=-4\): keine reelle Lösung, denn ein Quadrat ist nie negativ. Die Lösungsmenge ist leer.

2. Lösung zu Aufgabe 2

   Da das absolute Glied fehlt, klammert man \(x\) (und gemeinsame Zahlen) aus. Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist; daraus ergeben sich zwei einfache Gleichungen.
   a) \(x(x-5)=0\), also \(x_1=0\), \(x_2=5\). Erster Faktor \(x=0\), zweiter Faktor \(x-5=0\).
   b) \(3x(x+4)=0\), also \(x_1=0\), \(x_2=-4\). Auch der Faktor 3 wird ausgeklammert.
   c) \(x^2-7x=0\), \(x(x-7)=0\): \(x_1=0\), \(x_2=7\). Nicht durch \(x\) teilen, sonst geht die Lösung \(0\) verloren.
   d) \(x(2x-1)=0\), also \(x_1=0\), \(x_2=\frac12\). Aus \(2x-1=0\) folgt \(x=\frac12\).

3. Lösung zu Aufgabe 3

   Alle Gleichungen stehen schon in Normalform, man liest \(p\) und \(q\) mit Vorzeichen ab und setzt in die Formel ein. Die Probe mit dem Satz von Vieta (Summe gleich \(-p\), Produkt gleich \(q\)) bestätigt die Lösungen.
   a) \(x=3\pm\sqrt{9-8}=3\pm1\): \(x_1=4\), \(x_2=2\). Hier ist \(p=-6\), \(q=8\); Probe: \(4\cdot2=8\).
   b) \(x=-1\pm\sqrt{1+15}=-1\pm4\): \(x_1=3\), \(x_2=-5\). Hier ist \(p=2\), \(q=-15\); Probe: \(3\cdot(-5)=-15\).
   c) \(x=0{,}5\pm\sqrt{0{,}25+6}=0{,}5\pm2{,}5\): \(x_1=3\), \(x_2=-2\). Hier ist \(p=-1\), \(q=-6\).
   d) \(x=-0{,}5\pm\sqrt{0{,}25+0{,}75}=-0{,}5\pm1\): \(x_1=0{,}5\), \(x_2=-1{,}5\). Hier ist \(p=1\), \(q=-0{,}75\).

4. Lösung zu Aufgabe 4

   a) \(D=9-9=0\): eine Lösung \(x=-3\). Die Gleichung ist die binomische Formel \((x+3)^2=0\); der Scheitel der zugehörigen Parabel liegt auf der \(x\)-Achse.
   b) \(D=1-5=-4<0\): keine Lösung. Die Wurzel aus einer negativen Zahl gibt es nicht; die Parabel liegt ganz oberhalb der \(x\)-Achse.
   c) \(D=4+1=5\): \(x=2\pm\sqrt5\), also \(x_1\approx4{,}236\), \(x_2\approx-0{,}236\). Weil 5 keine Quadratzahl ist, gibt man die Lösungen exakt mit Wurzel und gerundet an.
   d) \(D=9-q=0\), also \(q=9\); die Lösung ist \(x=3\). Genau eine Lösung bedeutet \(D=0\). Man setzt die Diskriminante gleich null und löst nach \(q\) auf.

5. Lösung zu Aufgabe 5

   a) \(x^2+x-6=14\), \(x^2+x-20=0\), \(x=-0{,}5\pm4{,}5\): \(x_1=4\), \(x_2=-5\). Ausmultiplizieren, 14 subtrahieren, pq-Formel. Probe für \(x=4\): \(7\cdot2=14\).
   b) \(x^2+2x-8=0\), \(x=-1\pm3\): \(x_1=2\), \(x_2=-4\). Man bringt \(3x\) und 8 auf die linke Seite und fasst zusammen.
   c) Durch \(2\) teilen: \(x^2-4x+3=0\), \(x=2\pm1\): \(x_1=3\), \(x_2=1\). Vor der pq-Formel muss der Faktor vor \(x^2\) gleich 1 sein, deshalb wird durch 2 geteilt.
   d) \(x^2-6x+9=2x+1\), \(x^2-8x+8=0\), \(x=4\pm\sqrt{8}\approx\) \(6{,}83\) und \(1{,}17\). Man multipliziert die binomische Formel aus, bringt alles nach links und löst mit \(p=-8\), \(q=8\). Exakt: \(x=4\pm2\sqrt2\).

