Zinsrechnung – Mathe Klasse 7 Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Beispiel 1: Zinsen

2 500 € werden ein Jahr zu \(3\,\%\) angelegt.

\(Z=2500\cdot0{,}03=75\). Die Zinsen betragen 75 €.

Beispiel 2: Zinssatz

Für 1 200 € erhält man nach einem Jahr 54 € Zinsen. Wie hoch ist der Zinssatz?

\(p=\frac{54}{1200}\cdot100=4{,}5\). Der Zinssatz beträgt \(4{,}5\,\%\).

Beispiel 3: Kapital

Bei \(2\,\%\) erhält man 80 € Jahreszinsen. Welches Kapital war angelegt?

\(K=\frac{80}{2}\cdot100=4000\). Es waren 4 000 €.

Beispiel 4: Monate

3 600 € werden 5 Monate zu \(2{,}4\,\%\) angelegt.

\(Z=3600\cdot0{,}024\cdot\frac{5}{12}=36\). Die Zinsen betragen 36 €.

Beispiel 5: Tage

4 800 € werden 45 Tage zu \(3\,\%\) angelegt.

\(Z=4800\cdot0{,}03\cdot\frac{45}{360}=18\). Die Zinsen betragen 18 €.

Beispiel 6: Zeit gesucht

Wie viele Tage dauert es, bis 2 000 € bei \(3\,\%\) genau 15 € Zinsen bringen?

Pro Jahr: \(2000\cdot0{,}03=60\) €. Anteil am Jahr: \(\frac{15}{60}=\frac{1}{4}\). Zeit: \(\frac{1}{4}\cdot360=90\) Tage, also 3 Monate.

Beispiel 7: Guthaben

Frau Weber zahlt 7 500 € für 8 Monate auf ein Konto mit \(1{,}8\,\%\) Zinsen ein. Welches Guthaben hat sie danach?

Zeit: \(\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\) Jahr. \(Z=7500\cdot0{,}018\cdot\frac{2}{3}=90\). Guthaben: \(7500+90=7590\) €.

Beispiel 8: Dispo

Wer 500 € für 60 Tage mit \(12\,\%\) überzieht, zahlt wie viel?

\(500\cdot0{,}12\cdot\frac{60}{360}=10\) €. Das zeigt, warum man Schulden vermeiden sollte.

Beispiel 9: Zwei Angebote vergleichen

Bank A zahlt \(2\,\%\) auf \(5\,000\,€\) für ein Jahr, Bank B zahlt \(2{,}4\,\%\) auf \(4\,000\,€\). Welches Angebot bringt mehr?

A: \(5000\cdot0{,}02=100\,€\). B: \(4000\cdot0{,}024=96\,€\). Bank A bringt \(4\,€\) mehr, obwohl der Zinssatz niedriger ist, weil das Kapital größer ist. Vergleiche daher nie nur die Zinssätze.

Beispiel 10: Zinsen aus Tagen mit Kapital gesucht

Für \(60\) Tage erhält man bei \(3\,\%\) Zinsen \(15\,€\). Wie groß war das Kapital?

\(Z=K\cdot0{,}03\cdot\frac{60}{360}\), also \(15=K\cdot0{,}005\). Daraus folgt \(K=\frac{15}{0{,}005}=3000\). Das Kapital betrug \(3\,000\,€\).

Beispiel 11: Ausblick Zinseszins

\(1\,000\,€\) werden \(2\) Jahre zu \(4\,\%\) angelegt, die Zinsen bleiben auf dem Konto. Wie viel ist es danach?

Nach dem ersten Jahr: \(1000\cdot1{,}04=1040\,€\). Nach dem zweiten Jahr: \(1040\cdot1{,}04=1081{,}60\,€\). Mit einfacher Verzinsung wären es nur \(1\,080\,€\). Der Unterschied von \(1{,}60\,€\) sind die „Zinsen auf die Zinsen“.

Beispiel 12: Zinssatz für einige Monate

Ein Kapital von \(6000\,€\) bringt in 5 Monaten \(62{,}50\,€\) Zinsen. Wie hoch ist der Zinssatz?

Rechne zuerst die Zinsen auf ein ganzes Jahr hoch. In 5 Monaten gibt es \(62{,}50\,€\), in einem Monat also \(12{,}50\,€\) und in 12 Monaten \(150\,€\). Jetzt ist es eine gewöhnliche Prozentaufgabe: \(p=\frac{150}{6000}\cdot100=2{,}5\,\%\). Probe mit der Formel: \(6000\cdot0{,}025\cdot\frac{5}{12}=62{,}50\). Der Zinssatz beträgt also \(2{,}5\,\%\) pro Jahr.

Beispiel 13: Endkapital nach einem Jahr

Wie viel Geld hat man nach einem Jahr, wenn man \(1250\,€\) zu \(2{,}4\,\%\) anlegt?

Man kann die Zinsen getrennt ausrechnen, \(1250\cdot0{,}024=30\,€\), und dann addieren: \(1250+30=1280\,€\). Schneller geht es mit dem Zinsfaktor \(q=1+\frac{p}{100}=1{,}024\): \(1250\cdot1{,}024=1280\,€\). Der Zinsfaktor ist dasselbe wie der Wachstumsfaktor aus der Prozentrechnung. Er ist besonders praktisch, wenn man mehrere Jahre nacheinander berechnen will.

Beispiel 14: Die Zeit gesucht

Nach wie vielen Tagen bringen \(3600\,€\) bei \(2\,\%\) genau \(12\,€\) Zinsen?

Berechne zuerst die Jahreszinsen: \(3600\cdot0{,}02=72\,€\). Die gesuchten Zinsen sind \(\frac{12}{72}=\frac16\) davon. Ein Sechstel Jahr sind \(360:6=60\) Tage. Das Geld muss also 60 Tage, das heißt zwei Monate, angelegt bleiben. Probe: \(72\cdot\frac{60}{360}=12\,€\). Bei Aufgaben mit gesuchter Zeit lohnt sich der Umweg über die Jahreszinsen fast immer, weil man danach nur noch einen einfachen Bruchteil des Jahres bestimmen muss.