Was ist der Unterschied zwischen Stufen- und Wechselwinkeln?

Stufenwinkel liegen an gleicher Stelle der beiden Kreuzungen (F), Wechselwinkel auf verschiedenen Seiten zwischen den Parallelen (Z). Beide sind bei Parallelen gleich groß.

Warum ist die Winkelsumme im Dreieck 180 Grad?

Mit einer Parallelen durch eine Ecke zeigen Wechselwinkel, dass die drei Winkel zusammen einen gestreckten Winkel bilden.

Wie berechne ich Winkel im Viereck?

Die Winkelsumme beträgt \(360^\circ\). Ein Winkel ergibt sich aus der Differenz zu den drei anderen.

Wann sind Geraden parallel?

Wenn Stufen- oder Wechselwinkel gleich groß sind.

Winkel an Geraden und im Dreieck Klasse 7 Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Dieser Lernzettel zum Thema Winkel an Geraden und im Dreieck ist für Klasse 7 (Alter 12-13) geschrieben. Kurz gesagt geht es darum: Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel, Winkelsätze. Bevor du anfängst, wiederhole am besten Zinsrechnung und Kongruenz und Dreieckskonstruktion, denn dieser Lernzettel baut darauf auf.

Winkel an Geraden und im Dreieck Klasse 7 Lernzettel: das lernst du

An Geraden und in Dreiecken stehen Winkel in festen Beziehungen. Mit ein paar Sätzen berechnest du fehlende Winkel, ohne sie zu messen.

Einstieg: Die Klappleiter

Eine Klappleiter steht aufgeklappt auf dem Boden. Zwischen den beiden Leiterschenkeln liegt ein Winkel von \(40^\circ\). Wie groß sind dann die beiden Winkel zum Boden, wenn die Leiter gleich lange Schenkel hat? Das Dreieck aus Boden und zwei Schenkeln ist gleichschenklig, die Basiswinkel sind gleich: \(\frac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ\). Ohne zu messen, hast du Winkel bestimmt. Genau das lernst du in diesem Kapitel: Mit wenigen Sätzen kannst du fehlende Winkel berechnen.

Winkel und ihre Arten

Definition: Winkel

Ein Winkel entsteht, wenn zwei Strahlen von einem gemeinsamen Punkt, dem Scheitel, ausgehen. Die Strahlen heißen Schenkel. Man misst Winkel in Grad (\(^\circ\)).

Regel: Winkelarten

Spitzer Winkel: \(0^\circ<\alpha<90^\circ\). Rechter Winkel: \(90^\circ\). Stumpfer Winkel: \(90^\circ<\alpha<180^\circ\). Gestreckter Winkel: \(180^\circ\). Überstumpfer Winkel: \(180^\circ<\alpha<360^\circ\). Vollwinkel: \(360^\circ\).

So gehst du vor: Winkel messen

Lege den Nullpunkt des Geodreiecks genau auf den Scheitel und die Nulllinie auf einen Schenkel.
Lies am zweiten Schenkel den Wert auf der richtigen Skala ab. Ein spitzer Winkel hat einen Wert unter \(90^\circ\), ein stumpfer einen darüber.
Beim Zeichnen gehst du umgekehrt vor: Schenkel zeichnen, Geodreieck anlegen, Wert markieren, Markierung mit dem Scheitel verbinden.

Winkel an sich schneidenden Geraden

Definition: Nebenwinkel und Scheitelwinkel

Schneiden sich zwei Geraden, entstehen vier Winkel. Nebenwinkel liegen nebeneinander und ergänzen sich zu \(180^\circ\): \(\alpha+\beta=180^\circ\). Scheitelwinkel liegen sich gegenüber und sind gleich groß: \(\alpha=\gamma\).

Beispiel 1: Vier Winkel

Zwei Geraden schneiden sich, ein Winkel beträgt \(\alpha=65^\circ\). Wie groß sind die anderen?

Der Nebenwinkel ist \(\beta=180^\circ-65^\circ=115^\circ\). Der Scheitelwinkel zu \(\alpha\) ist wieder \(65^\circ\), der zu \(\beta\) ist \(115^\circ\).

