Ungleichungen – Mathe Klasse 7 Arbeitsblatt Lösungen zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1

   Man setzt jede Zahl ein und prüft, ob eine wahre Aussage entsteht.

   a) \(-2<3\) und \(0<3\) sind wahr. \(3<3\) ist falsch, denn \(3\) ist nicht kleiner als sich selbst. \(5<3\) ist falsch. Lösungen: \(-2\) und \(0\).

   b) \(x\ge0\) gilt für \(0\), \(3\) und \(5\). Die Null gehört dazu, weil „gleich“ erlaubt ist.

   c) Umformen: \(2x-1>4\), \(2x>5\), \(x>2{,}5\). Das erfüllen \(3\) und \(5\). Kontrolle: \(2\cdot3-1=5>4\).

2. Lösung zu Aufgabe 2

   Bei \(<\) und \(>\) gehört die Grenze nicht dazu (leerer Kreis), bei \(\le\) und \(\ge\) schon (ausgefüllter Punkt).

   a) \(\mathbb{L}=\{x\mid x>2\}\): leerer Kreis bei \(2\), Pfeil nach rechts, denn alle größeren Zahlen sind Lösungen.

   b) \(\mathbb{L}=\{x\mid x\le-1\}\): ausgefüllter Punkt bei \(-1\), Pfeil nach links.

   c) \(\mathbb{L}=\{x\mid-2<x\le3\}\): leerer Kreis bei \(-2\), ausgefüllter Punkt bei \(3\), dazwischen eine durchgezogene Strecke, da beide Bedingungen gleichzeitig gelten.

3. Lösung zu Aufgabe 3

   Man formt wie bei Gleichungen um. Da hier nur mit positiven Zahlen multipliziert oder geteilt wird, bleibt das Zeichen erhalten.

   a) \(x+4<9\ \mid-4\): \(x<5\), \(\mathbb{L}=\{x\mid x<5\}\).

   b) \(x-3\ge5\ \mid+3\): \(x\ge8\).

   c) \(3x\le12\ \mid:3\): \(x\le4\).

   d) \(\frac{x}{2}>-3\ \mid\cdot2\): \(x>-6\). Probe mit \(x=0\): \(0>-3\) ist wahr.

4. Lösung zu Aufgabe 4

   a) \(4x-7>9\ \mid+7\): \(4x>16\ \mid:4\): \(x>4\).

   b) \(5x+2\le27\ \mid-2\): \(5x\le25\ \mid:5\): \(x\le5\).

   c) \(2x+9<3\ \mid-9\): \(2x<-6\ \mid:2\): \(x<-3\).

   d) \(6-x\ge1\ \mid-6\): \(-x\ge-5\). Nun wird mit \(-1\) multipliziert, deshalb dreht sich das Relationszeichen: \(x\le5\). Probe mit \(x=0\): \(6\ge1\) ist wahr; mit \(x=6\): \(0\ge1\) ist falsch.

   Antwort: \(x>4\); \(x\le5\); \(x<-3\); \(x\le5\).

5. Lösung zu Aufgabe 5

   Bei jeder Division durch eine negative Zahl wird das Zeichen umgedreht.

   a) \(-3x+2\le14\ \mid-2\): \(-3x\le12\ \mid:(-3)\): \(x\ge-4\).

   b) \(-2x>10\ \mid:(-2)\): \(x<-5\).

   c) \(4-5x<-6\ \mid-4\): \(-5x<-10\ \mid:(-5)\): \(x>2\).

   d) \(-\frac{x}{2}\ge3\ \mid\cdot(-2)\): \(x\le-6\).

   Probe bei c) mit \(x=3\): \(4-15=-11<-6\) ist wahr. Antwort: \(x\ge-4\); \(x<-5\); \(x>2\); \(x\le-6\).

6. Lösung zu Aufgabe 6

   a) \(2x+2<3x-1\ \mid-2x+1\): \(3<x\), also \(x>3\).

   b) \(5x-3\ge2x+9\ \mid-2x+3\): \(3x\ge12\), \(x\ge4\).

   c) \(3x-6\le x+4\ \mid-x+6\): \(2x\le10\), \(x\le5\).

   d) \(7-2x>x-8\ \mid+2x+8\): \(15>3x\), also \(5>x\) und damit \(x<5\).

   Tipp: Bringe die \(x\)-Glieder auf die Seite, auf der der Koeffizient positiv bleibt. Dann musst du nicht durch eine negative Zahl teilen. Antwort: \(x>3\); \(x\ge4\); \(x\le5\); \(x<5\).

7. Lösung zu Aufgabe 7

   a) Kosten für \(x\) Karten dürfen das Geld nicht übersteigen: \(8{,}5x\le25\), \(x\le2{,}94\). Da es nur ganze Karten gibt, rundet man ab: höchstens 2 Karten.

   b) Eine Karte mit Popcorn kostet \(12{,}70\,€\): \(12{,}7x\le25\), \(x\le1{,}97\). Höchstens 1 Karte mit Popcorn.

   c) Mit Gutschein kostet die Karte \(0{,}8\cdot8{,}50=6{,}80\,€\): \(6{,}8x\le25\), \(x\le3{,}68\). Höchstens 3 Karten.

   d) \(4\cdot8{,}50=34{,}00\,€\). Man braucht mindestens 34 €, Jan fehlen also 9 €.

