Ähnlichkeit und Strahlensätze – Mathe Klasse 9 Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Bei einer zentrischen Streckung wird jede Strecke mit demselben Faktor \(k\) multipliziert. Du bestimmst \(k\), indem du die Bildlänge durch die Originallänge teilst.

a) Ergänze die Tabelle.
b) Welche Streckungen sind Vergrößerungen, welche Verkleinerungen?
c) Wie lang ist das Bild einer \(10\) cm langen Strecke bei jedem dieser Faktoren?

Das Streckzentrum ist der Ursprung \(Z(0|0)\). Ein Punkt \(P(x|y)\) wird auf \(P'(kx|ky)\) abgebildet. Das Dreieck \(ABC\) hat die Ecken \(A(1|2)\), \(B(3|1)\) und \(C(2|4)\).

a) Bestimme die Bildpunkte bei \(k=2\).
b) Bestimme die Bildpunkte der Punkte \(P(4|6)\), \(Q(8|2)\), \(R(2|10)\) bei \(k=0{,}5\).
c) Berechne den Flächeninhalt von \(ABC\) und seines Bilds bei \(k=2\). Wie hängen die Flächen zusammen?

Bei der Streckung mit dem Faktor \(k\) werden Längen mit \(k\), Flächen mit \(k^2\) und Volumina mit \(k^3\) multipliziert. Ein Rechteck misst \(2\) cm \(\times\) \(5\) cm, ein Würfel hat die Kantenlänge \(2\) cm. Beide werden mit \(k=3\) gestreckt.

a) Gib die Seitenlängen und den Umfang des Bildrechtecks an.
b) Berechne die Fläche von Rechteck und Bild und vergleiche.
c) Berechne Volumen und Oberfläche von Würfel und Bildwürfel.

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in allen Winkeln übereinstimmen oder wenn ihre Seiten im gleichen Verhältnis stehen. Prüfe, ob die Dreiecke ähnlich sind.

a) Dreieck 1: \(3\) cm, \(4\) cm, \(5\) cm; Dreieck 2: \(9\) cm, \(12\) cm, \(15\) cm
b) Dreieck 1: \(4\) cm, \(6\) cm, \(8\) cm; Dreieck 2: \(6\) cm, \(9\) cm, \(13\) cm
c) Dreieck 1: Winkel \(40^\circ\) und \(75^\circ\); Dreieck 2: Winkel \(75^\circ\) und \(65^\circ\)
d) Sind alle gleichseitigen Dreiecke ähnlich? Begründe.

Zwei Geraden schneiden sich in \(Z\). Zwei Parallelen schneiden sie in \(A, B\) und \(A', B'\). Es gilt \(\frac{ZA}{ZA'}=\frac{ZB}{ZB'}\) und \(\frac{ZA}{ZA'}=\frac{AB}{A'B'}\).

a) \(ZA=4\) cm, \(AA'=2\) cm, \(ZB=5\) cm. Berechne \(ZB'\) und \(BB'\).
b) \(ZA=6\) cm, \(ZA'=9\) cm, \(A'B'=12\) cm. Berechne \(AB\).
c) \(ZB=10\) cm, \(ZB'=14\) cm, \(ZA=15\) cm. Berechne \(ZA'\).
d) \(AB=3{,}6\) cm, \(A'B'=9\) cm, \(ZA'=12{,}5\) cm. Berechne \(ZA\).

Ein Maßstab \(1:n\) bedeutet: \(1\) cm auf der Karte sind \(n\) cm in der Wirklichkeit. Flächen ändern sich mit \(n^2\).

a) Karte \(1:25\,000\): Zwei Orte sind \(4{,}8\) cm voneinander entfernt. Wie weit sind sie in Wirklichkeit?
b) Ein Wanderweg ist \(3{,}5\) km lang. Wie lang ist er auf der Karte \(1:25\,000\)?
c) Auf einer Karte \(1:50\,000\) misst der Weg zum Gipfel \(7\) cm. Wie lang ist er in Wirklichkeit?
d) Ein See ist auf der Karte \(1:25\,000\) \(2\,\mathrm{cm}^2\) groß. Wie groß ist er in Wirklichkeit in Hektar? (\(1\) ha \(=10\,000\,\mathrm{m}^2\))

Ein Kopierer kann in Prozent vergrößern und verkleinern. Ein DIN-A4-Blatt misst \(21{,}0\) cm \(\times\) \(29{,}7\) cm.