Winkel an Parallelen

Satz: Winkel an Parallelen

Wird ein Paar paralleler Geraden \(g\parallel h\) von einer dritten Geraden geschnitten, entstehen acht Winkel. Stufenwinkel (F-Winkel) liegen an gleicher Stelle der beiden Kreuzungen und sind gleich groß. Wechselwinkel (Z-Winkel) liegen auf verschiedenen Seiten der Schneidenden zwischen den Parallelen und sind gleich groß. Winkel zwischen den Parallelen auf derselben Seite (E-Winkel) ergänzen sich zu \(180^\circ\).

Merke: Umkehrung

Sind Stufen- oder Wechselwinkel gleich groß, so sind die Geraden parallel.

Beispiel 2: Parallelen

Gegeben \(g\parallel h\) und ein Winkel von \(70^\circ\) an \(g\). Welche Winkel gibt es an \(h\)?

Der Stufenwinkel an \(h\) beträgt \(70^\circ\), der Wechselwinkel ebenfalls \(70^\circ\), der E-Winkel \(110^\circ\).

Winkelsumme im Dreieck

Satz: Winkelsumme im Dreieck

In jedem Dreieck gilt \(\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\). Begründung: Zeichnet man durch \(C\) die Parallele zu \(AB\), erscheinen \(\alpha\) und \(\beta\) als Wechselwinkel neben \(\gamma\). Zusammen bilden die drei Winkel einen gestreckten Winkel.

Satz: Außenwinkel

Der Außenwinkel ist gleich der Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel. Der Außenwinkel bei \(C\) ist \(\alpha+\beta\).

Beispiel 3: Dritter Winkel

Im Dreieck sind \(\alpha=48^\circ\) und \(\beta=77^\circ\). Berechne \(\gamma\) und den Außenwinkel bei C.

\(\gamma=180^\circ-48^\circ-77^\circ=55^\circ\). Der Außenwinkel bei \(C\) beträgt \(48^\circ+77^\circ=125^\circ\).

Beispiel 4: Messung kontrollieren

In einem Dreieck wird \(\alpha=62^\circ\) und \(\beta=47^\circ\) gemessen. Welchen Wert hat \(\gamma\)?

Aus der Winkelsumme folgt \(\gamma=71^\circ\). Misst du \(\gamma\) nach und erhältst etwa 71°, ist die Messung in Ordnung.

Besondere Dreiecke

Definition: Besondere Dreiecke

Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß. Im gleichseitigen Dreieck ist jeder Winkel \(60^\circ\). Im rechtwinkligen Dreieck sind die beiden spitzen Winkel zusammen \(90^\circ\).

Beispiel 5: Gleichschenklig

Ein gleichschenkliges Dreieck hat an der Spitze \(\gamma=40^\circ\). Wie groß sind die Basiswinkel?

\(\alpha=\beta=\frac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ\).

Winkelsumme im Viereck

Satz: Winkelsumme im Viereck

Ein Viereck lässt sich durch eine Diagonale in zwei Dreiecke zerlegen. Daher beträgt die Winkelsumme \(2\cdot180^\circ=360^\circ\). Allgemein hat ein \(n\)-Eck die Winkelsumme \((n-2)\cdot180^\circ\). Beim Fünfeck sind es \(540^\circ\).

Winkel berechnen

So gehst du vor: Winkel berechnen

Fertige eine Skizze an und beschrifte alle bekannten Winkel.
Suche Nebenwinkel, Scheitelwinkel, Stufen- oder Wechselwinkel und Dreiecke.
Berechne den neuen Winkel und begründe ihn mit dem passenden Satz, zum Beispiel „Nebenwinkel“ oder „Winkelsumme im Dreieck“.
Schreibe die Begründung in Klammern hinter die Rechnung.

Hinweis

Der Stundenzeiger einer Uhr dreht sich pro Stunde um \(30^\circ\), der Minutenzeiger pro Minute um \(6^\circ\). Handwerker und Architekten nutzen die Sätze über Parallelen und Dreiecke, um Maße zu berechnen, ohne sie zu messen.

Beispiel 6: Im Alltag (Dachgiebel)

Ein Giebel ist ein gleichschenkliges Dreieck mit Dachneigung \(35^\circ\). Wie groß ist der Winkel am First?

Basiswinkel \(35^\circ\) und \(35^\circ\). Winkel am First: \(180^\circ-2\cdot35^\circ=110^\circ\).

Beispiel 7: Parallelen mit Term

An zwei parallelen Geraden sind zwei Stufenwinkel \(3x+10^\circ\) und \(5x-20^\circ\). Bestimme \(x\).

