Potenzen und Potenzgesetze – Mathe Klasse 9 Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Eine Potenz \(a^n\) bedeutet: \(a\) wird \(n\)-mal mit sich selbst multipliziert. Achte bei negativen Basen auf die Klammern: \((-3)^4\) und \(-3^4\) sind verschieden.

a) Berechne alle Potenzen der Tabelle.
b) Erkläre den Unterschied zwischen \((-3)^4\) und \(-3^4\).
c) Wie viele Nullen hat \(10^6\)? Wie viele Nachkommastellen hat \(0{,}1^3\)?

Bei gleicher Basis gilt: \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\), \(a^m:a^n=a^{m-n}\) und \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\). Fasse zusammen und berechne den Wert.

a) \(3^4\cdot3^2\)
b) \(5^7:5^3\)
c) \((2^3)^2\)
d) \(2^5\cdot2^{-2}\)
e) \((10^2)^3:10^4\)

Bei gleichem Exponenten gilt: \(a^n\cdot b^n=(ab)^n\) und \(a^n:b^n=(\frac ab)^n\). So lassen sich Aufgaben oft im Kopf lösen.

a) \(2^3\cdot5^3\)
b) \(6^4:3^4\)
c) \(4^5\cdot0{,}25^5\)
d) \(15^2:5^2\)

Es gilt \(a^0=1\) und \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) für \(a\neq0\). Ein negativer Exponent macht die Zahl nicht negativ, er bildet den Kehrwert.

a) Ergänze die Tabelle.
b) Warum ist \(a^0=1\)? Begründe mit \(a^3:a^3\).
c) Warum darf die Basis bei \(a^{-n}\) nicht \(0\) sein?

Vereinfache die Terme so weit wie möglich. Die Variablen sind ungleich null.

a) \(a^3\cdot a^4\)
b) \((x^2)^5\)
c) \(\frac{12x^5y^2}{4x^2y}\)
d) \((2a^2b)^3\)
e) \(\frac{(3m)^2\cdot m^{-1}}{m^3}\)

In der wissenschaftlichen Schreibweise steht eine Zahl \(a\cdot10^n\) mit \(1\le a<10\). Wandle um.

a) \(4\,500\,000\)
b) \(0{,}00032\)
c) \(7{,}2\cdot10^3\) als Dezimalzahl
d) \(1{,}5\cdot10^{-2}\) als Dezimalzahl
e) \(0{,}6\cdot10^5\) in wissenschaftlicher Schreibweise

Zweierpotenzen kommen oft vor, zum Beispiel beim Falten und in der Informatik.

a) Ergänze die Tabelle.
b) Wie ändert sich \(2^n\), wenn \(n\) um \(1\) wächst?
c) Berechne \(2^{20}\) und \(2^{-4}\).

Auf dem ersten Feld eines Schachbretts liegt \(1\) Reiskorn, auf jedem folgenden Feld doppelt so viele wie auf dem Feld davor.

a) Wie viele Körner liegen auf Feld 10 und auf Feld 20?
b) Wie viele Körner liegen auf den Feldern 1 bis 10 zusammen? (Es gilt \(1+2+\dots+2^{9}=2^{10}-1\).)
c) Wie viele Körner liegen auf Feld 64? Gib das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an.
d) Auf Feld 64 liegen mehr Körner als auf allen Feldern davor zusammen. Zeige das.

In der Informatik gilt \(1\) KiB \(=2^{10}\) Byte, \(1\) MiB \(=2^{10}\) KiB und \(1\) GiB \(=2^{10}\) MiB. Du speicherst Fotos von je \(4\) MiB auf einer \(64\)-GiB-Karte.

a) Wie viele Byte hat \(1\) GiB? Gib sie als Zweierpotenz und als Zahl an.
b) Schreibe \(4\) MiB und \(64\) GiB als Zweierpotenz in Byte.
c) Wie viele Fotos passen auf die Karte? Rechne mit den Potenzgesetzen.
d) Die Kamera nimmt \(12\) Fotos pro Sekunde auf (Serienbild). Wie lange dauert es, bis die Karte voll ist (in Stunden)?

Das Licht legt in einer Sekunde etwa \(3\cdot10^5\) km zurück. Die Entfernung Erde-Sonne beträgt \(1{,}496\cdot10^8\) km, die Entfernung Erde-Mond \(3{,}84\cdot10^5\) km.

a) Wie lange braucht das Sonnenlicht bis zur Erde (in Sekunden und Minuten)?
b) Wie lange braucht das Mondlicht?
c) Wie oft ist die Sonne weiter entfernt als der Mond? Runde sinnvoll.
d) Ein Flugzeug fliegt mit \(900\) km/h. Wie lange bräuchte es zur Sonne (in Jahren)?

Eine Bakterie teilt sich alle \(20\) Minuten in zwei. Zu Beginn ist \(1\) Bakterie vorhanden.

a) Ergänze die Tabelle mit Zweierpotenzen.
b) Wie viele Bakterien sind es nach \(10\) Stunden (Zweierpotenz, dann näherungsweise in wissenschaftlicher Schreibweise)?
c) Ein Bakterium wiegt etwa \(10^{-12}\) g. Wie viel wiegen alle nach \(12\) Stunden?
d) Warum findet dieses Wachstum in der Realität nicht unbegrenzt statt?

