Dieser Lernzettel zum Thema Geometrische Konstruktionen und Abbildungen ist für Klasse 8 (Alter 13-14) geschrieben. Kurz gesagt geht es darum: Spiegelung, Drehung, Verschiebung, Kongruenzabbildungen. Bevor du anfängst, wiederhole am besten Mehrstufige Zufallsexperimente und Statistik und Daten, denn dieser Lernzettel baut darauf auf.
Geometrische Konstruktionen und Abbildungen Klasse 8 Lernzettel: das lernst du
Eine Abbildung ordnet jedem Punkt einer Figur einen Bildpunkt zu. In diesem Kapitel bewegst du Figuren, ohne sie zu verändern, und konstruierst mit Zirkel und Lineal.
Einstieg: Die Schatzkarte
Kapitän Fynn hat eine Schatzkarte mit einem Koordinatensystem. Sein Lager liegt bei \(L(1|1)\). Die Anweisung lautet: „Gehe \(4\) nach rechts und \(2\) nach oben, spiegle den Punkt an der y-Achse und drehe ihn dann um den Ursprung um \(90^\circ\).“ Fynn zeichnet die Punkte \((5|3)\), \((-5|3)\) und \((-3|-5)\). Bei jedem Schritt bleiben Abstände und Winkel gleich, nur die Lage ändert sich. Solche Bewegungen heißen Kongruenzabbildungen. In diesem Kapitel lernst du sie so genau, dass du jeden Bildpunkt berechnen kannst, ohne zu zeichnen, und du erfährst, wie man mit Zirkel und Lineal wichtige Linien konstruiert.
Kongruenzabbildungen
Definition: Kongruenzabbildung
Bei einer Kongruenzabbildung bleiben Streckenlängen, Winkelgrößen und Flächeninhalt erhalten. Urbild und Bild sind kongruent (deckungsgleich). Dazu gehören Achsenspiegelung, Verschiebung, Drehung und Punktspiegelung.
Merke: Keine Streckung
Eine Streckung ist keine Kongruenzabbildung, weil sie die Länge verändert.
Achsenspiegelung
Definition: Achsenspiegelung
Bei der Spiegelung an einer Geraden \(a\) (der Spiegelachse) liegen Punkt und Bildpunkt auf einer Senkrechten zur Achse und haben von ihr denselben Abstand. Die Achse ist die Mittelsenkrechte der Strecke \(PP'\).
Regel: Spiegelung im Koordinatensystem
- an der x-Achse: \((x|y)\to(x|-y)\)
- an der y-Achse: \((x|y)\to(-x|y)\)
- an der Geraden \(y=x\): \((x|y)\to(y|x)\)
- an der Geraden \(x=3\): \((x|y)\to(6-x|y)\)
Beispiel 1: Spiegeln
Spiegle \(A(2|3)\) an beiden Achsen und \(P(5|2)\) an der Geraden \(x=3\).
\(A(2|3)\) wird an der x-Achse zu \(A'(2|-3)\), an der y-Achse zu \(A''(-2|3)\).
\(P(5|2)\) hat von \(x=3\) den Abstand 2. Also \(P'(1|2)\), denn \(3-2=1\).
Verschiebung
Definition: Verschiebung
Bei einer Verschiebung wird jeder Punkt um denselben Verschiebungsvektor \(\binom{a}{b}\) bewegt: \((x|y)\to(x+a\,|\,y+b)\). Alle Verbindungsstrecken von Punkt und Bildpunkt sind gleich lang und parallel.
Beispiel 2: Verschieben
Verschiebe \(P(1|4)\) und \(Q(-2|0)\) um \(\binom{3}{-2}\). Welcher Vektor führt \(A(2|4)\) nach \(A'(6|1)\)?
\(P'(4|2)\) und \(Q'(1|-2)\).
Vektor: \(\binom{6-2}{1-4}=\binom{4}{-3}\).
Drehung
Definition: Drehung
Eine Drehung wird durch ein Drehzentrum \(Z\) und einen Drehwinkel festgelegt. Positive Winkel zählt man gegen den Uhrzeigersinn. Der Abstand zum Drehzentrum bleibt gleich.