Stufenwinkel sind gleich: \(3x+10=5x-20\), also \(30=2x\), \(x=15\). Beide Winkel sind \(55^\circ\).

Beispiel 8: Winkelsumme im n-Eck

Wie groß ist jeder Winkel im regelmäßigen Achteck?

Das Achteck lässt sich in \(6\) Dreiecke zerlegen: Summe \(6\cdot180^\circ=1\,080^\circ\). Jeder Winkel: \(\frac{1080^\circ}{8}=135^\circ\).

Typische Fehler

(1) Nebenwinkel und Scheitelwinkel verwechseln. (2) Stufenwinkel und E-Winkel verwechseln: Stufenwinkel sind gleich, E-Winkel ergänzen sich zu \(180^\circ\). (3) Die Sätze für Parallelen anwenden, ohne dass die Geraden parallel sind. (4) Bei gleichschenkligen Dreiecken den falschen Winkel verdoppeln. (5) Mit dem Geodreieck an der falschen Skala ablesen.

Wusstest du?

Die Einteilung des Kreises in \(360\) Grad stammt von den Babyloniern, die mit der Zahl \(60\) rechneten. \(360\) hat sehr viele Teiler, deshalb lässt sich der Kreis leicht in gleiche Teile teilen. Die Winkelsumme im Dreieck war schon dem griechischen Gelehrten Euklid bekannt, der um \(300\) v. Chr. lebte.

Merke: Das Wichtigste auf einen Blick

Nebenwinkel ergänzen sich zu \(180^\circ\), Scheitelwinkel sind gleich.
An Parallelen sind Stufen- und Wechselwinkel gleich, E-Winkel ergänzen sich zu \(180^\circ\).
Winkelsumme im Dreieck: \(180^\circ\), im Viereck: \(360^\circ\).
Außenwinkel = Summe der nicht anliegenden Innenwinkel.
Gleichschenklig: Basiswinkel gleich; gleichseitig: je \(60^\circ\).
Winkelsumme im \(n\)-Eck: \((n-2)\cdot 180^\circ\).

Achtung

Verwechsle Stufen- und Wechselwinkel nicht. Nebenwinkel sind nicht gleich groß, sondern ergänzen sich zu \(180^\circ\). Stufen- und Wechselwinkel darfst du nur verwenden, wenn die Geraden parallel sind. Die Winkelsumme im Dreieck ist \(180^\circ\), nicht \(360^\circ\).

Vertiefung: Winkel begründen statt messen

Einstieg: Warum immer 180°?

Schneide aus Papier ein beliebiges Dreieck aus und reiße die drei Ecken ab. Legt man die drei Ecken mit ihren Spitzen aneinander, bilden sie zusammen immer eine gerade Linie, also einen gestreckten Winkel von \(180^\circ\). Das funktioniert bei spitzen, stumpfen und rechtwinkligen Dreiecken gleichermaßen. Ein solcher Versuch überzeugt, ist aber noch kein Beweis, denn man kann nicht alle Dreiecke ausprobieren. Mit den Winkelsätzen an Parallelen lässt sich dagegen zeigen, dass die Aussage für jedes Dreieck gilt. In der Geometrie werden Winkel deshalb meist nicht gemessen, sondern mit Sätzen begründet und berechnet.

Merke: Der Beweis der Winkelsumme

Zeichne durch die Ecke \(C\) eines Dreiecks die Parallele \(g\) zur Seite \(AB\). An \(C\) entstehen dann drei Winkel, die zusammen einen gestreckten Winkel bilden. Der linke Winkel ist Wechselwinkel zu \(\alpha\), der rechte ist Wechselwinkel zu \(\beta\), und in der Mitte liegt \(\gamma\). Weil Wechselwinkel an Parallelen gleich groß sind, gilt \(\alpha+\gamma+\beta=180^\circ\). Damit ist die Winkelsumme für jedes Dreieck bewiesen.

So gehst du vor: Eine Winkelberechnung begründen

Markiere in der Figur alle gegebenen Winkel und die gesuchten Winkel mit Farbe.
Suche Beziehungen: Nebenwinkel (Summe \(180^\circ\)), Scheitelwinkel (gleich), Stufen- und Wechselwinkel an Parallelen (gleich), Winkelsumme im Dreieck oder Viereck.
Schreibe jeden Rechenschritt mit Begründung auf, zum Beispiel „\(\beta=70^\circ\) (Wechselwinkel zu \(\alpha\))“.
Prüfe am Ende, ob alle Winkelsummen stimmen.