6. Lösung zu Aufgabe 6

   a) \(x^2-7x+12=0\), \(x=3{,}5\pm0{,}5\): \(3\) und \(4\). Nach Vieta sind die gesuchten Zahlen die Lösungen von \(x^2-7x+12=0\). Probe: \(3+4=7\), \(3\cdot4=12\).
   b) \(p=-(2-5)=3\), \(q=2\cdot(-5)=-10\): \(x^2+3x-10=0\). Man setzt Summe und Produkt der Lösungen in die Formeln für \(p\) und \(q\) ein.
   c) \(2+7=9=-p\) und \(2\cdot7=14=q\): richtig. Summe und Produkt stimmen, also sind 2 und 7 die Lösungen.
   d) \(9+3p-12=0\), \(p=1\); \(x_1x_2=-12\), also \(x_2=-4\). Man setzt die bekannte Lösung 3 ein und bestimmt \(p\); die zweite Lösung folgt aus dem Produkt \(3\cdot x_2=-12\).

7. Lösung zu Aufgabe 7

   a) \(b(b+4)=96\), also \(b^2+4b-96=0\). Die Länge ist \(b+4\); Fläche gleich Breite mal Länge.
   b) \(b=-2\pm\sqrt{4+96}=-2\pm10\): \(b=8\) m (die Lösung \(-12\) ist unmöglich), Länge \(12\) m. Probe: \(8\cdot12=96\). Eine negative Breite ergibt keinen Sinn, deshalb bleibt nur \(b=8\).
   c) \(U=2\cdot(8+12)=40\) m. Antwort: Der Zaun muss 40 m lang sein.
   d) \(40\cdot18=720\) €. Antwort: Der Zaun kostet 720 €.

8. Lösung zu Aufgabe 8

   a) \(n(n+1)=156\), \(n^2+n-156=0\), \(n=-0{,}5\pm12{,}5\): \(n=12\), also \(12\) und \(13\). Die zweite Zahl ist \(n+1\). Die negative Lösung \(-13\) ist keine natürliche Zahl.
   b) \(n(n+2)=143\), \(n^2+2n-143=0\), \(n=-1\pm12\): \(n=11\), also \(11\) und \(13\). Aufeinanderfolgende ungerade Zahlen unterscheiden sich um 2. Probe: \(11\cdot13=143\).
   c) \(x^2=x+30\), \(x^2-x-30=0\), \(x=0{,}5\pm5{,}5\): \(x_1=6\), \(x_2=-5\). Beide Lösungen erfüllen die Bedingung: \(36=6+30\) und \(25=-5+30\).
   d) \(n^2+(n+1)^2=145\), \(2n^2+2n-144=0\), \(n^2+n-72=0\), \(n=-0{,}5\pm8{,}5\): \(n=8\), also \(8\) und \(9\) (oder \(-9\) und \(-8\)). Man multipliziert \((n+1)^2\) aus, teilt durch 2 und löst. Probe: \(64+81=145\).

9. Lösung zu Aufgabe 9

   a) \(t=\sqrt{\frac s5}\): \(\sqrt4=2\) s; \(\sqrt9=3\) s; \(\sqrt{16}=4\) s. Man löst \(5t^2=s\) nach \(t\) auf; bei vierfacher Höhe verdoppelt sich die Fallzeit.
   b) \(5t^2+10t-45=0\), \(t^2+2t-9=0\), \(t=-1+\sqrt{10}\approx2{,}16\) s. Man setzt \(s=45\) ein, teilt durch 5 und löst mit der pq-Formel. Durch den Wurf ist der Stein schneller unten als nach 3 s.
   c) \(s=45+30=75\) m. Man setzt \(t=3\) in \(5t^2+10t\) ein.
   d) Die zweite Lösung \(t=-1-\sqrt{10}\approx-4{,}16\) ist negativ und liegt vor dem Wurf, also unmöglich. Bei Sachaufgaben muss man immer prüfen, welche Lösungen in der Situation sinnvoll sind.