Regel: Drehung um den Ursprung
- \(90^\circ\) gegen den Uhrzeigersinn: \((x|y)\to(-y|x)\)
- \(180^\circ\): \((x|y)\to(-x|-y)\)
- \(270^\circ\) (also \(90^\circ\) im Uhrzeigersinn): \((x|y)\to(y|-x)\)
Beispiel 3: Drehen
Drehe \(P(3|1)\) und \(Q(-2|4)\) um \(90^\circ\) gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung.
\(P'(-1|3)\) und \(Q'(-4|-2)\).
Punktspiegelung und Symmetrie
Definition: Punktspiegelung
Bei der Punktspiegelung an einem Zentrum \(Z\) liegt \(Z\) in der Mitte der Strecke \(PP'\). Sie entspricht einer Drehung um \(180^\circ\). Am Ursprung gilt \((x|y)\to(-x|-y)\).
Beispiel 4: Zentrum nicht im Ursprung
Spiegle \(A(5|-3)\) am Zentrum \(Z(1|1)\).
\(A'=(2\cdot1-5\,|\,2\cdot1-(-3))=(-3|5)\).
Definition: Symmetrie
Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn sie bei einer Spiegelung in sich übergeht, und drehsymmetrisch, wenn sie bei einer Drehung um einen Winkel kleiner als \(360^\circ\) in sich übergeht.
Merke: Symmetrien bekannter Figuren
Quadrat: 4 Achsen, kleinster Drehwinkel \(90^\circ\). Gleichseitiges Dreieck: 3 Achsen, \(120^\circ\). Rechteck (kein Quadrat): 2 Achsen, \(180^\circ\). Regelmäßiges Sechseck: 6 Achsen, \(60^\circ\).
Kongruenzsätze für Dreiecke
Satz: Kongruenzsätze
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie übereinstimmen in
- SSS: drei Seiten,
- SWS: zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel,
- WSW (oder WWS): einer Seite und zwei Winkeln,
- SsW: zwei Seiten und dem Winkel, der der längeren Seite gegenüberliegt.
Achtung
Drei Winkel allein reichen nicht, denn dann sind die Dreiecke nur ähnlich. Ein Dreieck mit den Seiten 3 cm, 4 cm und 8 cm gibt es nicht, weil \(3+4<8\) ist. Es gilt die Dreiecksungleichung: Die Summe zweier Seiten ist immer größer als die dritte.
Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
So gehst du vor: Mittelsenkrechte konstruieren
- Zeichne um \(A\) einen Kreisbogen mit einem Radius größer als die halbe Strecke \(AB\).
- Zeichne um \(B\) einen Kreisbogen mit demselben Radius.
- Verbinde die beiden Schnittpunkte der Bögen mit dem Lineal.
- Die Gerade halbiert die Strecke und steht senkrecht auf ihr. Jeder ihrer Punkte hat von \(A\) und \(B\) denselben Abstand.
So gehst du vor: Winkelhalbierende konstruieren
- Zeichne einen Kreisbogen um den Scheitel; er schneidet beide Schenkel.
- Zeichne um beide Schnittpunkte Kreisbögen mit gleichem Radius.
- Verbinde den Scheitel mit dem Schnittpunkt der beiden Bögen. Die Gerade teilt den Winkel in zwei gleich große Teile.
Abbildungen nacheinander ausführen
Beispiel 5: Verkettung
Verschiebe \(P(1|2)\) um \(\binom{2}{1}\) und spiegle das Bild an der x-Achse.
Verschiebung: \(P'(3|3)\). Spiegelung: \(P''(3|-3)\).
Die Reihenfolge ist wichtig: Spiegelst du zuerst, kann ein anderes Ergebnis herauskommen.
Merke: Zwei Spiegelungen
Zwei Spiegelungen an parallelen Achsen ergeben eine Verschiebung, zwei Spiegelungen an sich schneidenden Achsen eine Drehung.
Abbildungen als Rechenvorschrift
Im Koordinatensystem kannst du jede Abbildung als Vorschrift schreiben, die aus \((x|y)\) den Bildpunkt macht. Das spart das Zeichnen und liefert genaue Werte. Wichtig ist, dass du die Vorschrift richtig aufstellst: Bei der Verschiebung addierst du Vektoreinträge, bei der Spiegelung wechselst du das Vorzeichen einer Koordinate oder tauschst die Koordinaten, bei der Drehung vertauschst du beide Koordinaten und änderst ein Vorzeichen.