a) Das Blatt wird auf \(141\,\%\) vergrößert. Welche Maße hat die Kopie?
b) Das Blatt wird auf \(71\,\%\) verkleinert. Welche Maße hat die Kopie?
c) Zweimal hintereinander auf \(71\,\%\) verkleinern: Welcher Gesamtfaktor entsteht? Wie verändert sich die Fläche?
d) Warum sind gerade \(141\,\%\) und \(71\,\%\) sinnvolle Faktoren? (Tipp: \(\sqrt2\))

Lena ist \(1{,}80\) m groß und wirft \(2{,}40\) m Schatten. Zur gleichen Zeit wirft eine Eiche \(14\) m Schatten, der Kirchturm \(38\) m. Die Sonnenstrahlen sind parallel.

a) Wie hoch ist die Eiche?
b) Wie hoch ist der Kirchturm?
c) Später misst Lenas Schatten \(3{,}60\) m, der Eichenschatten \(21\) m. Passt das zur Höhe aus a)?
d) Erkläre in einem Satz, warum die Dreiecke ähnlich sind.

Bei der Spurgröße H0 gilt der Maßstab \(1:87\). Eine echte Lokomotive ist \(19{,}2\) m lang und \(4{,}3\) m hoch, die Spurweite beträgt \(1{,}435\) m.

a) Ergänze die Modellmaße in Zentimetern.
b) Ein Bahnhof ist in Wirklichkeit \(120\) m lang. Welche Länge hat er auf der Platte?
c) Ein Güterwagen fasst \(80\,\mathrm{m}^3\). Welches Volumen hat der Modellwagen in \(\mathrm{cm}^3\)?
d) Das Modell wiegt \(0{,}25\) kg. Wie schwer wäre die echte Lok, wenn sie aus dem gleichen Stoff wäre (in Tonnen)?

Anna will die Breite eines Flusses bestimmen, ohne ihn zu überqueren. Ein Baum \(Z\) steht am anderen Ufer. Anna steht bei \(A\) direkt gegenüber, geht \(30\) m am Ufer entlang bis \(B\) und visiert den Baum an. Dann geht sie von \(A\) \(20\) m vom Fluss weg bis \(A'\) und läuft parallel zum Ufer, bis sie auf der Sichtlinie \(ZB\) steht (Punkt \(B'\)). Die Zeichnung ist nicht maßstäblich.

a) Anna misst \(A'B'=50\) m. Wie breit ist der Fluss?
b) Ein anderes Mal misst sie \(A'B'=45\) m. Wie breit ist der Fluss dann?
c) Schreibe die Strahlensatz-Gleichung auf, die du benutzt hast.
d) Warum muss die Strecke \(A'B'\) parallel zum Ufer liegen?

Die Pizzeria «Da Mario» verkauft zwei Größen mit gleichem Belag und gleich dicker Schicht.

a) Berechne die Flächen beider Pizzen.
b) In welchem Verhältnis stehen die Flächen? Welchen Faktor hat der Durchmesser?
c) Berechne den Preis pro \(100\,\mathrm{cm}^2\).
d) Welche Pizza ist günstiger? Wie viel würde die große bei gleichem Quadratzentimeterpreis kosten?

Ein Foto misst \(9\) cm \(\times\) \(13\) cm. Eine Druckerei bietet Vergrößerungen zum Preis von \(0{,}12\) € pro \(100\,\mathrm{cm}^2\) an.

a) Das Foto soll \(27\) cm breit werden. Wie hoch wird es? Welcher Faktor wird benutzt?
b) Wie verändert sich die Fläche?
c) Was kostet dieses Foto?
d) Ein Foto \(13\) cm \(\times\) \(18\) cm soll auf A4 (\(21\) cm \(\times\) \(29{,}7\) cm) vergrößert werden. Welcher Faktor passt zur Breite, und wie groß ist dann der weiße Rand oben und unten zusammen?

Ein Beamer erzeugt ein Bild, dessen Breite proportional zum Abstand von der Wand wächst. Bei \(2\) m Abstand ist das Bild \(1{,}2\) m breit. Das Seitenverhältnis ist \(16:9\).

a) Wie breit ist das Bild bei \(3{,}5\) m Abstand?
b) Wie hoch ist es dann?
c) Die Tafelwand ist \(2{,}4\) m breit. Bei welchem Abstand füllt das Bild sie genau aus?
d) Wie groß ist die Bildfläche bei \(3{,}5\) m im Vergleich zu \(2\) m?