10. Lösung zu Aufgabe 10

    a) \((8+2x)(6+2x)=120\), \(4x^2+28x+48=120\), \(x^2+7x-18=0\). Rasen und Weg bilden ein Rechteck, das auf jeder Seite um \(x\) länger ist. Man multipliziert aus, subtrahiert 120 und teilt durch 4.
    b) \(x=-3{,}5\pm\sqrt{12{,}25+18}=-3{,}5\pm5{,}5\): \(x=2\) m. Die negative Lösung \(-9\) entfällt. Antwort: Der Weg ist 2 m breit.
    c) \(120-48=72\,\mathrm{m}^2\). Die Wegfläche ist die Gesamtfläche minus Rasenfläche.
    d) \(72:0{,}25=288\) Platten. Jede Platte hat \(0{,}25\,\mathrm{m}^2\). Antwort: Man braucht 288 Platten.

11. Lösung zu Aufgabe 11

    a) \(20\cdot30=600\,\mathrm{cm}^2\). Antwort: Das Foto hat 600 cm² Fläche.
    b) \((20+2x)(30+2x)=1200\), \(4x^2+100x-600=0\), \(x^2+25x-150=0\). Foto und Rahmen zusammen sind doppelt so groß wie das Foto, also 1200 cm². Ausmultiplizieren und durch 4 teilen ergibt die Normalform.
    c) \(x=-12{,}5\pm\sqrt{156{,}25+150}=-12{,}5\pm17{,}5\): \(x=5\) cm. Die negative Lösung \(-30\) entfällt. Antwort: Der Rahmen ist 5 cm breit.
    d) \(30\) cm \(\times\) \(40\) cm, also \(1200\,\mathrm{cm}^2\). Kontrolle: Die Rahmenfläche ist \(1200-600=600\) cm², genauso groß wie das Foto.

12. Lösung zu Aufgabe 12

    a) \(h^2+(h-7)^2=169\), \(2h^2-14h-120=0\), \(h^2-7h-60=0\). Leiter ist die Hypotenuse, Höhe und Abstand sind die Katheten. Man multipliziert aus und teilt durch 2.
    b) \(h=3{,}5\pm\sqrt{12{,}25+60}=3{,}5\pm8{,}5\): \(h=12\) dm. Die negative Lösung \(-5\) entfällt. Antwort: Die Leiter berührt die Wand in 12 dm Höhe.
    c) \(12-7=5\) dm. Probe: \(25+144=169\). Der Fuß steht 5 dm von der Wand entfernt; die Probe mit Pythagoras stimmt.
    d) \(\sin\alpha=\frac{12}{13}\), \(\alpha\approx67{,}4^\circ\). Die Höhe ist die Gegenkathete des Winkels am Boden. Antwort: Die Leiter steht unter etwa \(67^\circ\) zum Boden.

13. Lösung zu Aufgabe 13

    a) \(\frac{n(n-1)}2=45\), \(n^2-n-90=0\), \(n=0{,}5\pm9{,}5\): \(n=10\) Gäste. Man multipliziert mit 2 und löst mit der pq-Formel; die negative Lösung \(-9\) entfällt. Antwort: Es sind 10 Gäste.
    b) \(n(n-1)=132\), \(n^2-n-132=0\), \(n=0{,}5\pm11{,}5\): \(n=12\) Mannschaften. Bei Hin- und Rückspiel gibt es \(n(n-1)\) Spiele. Antwort: In der Liga spielen 12 Mannschaften.
    c) \(\frac{30\cdot29}{2}=435\). Man setzt \(n=30\) in die Formel ein. Antwort: In einer Klasse mit 30 Personen gibt es 435 Handschläge.

