Ähnlichkeit und Strahlensätze – Mathe Klasse 9 Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (4 BE/Punkte)

   a) Bei einer zentrischen Streckung mit Zentrum im Ursprung wird jede Koordinate mit \(k=1{,}5\) multipliziert. Aus \(A(2|4)\) wird \(A'(1{,}5\cdot2|1{,}5\cdot4)=A'(3|6)\), aus \(B(6|2)\) wird \(B'(9|3)\) (je 1 P.).
   b) Der Abstand zweier Punkte folgt aus dem Satz des Pythagoras mit den Koordinatendifferenzen \(\Delta x=4\) und \(\Delta y=-2\): \(AB=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}\approx4{,}47\) (1 P.). Für die Bildstrecke gilt \(A'B'=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}\approx6{,}71\) (1 P.). Kontrolle: \(6{,}71:4{,}47\approx1{,}5\), genau der Streckfaktor. Antwort: \(AB\approx4{,}47\) LE und \(A'B'\approx6{,}71\) LE.

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   a) Nach dem ersten Strahlensatz verhalten sich die Abschnitte auf beiden Strahlen gleich: \(\frac{ZB'}{ZB}=\frac{ZA'}{ZA}\). Einsetzen ergibt \(\frac{ZB'}{7{,}5}=\frac{8}{5}=1{,}6\), also \(ZB'=7{,}5\cdot1{,}6=12\) cm (2 P.: 1 P. für den Ansatz, 1 P. für das Ergebnis).
   b) Der zweite Strahlensatz verbindet die Parallelstrecken mit den Scheitelabschnitten: \(\frac{ZA'}{ZA}=\frac{A'B'}{AB}\). Mit \(\frac{10}{4}=2{,}5\) folgt \(ZA'=6\cdot2{,}5=15\) cm (2 P.). Wichtig: Beim zweiten Strahlensatz müssen die Strecken immer vom Scheitel \(Z\) aus gemessen werden, nicht der Abschnitt \(AA'\). Antwort: \(ZB'=12\) cm und \(ZA'=15\) cm.

3. Lösung zu Aufgabe 3 (3 BE/Punkte)

   a) Der Maßstab \(1:200\) bedeutet: \(1\) cm auf dem Plan entspricht \(200\) cm in Wirklichkeit. Also ist die Wand \(5{,}6\cdot200=1120\) cm lang; durch \(100\) geteilt ergibt das \(11{,}2\) m (1 P.).
   b) Bei Flächen wird nicht mit \(200\), sondern mit \(200^2=40\,000\) multipliziert, weil beide Seiten eines Rechtecks gestreckt werden. Man erhält \(40\cdot40\,000=1\,600\,000\,\mathrm{cm}^2\) (1 P.). Da \(1\,\mathrm{m}^2=10\,000\,\mathrm{cm}^2\) gilt, sind das \(160\,\mathrm{m}^2\) (1 P.). Typischer Fehler: nur mit 200 multiplizieren, das ergäbe falsche \(0{,}8\,\mathrm{m}^2\). Antwort: Wand \(11{,}2\) m, Grundstück \(160\,\mathrm{m}^2\).

4. Lösung zu Aufgabe 4 (5 BE/Punkte)

   a) Sonnenstrahlen fallen parallel ein, daher sind die Dreiecke aus Stab und Schatten sowie Mast und Schatten ähnlich. Es gilt \(\frac{h}{12}=\frac{1{,}5}{2}=0{,}75\), also \(h=12\cdot0{,}75=9\) m (2 P.).
   b) Am nächsten Tag ist das Verhältnis Schatten zu Höhe wieder für beide gleich: \(\frac{s}{2}=\frac{14}{12}\). Damit wird \(s=2\cdot\frac{14}{12}\approx2{,}33\) m (2 P.).
   c) Die Modellhöhe beträgt \(900\,\mathrm{cm}:30=30\) cm. Die Fahne misst \(100\,\mathrm{cm}\cdot150\,\mathrm{cm}=15\,000\,\mathrm{cm}^2\); Flächen verkleinern sich mit \(30^2=900\), also \(15\,000:900\approx16{,}7\,\mathrm{cm}^2\) (1 P.). Antwort: Mast \(9\) m, Stabschatten etwa \(2{,}33\) m, Modell \(30\) cm hoch mit rund \(16{,}7\,\mathrm{cm}^2\) Fahne.

5. Lösung zu Aufgabe 5 (4 BE/Punkte)

   a) Der Streckfaktor ist das Verhältnis entsprechender Längen, hier der Kanten: \(k=\frac{6}{4}=1{,}5\) (1 P.).
   b) Ein Würfel hat sechs gleiche Quadrate als Oberfläche, also \(O=6a^2\), und das Volumen \(V=a^3\). Kleiner Würfel: \(O_1=6\cdot16=96\,\mathrm{cm}^2\), \(V_1=4^3=64\,\mathrm{cm}^3\). Großer Würfel: \(O_2=6\cdot36=216\,\mathrm{cm}^2\), \(V_2=6^3=216\,\mathrm{cm}^3\) (2 P.).
   c) Das Flächenverhältnis ist \(216:96=2{,}25\) und stimmt mit \(k^2=1{,}5^2=2{,}25\) überein. Das Volumenverhältnis ist \(216:64=3{,}375=1{,}5^3=k^3\) (1 P.). Damit ist bestätigt: Längen wachsen mit \(k\), Flächen mit \(k^2\), Rauminhalte mit \(k^3\). Zufällig haben \(O_2\) und \(V_2\) dieselbe Maßzahl, aber verschiedene Einheiten.

Gesamt : 20 Punkte