8. Lösung zu Aufgabe 8

   a) Gewicht der Frau plus Gewicht der Kisten darf 450 kg nicht überschreiten: \(70+36x\le450\), \(36x\le380\), \(x\le10{,}56\). Abrunden: höchstens 10 Kisten. Kontrolle: \(70+360=430\le450\), aber \(70+396=466>450\).

   b) \(140+36x\le450\), \(36x\le310\), \(x\le8{,}61\). Höchstens 8 Kisten.

   c) \(70+42x\le450\), \(42x\le380\), \(x\le9{,}05\). Höchstens 9 Kisten.

   Antwort: 10, 8 bzw. 9 Kisten.

9. Lösung zu Aufgabe 9

   a) A ist günstiger, wenn \(8+0{,}05x<0{,}10x\). Subtraktion von \(0{,}05x\): \(8<0{,}05x\), also \(x>160\). Ab 161 Minuten ist A günstiger; bei genau 160 Minuten kosten beide 16 €.

   b) \(8+0{,}05x\le15\), \(0{,}05x\le7\), \(x\le140\) Minuten.

   c) \(0{,}1x\le15\), \(x\le150\) Minuten.

   d) Wer im Monat weniger als 160 Minuten telefoniert, zahlt bei Tarif B weniger, Vieltelefonierer sind mit Tarif A besser beraten.

10. Lösung zu Aufgabe 10

    a) Die Kosten dürfen höchstens 1100 € betragen: \(300+32x\le1100\), \(32x\le800\), \(x\le25\). Es dürfen höchstens 25 Personen mitfahren.

    b) Mindestens 18 und höchstens 25 Personen: \(18\le x\le25\). Das sind \(25-18+1=8\) mögliche Teilnehmerzahlen.

    c) Bei 18 Personen: \((300+32\cdot18):18=876:18\approx48{,}67\,€\). Bei 25 Personen: \(1100:25=44{,}00\,€\).

    Antwort: Je mehr Personen mitfahren, desto günstiger wird es für jeden, weil sich der Buspreis auf mehr Personen verteilt.

11. Lösung zu Aufgabe 11

    a) Mindestens 60 und höchstens 100 km/h: \(60\le v\le100\).

    b) Zeit = Strecke durch Geschwindigkeit: \(150:100=1{,}5\,\mathrm{h}\) und \(150:60=2{,}5\,\mathrm{h}\).

    c) \(\frac{150}{v}\le2\). Multiplikation mit \(v\) (positiv): \(150\le2v\), also \(v\ge75\,\mathrm{km/h}\).

    d) Beide Bedingungen zusammen: \(75\le v\le100\).

    Antwort: Für höchstens zwei Stunden Fahrzeit muss die Familie im Schnitt zwischen 75 und 100 km/h fahren.

12. Lösung zu Aufgabe 12

    a) Erlaubt ist \(2\le T\le7\). \(5{,}5\) und \(2{,}5\) liegen im Bereich. \(8\) ist zu warm, \(1{,}5\) ist zu kalt.

    b) Erlaubt ist \(T\le-18\). \(-20\) und \(-18\) erfüllen das. \(-17\) ist größer als \(-18\), also zu warm.

    c) Temperatur nach \(t\) Stunden: \(-20+1{,}5t\). Bedingung: \(-20+1{,}5t\le-18\), \(1{,}5t\le2\), \(t\le1{,}33\,\mathrm{h}\). Das sind etwa \(1\,\mathrm{h}\,20\,\mathrm{min}\).

    Antwort: Rund 80 Minuten bleibt die Temperatur im erlaubten Bereich.

13. Lösung zu Aufgabe 13

    Bisherige Summe: \(78+85+72=235\) Punkte. Mit der vierten Arbeit \(x\) ist der Durchschnitt \(\frac{235+x}{4}\).

    a) \(\frac{235+x}{4}\ge80\ \mid\cdot4\): \(235+x\ge320\), \(x\ge85\). Sie braucht mindestens 85 Punkte.

    b) \(\frac{235+x}{4}\ge75\): \(235+x\ge300\), \(x\ge65\). Mindestens 65 Punkte.

    c) Mit voller Punktzahl: \(\frac{235+100}{4}=\frac{335}{4}=83{,}75\) Punkte. Mehr ist nicht möglich.

14. Lösung zu Aufgabe 14

    a) Breite \(x\), Länge \(x+6\). Der Umfang darf 40 m nicht überschreiten: \(2(x+x+6)\le40\), \(4x+12\le40\), \(4x\le28\), \(x\le7\).

    b) Zusätzlich \(x\ge5\), also \(5\le x\le7\).

    c) Fläche = Breite mal Länge: \(x=5\): \(5\cdot11=55\,\mathrm{m}^2\). \(x=6\): \(6\cdot12=72\,\mathrm{m}^2\). \(x=7\): \(7\cdot13=91\,\mathrm{m}^2\).