14. Lösung zu Aufgabe 14

    a) \(-5t^2+40t=60\), \(t^2-8t+12=0\), \(t=4\pm2\): \(t_1=2\) s, \(t_2=6\) s. Man setzt \(h=60\), teilt durch \(-5\) und löst; auf dem Weg nach oben und nach unten ist die Rakete je einmal 60 m hoch.
    b) \(h=-5(t-4)^2+80\): bei \(t=4\) s, \(80\) m. Quadratische Ergänzung nach Ausklammern von \(-5\). Antwort: Nach 4 s erreicht die Rakete die größte Höhe von 80 m.
    c) \(-5t(t-8)=0\): bei \(t=8\) s. Man setzt \(h=0\) und klammert aus; \(t=0\) ist der Start. Antwort: Nach 8 s landet sie.
    d) \(-5t^2+40t=75\), \(t^2-8t+15=0\), \(t=3\) oder \(5\). Also von \(3\) s bis \(5\) s: \(2\) s. Die Rakete ist zwischen den beiden Lösungen über 75 m. Antwort: 2 Sekunden lang.

15. Lösung zu Aufgabe 15

    a) \(A(x)=(40-2x)(30-2x)=4x^2-140x+1200\). Die Bodenfläche ist ein Rechteck, dessen Seiten um \(2x\) kürzer sind als das Blech.
    b) \(4x^2-140x+600=0\), \(x^2-35x+150=0\), \(x=17{,}5\pm12{,}5\): \(x=5\) cm. Man setzt \(A(x)=600\), teilt durch 4 und löst; die Lösung 30 ist nicht möglich (siehe d). Antwort: Die Quadrate sind 5 cm groß.
    c) \(V=600\cdot5=3000\,\mathrm{cm}^3=3\) l. Volumen gleich Grundfläche mal Höhe \(x\). Antwort: Die Schachtel fasst 3 Liter.
    d) \(x=30\) cm ist größer als die halbe Blechbreite (\(15\) cm), das Blech würde wegfallen. Deshalb muss \(x<15\) cm gelten.

16. Lösung zu Aufgabe 16

    a) Mit \(v(v-4)\) multiplizieren: \(48(v-4)+48v=7v(v-4)\), \(96v-192=7v^2-28v\), \(7v^2-124v+192=0\). Zeit ist Strecke durch Geschwindigkeit; die Summe der beiden Zeiten ist 7 h. Man multipliziert mit dem Hauptnenner.
    b) \(v=\frac{124\pm\sqrt{124^2-4\cdot7\cdot192}}{14}=\frac{124\pm100}{14}\): \(v_1=16\), \(v_2\approx1{,}71\) km/h. Weil der Faktor vor \(v^2\) nicht 1 ist, wird die allgemeine Lösungsformel (abc-Formel) benutzt.
    c) Hinweg \(\frac{48}{16}=3\) h, Rückweg \(\frac{48}{12}=4\) h. Antwort: Hinweg mit 16 km/h in 3 Stunden, Rückweg mit 12 km/h in 4 Stunden, zusammen 7 Stunden.
    d) Bei \(v\approx1{,}71\) km/h wäre \(v-4<0\): negative Geschwindigkeit ist unmöglich. Deshalb ist nur \(v=16\) km/h eine sinnvolle Lösung.

17. Lösung zu Aufgabe 17

    a) In einer Stunde füllt das erste Rohr \(\frac1x\), das zweite \(\frac1{x+3}\) des Pools. Zusammen füllen sie in einer Stunde \(\frac12\) des Pools. Die Anteile pro Stunde addieren sich, weil beide Rohre gleichzeitig laufen.
    b) \(2(x+3)+2x=x(x+3)\), \(4x+6=x^2+3x\), \(x^2-x-6=0\), \(x=0{,}5\pm2{,}5\): \(x=3\) (die Lösung \(-2\) ist unmöglich). Man multipliziert mit dem Hauptnenner \(2x(x+3)\) und bringt alles auf eine Seite.
    c) Das erste Rohr braucht \(3\) h, das zweite \(6\) h. Probe: \(\frac13+\frac16=\frac12\).
    d) Erstes: \(\frac13\approx33{,}3\,\%\); zweites: \(\frac16\approx16{,}7\,\%\); zusammen \(50\,\%\). Die Anteile pro Stunde ergänzen sich zur Hälfte des Pools, passend zu 2 Stunden Gesamtzeit.