Beispiel 7: Dreieck spiegeln und drehen
Das Dreieck \(A(2|1)\), \(B(4|1)\), \(C(3|3)\) wird an der y-Achse gespiegelt, das Bild um \(90^\circ\) gedreht. Gib die Bildpunkte an.
Spiegelung \((x|y)\to(-x|y)\): \(A'(-2|1)\), \(B'(-4|1)\), \(C'(-3|3)\). Drehung \((x|y)\to(-y|x)\): \(A''(-1|-2)\), \(B''(-1|-4)\), \(C''(-3|-3)\). Probe: \(|AB|=2\) und \(|A''B''|=|-2-(-4)|=2\).
Fixpunkte und Fixgeraden
Ein Fixpunkt ist ein Punkt, der bei einer Abbildung auf sich selbst abgebildet wird. Bei der Achsenspiegelung sind alle Punkte der Spiegelachse Fixpunkte. Bei der Drehung ist es nur das Drehzentrum, bei der Punktspiegelung nur das Zentrum, bei einer Verschiebung gibt es keine Fixpunkte. Eine Fixgerade geht als Ganzes in sich über, zum Beispiel jede Gerade durch das Zentrum bei der Punktspiegelung.
Beispiel 8: Fixpunkte erkennen
Welche Fixpunkte hat die Spiegelung an \(y=x\)?
Die Vorschrift lautet \((x|y)\to(y|x)\). Ein Fixpunkt muss \(x=y\) erfüllen, also liegen genau die Punkte der Geraden \(y=x\) fest, zum Beispiel \((3|3)\).
Konstruieren mit Zirkel und Lineal
Neben der Mittelsenkrechten und der Winkelhalbierenden gibt es weitere Grundkonstruktionen. Alle beruhen darauf, dass du mit dem Zirkel gleiche Abstände abträgst. Dadurch entstehen Raute und Drachen, und deren Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.
So gehst du vor: Lot von einem Punkt auf eine Gerade fällen
- Zeichne um den Punkt \(P\) einen Kreisbogen, der die Gerade in zwei Punkten \(A\) und \(B\) schneidet.
- Zeichne um \(A\) und um \(B\) zwei Kreisbögen mit demselben Radius, der größer als die halbe Strecke \(AB\) ist.
- Verbinde \(P\) mit dem Schnittpunkt der beiden Bögen. Diese Gerade ist das Lot.
Beispiel 9: Dreieck mit Zahlen prüfen
Gegeben sind \(A(0|0)\), \(B(6|0)\) und \(C(2|4)\). Berechne den Mittelpunkt von \(AB\) und die Gleichung der Mittelsenkrechten.
Mittelpunkt \(M(3|0)\). \(AB\) liegt auf der x-Achse, die Mittelsenkrechte ist also senkrecht: die Gerade \(x=3\). Auf ihr liegen alle Punkte, die von \(A\) und \(B\) gleich weit entfernt sind, zum Beispiel \((3|5)\): Abstand zu \(A\) und \(B\) ist jeweils \(\sqrt{9+25}\).
Wusstest du?
Muster in der Alhambra in Spanien zeigen fast alle Kongruenzabbildungen: Spiegelungen, Drehungen und Verschiebungen. Mathematiker haben bewiesen, dass es nur \(17\) verschiedene Arten gibt, die Ebene mit Mustern zu füllen. Auch die Computergrafik arbeitet mit diesen Abbildungen, wenn sie Figuren auf dem Bildschirm bewegt.
Merke: Das Wichtigste auf einen Blick
- Kongruenzabbildungen (Spiegelung, Verschiebung, Drehung, Punktspiegelung) erhalten Längen, Winkel und Flächen.
- Achsenspiegelung: Punkt und Bild haben gleichen Abstand zur Achse; \(x\)-Achse: \((x|y)\to(x|-y)\), \(y\)-Achse: \((x|y)\to(-x|y)\).
- Verschiebung um \(\binom ab\): \((x|y)\to(x+a\,|\,y+b)\).
- Drehung um den Ursprung: \(90^\circ\): \((x|y)\to(-y|x)\), \(180^\circ\): \((x|y)\to(-x|-y)\), \(270^\circ\): \((x|y)\to(y|-x)\).
- Punktspiegelung am Zentrum \(Z(z_1|z_2)\): \((x|y)\to(2z_1-x\,|\,2z_2-y)\), sie ist eine Drehung um \(180^\circ\).