    Antwort: Die größte Fläche von 91 m² entsteht bei 7 m Breite; dann wird der Zaun genau aufgebraucht.

15. Lösung zu Aufgabe 15

    a) Kosten B: \(12+3x\). A ist günstiger, wenn \(12+3x>29\): \(3x>17\), \(x>5{,}67\). Ab 6 Besuchen lohnt sich A.

    b) \(12+3x>21{,}75\): \(3x>9{,}75\), \(x>3{,}25\). Mit Rabatt lohnt sich A schon ab 4 Besuchen.

    c) Bei 8 Besuchen: A \(29\,€\), B \(12+3\cdot8=36\,€\). A ist um \(7{,}00\,€\) günstiger.

    d) \(12+3x\le30\), \(3x\le18\), \(x\le6\). Bei Studio B sind höchstens 6 Besuche für 30 € möglich.

16. Lösung zu Aufgabe 16

    a) \(45+7w\ge129\), \(7w\ge84\), \(w\ge12\). Nach 12 Wochen hat Max genau 129 €.

    b) \(55+7w\ge129\), \(7w\ge74\), \(w\ge10{,}57\). Aufrunden: nach 11 Wochen (\(132\,€\)).

    c) \(45+9w\ge129\), \(9w\ge84\), \(w\ge9{,}33\). Nach 10 Wochen (\(135\,€\)).

    d) Sparbetrag \(s\): \(45+8s\ge129\), \(8s\ge84\), \(s\ge10{,}50\). Max müsste mindestens \(10{,}50\,€\) pro Woche sparen.

    Bei „mindestens“ wird immer auf die nächste ganze Woche aufgerundet.

17. Lösung zu Aufgabe 17

    a) \(35+0{,}03x<10+0{,}08x\ \mid-0{,}03x-10\): \(25<0{,}05x\), \(x>500\). Ab 501 Kopien ist A günstiger.

    b) A: \(35+0{,}03\cdot1200=35+36=71{,}00\,€\). B: \(10+0{,}08\cdot1200=10+96=106{,}00\,€\).

    c) A: \(35+0{,}03x\le60\), \(0{,}03x\le25\), \(x\le833\). B: \(10+0{,}08x\le60\), \(0{,}08x\le50\), \(x\le625\).

    d) Bei 1200 Kopien spart die Schule mit A monatlich \(35\,€\) und kann mit dem gleichen Budget mehr kopieren. Deshalb empfiehlt sich Angebot A.

18. Lösung zu Aufgabe 18

    a) Hin- und Rückweg sind zusammen \(2x\) Kilometer, der Verbrauch also \(4\cdot2x=8x\) Prozent. Es sollen mindestens 10 % übrig bleiben: \(100-8x\ge10\), \(8x\le90\), \(x\le11{,}25\,\mathrm{km}\).

    b) \(100-8x\ge20\), \(8x\le80\), \(x\le10\,\mathrm{km}\).

    c) Ja, denn \(9\le10\). Es bleiben \(100-72=28\,\%\).

    d) \(2\cdot9\cdot4=72\,\%\).

    Antwort: Bei 20 % Reserve darf das Ziel höchstens 10 km entfernt sein.

19. Lösung zu Aufgabe 19

    a) Jahreskarte günstiger als Einzelkarten: \(4{,}5x>120\), \(x>26{,}67\). Ab 27 Besuchen.

    b) Gegenüber Zehnerkarten: \(3{,}6x>120\), \(x>33{,}3\). Ab 34 Besuchen.

    c) 20 Wochen mal 2 Besuche = 40 Besuche. Einzelkarten: \(40\cdot4{,}50=180\,€\). Zehnerkarten: 4 Stück, \(4\cdot36=144\,€\). Jahreskarte: \(120\,€\).

    d) Die Jahreskarte ist am günstigsten: \(180-120=60{,}00\,€\) Ersparnis gegenüber Einzelkarten.

    Antwort: Lena sollte die Jahreskarte kaufen.

20. Lösung zu Aufgabe 20

    a) Erste Bedingung: \(3x-5>2x+1\), also \(x>6\). Zweite Bedingung: \(3x-5<4x\), also \(-5<x\), d. h. \(x>-5\). Beide müssen gelten. Jede Zahl größer als 6 ist auch größer als −5, also \(\mathbb{L}=\{x\mid x>6\}\).

    b) \(x+3>x+1\): Subtraktion von \(x\) ergibt \(3>1\), immer wahr, \(\mathbb{L}=\mathbb{Q}\). \(x-2>x+1\) ergibt \(-2>1\), nie wahr, \(\mathbb{L}=\{\;\}\).

    c) \(7<2x-3<15\ \mid+3\): \(10<2x<18\ \mid:2\): \(5<x<9\).