Ein Blatt Papier ist \(0{,}1\) mm dick. Beim Falten verdoppelt sich die Dicke jedes Mal (in der Theorie). Die Entfernung Erde-Mond beträgt etwa \(3{,}84\cdot10^8\) m.

a) Berechne die Dicke nach 1, 7 und 10 Faltungen in mm und cm.
b) Wie dick wäre das Papier nach 42 Faltungen in Metern?
c) Reicht das bis zum Mond?
d) Praktisch kann man ein Blatt höchstens etwa \(7\)-mal falten. Wie dick ist dann das Paket? Erkläre, warum es nicht weiter geht.

Ein schnelles Netz überträgt \(1\) Gbit pro Sekunde (\(10^9\) Bit/s). Ein Film hat \(4\) GB (\(4\cdot10^9\) Byte). Ein Byte hat \(8\) Bit. Ein altes DSL-Netz schafft \(16\) Mbit/s (\(16\cdot10^6\) Bit/s).

a) Wie viele Bit hat der Film?
b) Wie lange dauert der Download mit 5G?
c) Wie lange dauert er mit DSL (in Minuten)?
d) Wie oft ist das 5G-Netz schneller? Schreibe als Zehnerpotenz-Quotient.

Um sehr kleine und sehr große Längen zu vergleichen, schreibt man sie als Zehnerpotenzen.

a) Ordne die Objekte nach der Größe und gib jeweils die Zehnerpotenz (Größenordnung) an.
b) Wie oft passt eine Haardicke in den Erddurchmesser?
c) Wie viele Ameisen (hintereinander) passen auf die Zugspitzhöhe?
d) Wie viele Zehnerpotenzen liegen zwischen Haardicke und Erddurchmesser?

Am Montag um 8 Uhr erfährt eine Schülerin ein Gerücht. Jede Person, die es hört, erzählt es in der nächsten Stunde drei Mitschülern weiter, die es noch nicht kannten. An der Schule lernen \(900\) Schüler.

a) Wie viele Personen sind in Stunde 4, 5 und 6 neu informiert?
b) Zeige: Nach \(n\) Stunden sind insgesamt \(\frac{3^{n+1}-1}{2}\) Personen informiert. Prüfe das für \(n=3\).
c) Nach wie vielen Stunden kennen mehr als \(900\) Schüler das Gerücht?
d) Warum ist das Modell nach einigen Stunden unrealistisch?

Die Sonne hat einen Durchmesser von \(1{,}39\cdot10^6\) km, die Erde von \(1{,}2742\cdot10^4\) km, und die Erde ist \(1{,}496\cdot10^8\) km von der Sonne entfernt. Du baust ein Modell, in dem die Sonne ein Ball mit \(1\) m Durchmesser ist.

a) Bestimme den Maßstabsfaktor.
b) Wie groß ist die Erde im Modell (in mm)?
c) Wie weit ist sie von der Sonne entfernt (in m)?
d) Der nächste Stern (Proxima Centauri) ist \(4{,}0\cdot10^{13}\) km entfernt. Wie weit weg müsste er im Modell stehen (in km)?

Beim Schachbrett-Rätsel (\(2^{n-1}\) Körner auf Feld \(n\)) liegen insgesamt \(2^{64}-1\) Körner auf dem Brett. Ein Reiskorn wiegt etwa \(0{,}025\) g. Die Weltproduktion von Reis liegt bei etwa \(5\cdot10^{8}\) t pro Jahr.

a) Wie viele Körner sind es ungefähr?
b) Wie schwer ist der Reis in Gramm und in Tonnen?
c) Wie viele Jahre müsste man die gesamte Weltproduktion sammeln?
d) Ein Korn hat etwa \(0{,}03\,\mathrm{cm}^3\). Wie hoch wäre der Reisberg, wenn man den Reis auf einer Fläche von \(1\,\mathrm{m}^2\) stapeln würde? Vergleiche mit dem Mount Everest (\(8{,}8\cdot10^3\) m).

Ein Lichtjahr ist die Strecke, die das Licht in einem Jahr zurücklegt. Das Licht fährt \(3\cdot10^5\) km/s, ein Jahr hat etwa \(3{,}156\cdot10^7\) s. Die Raumsonde Voyager 1 fliegt mit \(17\) km/s.

a) Berechne ein Lichtjahr in km.
b) Wie weit ist Proxima Centauri in km entfernt?
c) Wie lange bräuchte Voyager dorthin (in Jahren)?
d) Wie oft schneller ist das Licht als Voyager?

Ein Wassertropfen wiegt etwa \(0{,}05\) g. In \(18\) g Wasser stecken \(6{,}022\cdot10^{23}\) Moleküle. Auf der Erde leben etwa \(8\cdot10^9\) Menschen.

a) Wie viele Moleküle sind in einem Tropfen?
b) Wie viele Moleküle entfallen auf jeden Menschen, wenn man den Tropfen gleichmäßig verteilt?
c) Wie viele Tropfen braucht man für \(1\) Liter (\(1000\) g)?
d) Wie viele Moleküle enthält ein Liter Wasser?

Ohne Taschenrechner lassen sich Potenzen oft mit Zehnerpotenzen vergleichen. Du weißt: \(2^{10}=1024>10^3\).

a) Zeige, dass \(2^{100}>10^{30}\) ist.
b) Berechne \(2^{100}\) näherungsweise. Wie viele Stellen hat die Zahl?
c) Vergleiche \(3^{20}\) und \(2^{30}\).
d) Wie groß ist \(\frac{2^{50}}{4^{20}}\)? Rechne mit den Potenzgesetzen.