Ein Förster will die Höhe einer Fichte bestimmen. Er hält einen Stab \(30\) cm lang senkrecht in \(60\) cm Abstand vor sein Auge (Augenhöhe \(1{,}65\) m) und peilt über den oberen Stabrand die Baumspitze an. Er steht dabei \(24\) m vom Stamm entfernt.

a) Welcher Faktor gehört zu \(60\) cm \(\to\) \(24\) m?
b) Wie hoch ragt der Baum über Augenhöhe?
c) Wie hoch ist der Baum insgesamt?
d) Wie hoch wäre er bei \(18\) m Abstand?

Ein Trichter hat die Form eines Kegels mit der Höhe \(12\) cm und dem Radius \(6\) cm (Spitze unten). Das Volumen eines Kegels ist \(V=\frac13\pi r^2h\). Der Trichter wird mit Wasser gefüllt.

a) Ergänze die Radien mit dem Strahlensatz.
b) Berechne das Volumen bei voller Füllung.
c) Berechne das Volumen bei halber Füllhöhe und bei \(9\) cm. Welcher Bruchteil ist das jeweils?
d) Bei welcher Füllhöhe ist der Trichter halb voll (nach Volumen)?

Der Plan einer Wohnung hat den Maßstab \(1:50\).

a) Ergänze die wirklichen Maße in Metern.
b) Berechne jeweils die wirkliche Fläche in \(\mathrm{m}^2\).
c) Das Wohnzimmer bekommt Parkett für \(38\) € pro \(\mathrm{m}^2\), mit \(10\,\%\) Verschnitt. Wie hoch sind die Kosten?
d) Auf dem Plan hat das Wohnzimmer \(96\,\mathrm{cm}^2\). Zeige, dass man die wirkliche Fläche auch mit \(50^2\) berechnen kann.

Im Dachstuhl soll ein Querbalken parallel zum Boden liegen. Gemessen wird von der Spitze \(Z\) aus an den beiden Sparren.

a) Prüfe mit der Umkehrung des Strahlensatzes, ob der Balken parallel zum Boden liegt.
b) Der Boden (Spannweite) ist \(10\) m lang. Wie lang ist der Balken?
c) Rechts wird der Balken stattdessen bei \(3{,}0\) m angebracht. Ist er dann noch parallel?
d) Wie hoch (senkrecht) liegt der Balken über dem Boden, wenn das Dach \(4\) m hoch ist?

Eine Lochkamera bildet Gegenstände auf dem Kopf stehend ab. Zwischen Loch und Film liegen \(8\) cm. Ein Baum ist \(6\) m hoch und steht \(20\) m vom Loch entfernt.

a) Wie hoch ist das Bild auf dem Film?
b) Wie hoch wäre es bei \(30\) m Abstand?
c) Auf dem Film ist ein Haus \(3\) cm hoch zu sehen. Es steht \(40\) m entfernt. Wie hoch ist es wirklich?
d) Warum steht das Bild auf dem Kopf? Nenne die beiden ähnlichen Dreiecke.

Ein Frachtschiff ist \(120\) m lang, hat \(2400\,\mathrm{m}^2\) Segelfläche für die Windantriebe und verdrängt \(8000\) t Wasser (also \(8000\,\mathrm{m}^3\)). Ein Modellbauer baut es im Maßstab \(1:100\).

a) Berechne die Modelllänge.
b) Berechne die Modell-Segelfläche in \(\mathrm{m}^2\) und \(\mathrm{cm}^2\).
c) Berechne die Verdrängung des Modells in kg und in Litern.
d) Das Modell wird in einem Becken getestet. Es ist \(1{,}2\) m lang. Wie schnell (in cm/s) fährt es, wenn das Original \(20\) km/h fährt? Bei Schiffsmodellen skaliert die Geschwindigkeit mit \(\sqrt{k}=\sqrt{0{,}01}=0{,}1\).

In einem Dreieck \(ABC\) mit der Grundseite \(AB=20\) cm und der Höhe \(h=9\) cm wird eine Parallele zu \(AB\) gezogen. Sie schneidet die Seiten \(AC\) und \(BC\) und schneidet von der Spitze \(C\) ein kleines Dreieck ab.

a) Berechne die Fläche des Dreiecks \(ABC\).
b) Die Parallele liegt \(3\) cm unter der Spitze \(C\). Berechne die Fläche des Teildreiecks und des Trapezes darunter.
c) Wie weit unter \(C\) muss die Parallele liegen, damit das Teildreieck genau die halbe Fläche hat?
d) Das Trapez soll \(57{,}6\,\mathrm{cm}^2\) groß sein. Wie lang ist die Parallele, und wie weit liegt sie unter \(C\)?