Geometrische Konstruktionen und Abbildungen – Mathe Klasse 8 Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Spiegle die Punkte an der x-Achse und an der y-Achse. Bei der Spiegelung an der x-Achse ändert sich \(y\), bei der an der y-Achse \(x\).

a) Ergänze die Tabelle.
b) Welche Koordinate bleibt jeweils gleich?
c) Der Punkt \(D(0|4)\) wird an der y-Achse gespiegelt. Was fällt auf?

Spiegle den Punkt an der angegebenen Geraden. Bestimme dazu den Abstand zur Achse.

a) \(P(5|2)\) an \(x=3\)
b) \(Q(-1|4)\) an \(x=3\)
c) \(R(2|3)\) an \(y=-1\)
d) \(S(4|-3)\) an \(y=-1\)

Verschiebe die Punkte um den Vektor \(\binom{3}{-2}\) und bestimme dann einen Verschiebungsvektor aus zwei Punkten.

a) \(P(1|4)\)
b) \(Q(-2|0)\)
c) \(R(3|-3)\)
d) Welcher Vektor führt \(A(2|4)\) nach \(A'(6|1)\)?

Drehe die Punkte um den Ursprung. Positive Winkel zählen gegen den Uhrzeigersinn.

a) \(P(3|1)\) um \(90^\circ\)
b) \(Q(-2|4)\) um \(90^\circ\)
c) \(R(5|-2)\) um \(180^\circ\)
d) \(S(2|3)\) um \(270^\circ\)

Spiegle die Punkte am Zentrum \(Z(1|1)\). Es gilt \(P'=(2\cdot1-x\,|\,2\cdot1-y)\).

a) \(A(5|-3)\)
b) \(B(0|0)\)
c) \(C(-2|4)\)
d) Prüfe bei \(A\), dass \(Z\) die Mitte von \(AA'\) ist.

Zwei Dreiecke stimmen in den angegebenen Größen überein. Entscheide, ob sie kongruent sind, und nenne gegebenenfalls den Satz (SSS, SWS, WSW, SsW).

a) \(a=5\) cm, \(b=7\) cm, \(c=8\) cm
b) \(a=4\) cm, \(b=6\) cm und \(\gamma=50^\circ\) (eingeschlossen)
c) \(c=7\) cm, \(\alpha=40^\circ\), \(\beta=70^\circ\)
d) \(\alpha=50^\circ\), \(\beta=60^\circ\), \(\gamma=70^\circ\)

Im Werkunterricht sollen aus drei Holzstäben Dreiecke gelegt werden. Es gilt: Die Summe zweier Seiten muss größer sein als die dritte (Dreiecksungleichung).

a) Gelingt ein Dreieck mit \(3\) cm, \(4\) cm und \(8\) cm?
b) Gelingt es mit \(5\) cm, \(6\) cm und \(10\) cm?
c) Gelingt es mit \(2\) cm, \(2\) cm und \(4\) cm? Was entsteht?
d) Zwei Stäbe sind \(7\) cm und \(12\) cm lang. Zwischen welchen Werten muss die dritte Seitenlänge liegen?

Betrachte die Formen von Verkehrsschildern und gib die Anzahl der Symmetrieachsen und den kleinsten Drehwinkel an.

a) Ergänze die Tabelle.
b) Welche der Formen sind drehsymmetrisch, aber nicht punktsymmetrisch?
c) Wie viele Achsen hat ein regelmäßiges Zwölfeck, und wie groß ist sein kleinster Drehwinkel?

Der Punkt \(P(1|2)\) wird zuerst um \(\binom{2}{1}\) verschoben und das Bild dann an der x-Achse gespiegelt.

a) Berechne das Bild \(P'\) und \(P''\).
b) Vertausche die Reihenfolge: erst spiegeln, dann verschieben. Berechne das Ergebnis.
c) Sind die Ergebnisse gleich? Erkläre kurz, warum die Reihenfolge wichtig ist.

Der Punkt \(P(2|1)\) wird zweimal gespiegelt. Untersuche, welche Abbildung entsteht.

a) Spiegle \(P\) zuerst an der y-Achse, dann an der Geraden \(x=4\).
b) Spiegle \(P\) zuerst an der x-Achse, dann an der y-Achse.
c) Welche Abbildung ersetzt jeweils die beiden Spiegelungen?
d) Der Abstand der parallelen Achsen in a) ist \(4\). Wie hängt er mit der Verschiebungsweite zusammen?

Piraten Kapitän Fynn plant eine Schatzsuche auf der Karte mit Koordinaten. Das Lager liegt bei \(L(1|1)\). Die Anweisungen lauten:

a) Berechne die Position nach jedem Schritt.
b) Welcher Punkt ist der Schatz?
c) Wie weit ist der Schatz vom Ursprung entfernt? (Runde auf eine Dezimale.)
d) Fynn behauptet: „Wenn ich Schritt 2 und 3 vertausche, liegt der Schatz am selben Ort.“ Prüfe.