Beispiel 9: Eine Begründungskette

Im gleichschenkligen Dreieck \(ABC\) mit der Spitze \(C\) ist der Außenwinkel bei \(A\) gleich \(110^\circ\). Berechne alle Innenwinkel.

Der Innenwinkel bei \(A\) ist der Nebenwinkel des Außenwinkels: \(\alpha=180^\circ-110^\circ=70^\circ\). Da das Dreieck gleichschenklig mit Spitze \(C\) ist, sind die Basiswinkel gleich: \(\beta=\alpha=70^\circ\). Mit der Winkelsumme folgt \(\gamma=180^\circ-70^\circ-70^\circ=40^\circ\). Jeder Schritt stützt sich auf einen bekannten Satz. So entsteht eine lückenlose Begründungskette.

Achtung: Parallelität nicht voraussetzen

Die Sätze über Stufen- und Wechselwinkel gelten nur, wenn die Geraden wirklich parallel sind. Sieht eine Zeichnung nur so aus, darfst du die Sätze nicht verwenden. Umgekehrt kannst du mit gleich großen Stufenwinkeln beweisen, dass zwei Geraden parallel sind. Achte deshalb genau darauf, was im Aufgabentext gegeben ist und was du erst zeigen sollst.

Schon gewusst?

Dass ein Vollwinkel \(360^\circ\) hat, geht vermutlich auf die Babylonier zurück. Sie rechneten im Sechzigersystem und beobachteten, dass die Sonne in etwa 360 Tagen einmal ihren Lauf am Himmel vollendet. Die Zahl 360 hat außerdem sehr viele Teiler (2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 und viele mehr), sodass sich der Vollwinkel bequem in gleiche Teile zerlegen lässt. Das ist auch der Grund, warum eine Stunde 60 Minuten und eine Minute 60 Sekunden hat.

Beispiel: Winkel an einer Kreuzung mit Parallelen

Zwei parallele Gleise werden von einer Straße geschnitten. Am ersten Gleis misst man \(65^\circ\). Welche Winkel entstehen am zweiten Gleis?

Da die Gleise parallel sind, ist der Stufenwinkel am zweiten Gleis ebenfalls \(65^\circ\). Sein Nebenwinkel beträgt \(180^\circ-65^\circ=115^\circ\), und die beiden Scheitelwinkel wiederholen diese Werte. An jedem Schnittpunkt treten also nur die beiden Größen \(65^\circ\) und \(115^\circ\) auf.

Ottos Tipp

Merke dir die Buchstaben: Der F-Winkel heißt Stufenwinkel und ist gleich, der Z-Winkel heißt Wechselwinkel und ist gleich, der E-Winkel ergänzt sich zu \(180^\circ\). Zeichne F, Z und E in deine Skizze, dann findest du die passenden Winkel schnell.

So nutzt du den Lernzettel Winkel an Geraden und im Dreieck (Klasse 7)

Lies zuerst das Wichtigste oben, damit du weißt, worum es geht. Danach arbeitest du jede Definition und jedes Beispiel durch und deckst die Lösung zuerst ab. Anschließend übst du mit dem Arbeitsblatt zu Winkel an Geraden und im Dreieck und vergleichst mit den Lösungen. Sobald du dich sicher fühlst, testest du dich mit dem Online-Test oder dem Quiz. Schließlich schreibst du die Klassenarbeit zu Winkel an Geraden und im Dreieck und korrigierst sie mit den Lösungen zur Klassenarbeit.

Außerdem eignet sich das Kopfrechnen zum Aufwärmen, damit das Wissen frisch bleibt. Außerdem gehören alle Seiten dieses Kapitels zusammen, sodass du jederzeit wechseln kannst. Zum Beispiel lesen viele Schüler montags den Lernzettel, üben mittwochs und testen sich freitags. Kurz gesagt enthält dieser Lernzettel zu Winkel an Geraden und im Dreieck (Klasse 7) alles, was du für das Thema brauchst.

Zusammenfassend gilt: Regelmäßiges Üben hilft mehr als eine lange Sitzung. Zum Beispiel reichen oft zehn Minuten am Tag. Außerdem sind Fehler nützlich, denn sie zeigen, was du wiederholen solltest. Sobald ein Verfahren leicht wirkt, versuchst du danach eine schwerere Aufgabe. Dadurch wächst dein Selbstvertrauen Schritt für Schritt.