Lineare Gleichungssysteme – Mathe Klasse 8 Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (4 BE/Punkte)

   I in II: \(2x+3x-2=13\) (1 P.), \(5x=15\), \(x=3\) (1 P.), \(y=3\cdot3-2=7\) (1 P.). Probe in II: \(6+7=13\) (1 P.).

   Da Gleichung I schon nach \(y\) aufgelöst ist, bietet sich das Einsetzungsverfahren an. Antwort: \(L=\{(3|7)\}\). Probe in I: \(3\cdot3-2=7\).

   Bewertung: Wer \(y=7\) nicht ausrechnet, sondern nur \(x=3\) angibt, erhält zwei von vier Punkten. Die Lösung eines Gleichungssystems ist immer ein Zahlenpaar.

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   I + II: \(6x=18\) (1 P.), \(x=3\) (1 P.); in I: \(12+3y=27\), \(y=5\) (1 P.). Probe in II: \(6-15=-9\) (1 P.).

   Die \(y\)-Glieder \(+3y\) und \(-3y\) heben sich beim Addieren auf, deshalb ist das Additionsverfahren hier am schnellsten. Antwort: \(L=\{(3|5)\}\). Probe in I: \(12+15=27\).

   Probe in II: \(2\cdot3-3\cdot5=-9\). Ein Rechenfehler beim Addieren der Gleichungen wird nur einmal bestraft. Hier fällt \(y\) sofort weg.

3. Lösung zu Aufgabe 3 (3 BE/Punkte)

   \(-2x+8=x-1\) (1 P.), \(9=3x\), \(x=3\) (1 P.), \(y=2\) (1 P.).

   Beide Gleichungen sind nach \(y\) aufgelöst, also setzt man die rechten Seiten gleich. Probe: \(-6+8=2\) und \(3-1=2\). Antwort: \(L=\{(3|2)\}\).

   Probe in beiden Gleichungen: \(-2\cdot3+8=2\) und \(3-1=2\). Grafisch ist \((3|2)\) der Schnittpunkt einer fallenden und einer steigenden Geraden. Wer statt Gleichsetzen ein anderes Verfahren wählt, erhält ebenfalls die volle Punktzahl. Die Geraden sind nicht parallel.

4. Lösung zu Aufgabe 4 (6 BE/Punkte)

   a) \(3h+2s=6{,}50\) und \(2h+4s=7\) (2 P.).
   b) I mal 2: \(6h+4s=13\); minus II: \(4h=6\), \(h=1{,}50\); \(s=\frac{6{,}5-4{,}5}{2}=1{,}00\) (2 P.).
   c) \(5\cdot1{,}5+3\cdot1=10{,}50\,€\) (2 P.).

   Antwort: Ein Heft kostet 1,50 €, ein Stift 1,00 €, Lena zahlt 10,50 €. Probe: \(4{,}50+2{,}00=6{,}50\) und \(3{,}00+4{,}00=7{,}00\).

   Bewertung: Wer bei b) die Gleichungen falsch kombiniert und negative Preise erhält, sollte bemerken, dass ein Preis nicht negativ sein kann.

5. Lösung zu Aufgabe 5 (3 BE/Punkte)

   a) II ergibt \(x+y=6\), das widerspricht \(x+y=5\) (2 P.).
   b) \(c=10\) (1 P.).

   Teilt man die zweite Gleichung durch 2, erhält man \(x+y=6\). Die Summe kann nicht gleichzeitig 5 und 6 sein. Grafisch sind die Geraden parallel. Für \(c=10\) wären beide Gleichungen gleichwertig und es gäbe unendlich viele Lösungen.

   Bewertung zu b): Wer \(c=12\) nennt, hat die Aufgabe falsch verstanden und erhält keinen Punkt.

Gesamt : 20 Punkte