Ein Pflastermuster entsteht, indem das Motiv \(M\) (Dreieck mit \(A(0|0)\), \(B(2|0)\), \(C(1|2)\)) immer wieder um den Vektor \(\binom{3}{0}\) nach rechts verschoben wird. Das erste Motiv ist \(M_1\).

a) Gib die Eckpunkte von \(M_2\) und \(M_3\) an.
b) Welche Koordinaten hat \(A\) im \(5\). Motiv?
c) Das Muster geht über \(30\) m (jede Einheit entspricht \(1\) m). Wie viele Motive passen hinein?
d) Jedes Motiv hat den Flächeninhalt \(2\,\mathrm{m}^2\), ein Quadratmeter Pflaster kostet \(55\,€\). Wie teuer sind alle Motive des Streifens?

Zwei Häuser stehen bei \(A(1|1)\) und \(B(7|5)\) (Koordinaten in Zehnern von Metern). Ein Brunnen soll von beiden Häusern gleich weit entfernt sein, also auf der Mittelsenkrechten von \(AB\) liegen.

a) Berechne den Mittelpunkt \(M\) der Strecke \(AB\).
b) Bestimme die Steigung von \(AB\) und die der Mittelsenkrechten (senkrecht: \(m_1\cdot m_2=-1\)).
c) Gib die Gleichung der Mittelsenkrechten an.
d) Liegt \(P(2|6)\) auf der Mittelsenkrechten? Prüfe auch die Abstände zu \(A\) und \(B\).

Konstruiere (gedanklich oder mit Zirkel und Lineal) ein Dreieck mit \(a=5\) cm, \(b=6\) cm und \(c=7\) cm.

a) Prüfe mit der Dreiecksungleichung, ob das Dreieck existiert.
b) Beschreibe die Konstruktion in Schritten.
c) Welcher Kongruenzsatz garantiert, dass alle Dreiecke mit diesen Maßen gleich aussehen?
d) Warum ist ein Dreieck mit \(a=5\) cm, \(b=6\) cm und \(\alpha=40^\circ\) (gegenüber von \(a\)) nicht eindeutig?

Das Dreieck \(ABC\) mit \(A(1|1)\), \(B(5|1)\), \(C(3|4)\) wird nacheinander abgebildet:
(1) Spiegelung an der y-Achse, (2) Verschiebung um \(\binom{0}{-5}\), (3) Drehung um \(180^\circ\) um den Ursprung.

a) Berechne die Eckpunkte nach jedem Schritt.
b) Zeige, dass alle Dreiecke kongruent sind, indem du Seite \(AB\) und den Flächeninhalt vergleichst.
c) Mit welcher einzigen Abbildung kommst du direkt vom ersten zum letzten Dreieck?
d) Warum bleibt der Flächeninhalt bei jeder Kongruenzabbildung gleich?

Die Designerin Selma entwirft ein Logo. Der Punkt \(P(3|1)\) wird um den Ursprung dreimal um \(90^\circ\) gedreht. So entsteht ein Viereck.

a) Gib die Punkte \(P'\), \(P''\) und \(P'''\) an.
b) Berechne die Länge einer Seite \(PP'\) mit dem Satz des Pythagoras.
c) Welche Figur entsteht, und wie groß ist ihr Flächeninhalt?
d) Wie viele Symmetrieachsen und welchen kleinsten Drehwinkel hat das Logo?

In einem Kunstmuseum gibt es zwei Spiegel: Spiegel 1 spiegelt an der Geraden \(y=x\), Spiegel 2 an der Geraden \(y=-x\). Dort gilt: Spiegel 1: \((x|y)\to(y|x)\); Spiegel 2: \((x|y)\to(-y|-x)\).

a) Ergänze die Tabelle.
b) Welche einzelne Abbildung entsteht, wenn man beide Spiegelungen hintereinander ausführt?
c) Begründe mit den Winkeln der beiden Achsen.
d) Was passiert, wenn man die Reihenfolge der Spiegel vertauscht?

Ein Beet hat die Form eines Parallelogramms \(ABCD\) mit \(AB=8\) m, \(BC=5\) m und der Diagonalen \(AC=9\) m. Die Diagonale teilt es in die Dreiecke \(ABC\) und \(CDA\).

a) Welche Seiten sind in einem Parallelogramm gleich lang? Gib die Längen von \(CD\) und \(DA\) an.
b) Begründe mit einem Kongruenzsatz, dass die Dreiecke \(ABC\) und \(CDA\) kongruent sind.
c) Berechne den Umfang des Beetes.
d) Die Diagonale \(AC\) wird auf \(14\) m verlängert. Warum ist das nicht möglich, wenn \(AB\) und \(BC\) gleich bleiben?

Das Dreieck \(ABC\) mit \(A(1|2)\), \(B(3|2)\), \(C(3|5)\) wurde abgebildet.

a) Bestimme für Bild 1 die Abbildung und prüfe mit allen drei Punkten.
b) Bestimme für Bild 2 die Abbildung und den Vektor.
c) Begründe, warum beide Bilder zum Urbild kongruent sind.
d) Erkläre, wie du erkennst, ob es eine Drehung oder eine Spiegelung ist.

Der Punkt \(P(2|1)\) wird mit den Abbildungen \(V\): Verschiebung um \(\binom{1}{0}\) und \(D\): Drehung um \(90^\circ\) um den Ursprung bearbeitet.

a) Führe zuerst \(V\), dann \(D\) aus.
b) Führe zuerst \(D\), dann \(V\) aus.
c) Ändert sich etwas, wenn du zwei Verschiebungen vertauschst? Begründe allgemein.
d) Gib zwei Spiegelungen an, bei denen die Reihenfolge egal ist.