- Kongruenzsätze SSS, SWS, WSW, SsW; drei Winkel allein genügen nicht.
- Dreiecksungleichung: Die Summe zweier Seiten ist größer als die dritte.
- Beim Verketten von Abbildungen ist die Reihenfolge wichtig; zwei Spiegelungen ergeben eine Verschiebung oder eine Drehung.
Achtung
Beim Spiegeln wechselt nur eine Koordinate das Vorzeichen (x-Achse: nur \(y\)). Positive Drehwinkel zählen gegen den Uhrzeigersinn. Beim Verschieben wendest du den Vektor auf beide Koordinaten an. Verstelle beim Konstruieren den Zirkel nicht zwischendurch.
Vertiefung: Abbildungen erkennen und verketten
So gehst du vor: Eine unbekannte Abbildung bestimmen
- Vergleiche Urbild und Bild: Sind die Figuren gleich groß? Dann liegt eine Kongruenzabbildung vor.
- Prüfe den Umlaufsinn: Läuft die Reihenfolge der Ecken im Bild andersherum, handelt es sich um eine Achsenspiegelung.
- Ist jeder Punkt um denselben Vektor verschoben, liegt eine Verschiebung vor. Berechne den Vektor aus einem Punktpaar.
- Andernfalls suche ein Drehzentrum: Es ist von jedem Punkt und seinem Bildpunkt gleich weit entfernt und liegt auf allen Mittelsenkrechten der Strecken zwischen Punkt und Bildpunkt.
- Kontrolliere deine Vermutung mit allen Eckpunkten.
Beispiel: Zwei Spiegelungen ergeben eine Drehung
Der Punkt \(P(3|1)\) wird an der x-Achse und danach an der Geraden \(y=x\) gespiegelt. Welche Abbildung entsteht?
Die erste Spiegelung liefert \(P'(3|-1)\). Bei der Spiegelung an \(y=x\) werden die Koordinaten vertauscht: \(P''(-1|3)\). Vergleicht man mit \(P\), so gilt \((x|y)\to(-y|x)\). Das ist eine Drehung um \(90^\circ\) um den Ursprung. Die beiden Achsen schneiden sich im Ursprung unter \(45^\circ\), und der Drehwinkel ist doppelt so groß. Diese Regel gilt allgemein für zwei Spiegelungen an sich schneidenden Achsen.
Schon gewusst?
Der Künstler M. C. Escher füllte ganze Flächen lückenlos mit Vögeln, Fischen und Eidechsen. Er nutzte dafür genau die Abbildungen aus diesem Kapitel: Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen. Auch die maurischen Fliesenmuster der Alhambra in Spanien beruhen darauf. Mathematiker haben bewiesen, dass es nur 17 grundsätzlich verschiedene Arten solcher ebener Muster gibt, und in der Alhambra findet man viele davon.
Ottos Tipp
Zeichne immer ein Koordinatensystem und trage die Punkte ein. Kontrolliere bei der Spiegelung, ob der Abstand zur Achse links und rechts gleich ist. Bei der Drehung muss der Abstand zum Drehzentrum gleich bleiben.
So nutzt du den Lernzettel Geometrische Konstruktionen und Abbildungen (Klasse 8)
Lies zuerst das Wichtigste oben, damit du weißt, worum es geht. Danach arbeitest du jede Definition und jedes Beispiel durch und deckst die Lösung zuerst ab. Anschließend übst du mit dem Arbeitsblatt zu Geometrische Konstruktionen und Abbildungen und vergleichst mit den Lösungen. Sobald du dich sicher fühlst, testest du dich mit dem Online-Test oder dem Quiz. Schließlich schreibst du die Klassenarbeit zu Geometrische Konstruktionen und Abbildungen und korrigierst sie mit den Lösungen zur Klassenarbeit.
Außerdem eignet sich das Kopfrechnen zum Aufwärmen, damit das Wissen frisch bleibt. Außerdem gehören alle Seiten dieses Kapitels zusammen, sodass du jederzeit wechseln kannst. Zum Beispiel lesen viele Schüler montags den Lernzettel, üben mittwochs und testen sich freitags. Kurz gesagt enthält dieser Lernzettel zu Geometrische Konstruktionen und Abbildungen (Klasse 8) alles, was du für das Thema brauchst.
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