18. Lösung zu Aufgabe 18

    a) \((1{,}2+2x)(0{,}8+2x)=2{,}4\), \(4x^2+4x+0{,}96=2{,}4\), \(x^2+x-0{,}36=0\). Die Decke ist auf jeder Seite um \(x\) länger als der Tisch. Man multipliziert aus, subtrahiert 2,4 und teilt durch 4.
    b) \(x=-0{,}5\pm\sqrt{0{,}25+0{,}36}=-0{,}5\pm0{,}781\), also \(x\approx0{,}281\) m \(\approx28\) cm. Die negative Lösung entfällt. Antwort: Die Decke steht ringsum etwa 28 cm über.
    c) \(1{,}2+2\cdot0{,}281=1{,}76\) m \(\times\) \(0{,}8+0{,}562=1{,}36\) m. Antwort: Die Decke ist etwa 1,76 m lang und 1,36 m breit.
    d) \(2{,}4-0{,}96=1{,}44\,\mathrm{m}^2\). Die überhängende Fläche ist Deckenfläche minus Tischfläche \(1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96\,\mathrm{m}^2\).

19. Lösung zu Aufgabe 19

    a) Seiten \(x\) und \(17-x\): \(A=x(17-x)\). Zwei Seiten zusammen sind der halbe Umfang, also 17 cm.
    b) \(x^2-17x+60=0\), \(x=8{,}5\pm\sqrt{72{,}25-60}=8{,}5\pm3{,}5\): \(x_1=12\), \(x_2=5\). Man setzt \(A=60\) und löst; beide Lösungen beschreiben dasselbe Rechteck 12 cm mal 5 cm.
    c) \(x^2-17x+80=0\): \(D=72{,}25-80<0\), keine Lösung. Maximum bei \(x=8{,}5\): \(A=8{,}5^2=72{,}25\,\mathrm{cm}^2\) (Quadrat). Die Diskriminante ist negativ. Die größtmögliche Fläche bei 34 cm Umfang beträgt 72,25 cm², deshalb sind 80 cm² unmöglich.
    d) Beim Quadrat (\(8{,}5\) cm), denn die Diagonale \(d=\sqrt{x^2+(17-x)^2}\) ist dort am kleinsten. Der Ausdruck unter der Wurzel ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitel bei \(x=8{,}5\).

20. Lösung zu Aufgabe 20

    a) Aus \(\frac ab=\frac{a+b}{a}\) folgt \(\frac ab=1+\frac ba\). Mit \(x=\frac ab\) ist \(\frac ba=\frac1x\), also \(x=1+\frac1x\). Mit \(x\) multipliziert: \(x^2=x+1\), also \(x^2-x-1=0\). Man teilt den Bruch \(\frac{a+b}{a}\) auf und ersetzt \(\frac ab\) durch \(x\).
    b) \(x=0{,}5\pm\sqrt{0{,}25+1}=0{,}5\pm1{,}118\); positive Lösung \(x=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx1{,}618\). Die negative Lösung entfällt, weil ein Seitenverhältnis positiv ist. Diese Zahl heißt goldene Zahl.
    c) \(10\cdot1{,}618=16{,}18\) cm. Die lange Seite ist das 1,618-Fache der kurzen.
    d) \(1{,}618^2=2{,}618\) und \(1{,}618+1=2{,}618\): passt. Die goldene Zahl hat die besondere Eigenschaft, dass ihr Quadrat um genau 1 größer ist als sie selbst.